AMC 10 · 2009 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

ratio-proportionrate dimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

페인트공 폴라는 크기가 똑같은 방 30개를 칠하기에 딱 맞는 양의 페인트를 가지고 있었다. 그런데 안타깝게도 출근길에 페인트 통 세 개가 트럭에서 떨어져, 방 25개를 칠할 만큼의 페인트만 남게 되었다. 폴라가 방 25개를 칠하는 데 사용한 페인트는 몇 통인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 10$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 15$

(D)

$\ 18$

(E)

$\ 25$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 화가 폴라의 페인트는 똑같은 크기의 방 30개를 정확히 칠할 만큼 있습니다. 폴라가 페인트 3통을 잃어버렸고, 남은 페인트는 방 25개를 정확히 칠할 만큼입니다. 그 25개의 방을 칠하는 데 페인트 몇 통을 쓰는지 구하세요.

주어진 것: 전체 페인트는 방 $30$ 개를 정확히 칠할 수 있음; 페인트 $3$ 통을 트럭에서 잃어버린 뒤, 남은 페인트는 방 $25$ 개를 칠할 만큼임; 모든 방은 크기가 같고 같은 양의 페인트를 씀; 선택지: (A) $10$, (B) $12$, (C) $15$, (D) $18$, (E) $25$

구하는 것: 방 25개를 칠하는 데 쓴 페인트 통의 수

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제 전체는 숨어 있는 하나의 비율에 달려 있습니다 — 방 한 개에 페인트가 얼마나 드는가, 즉 방당 통 수입니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 이 비율을 중심에 둡니다 — 방당 통 수만 알면 25개 방 전체는 곱셈 한 번으로 끝납니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 단계를 나눕니다: 먼저 잃어버린 통을 잃어버린 방 수로 바꾸고, 방당 비율을 구한 뒤, 25개 방으로 늘립니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

잃어버린 통을 잃어버린 방으로 바꾸기

전체 페인트는 방 $30$ 개, 남은 페인트는 방 $25$ 개를 칠하므로, 떨어져 나간 페인트는 방 $30-25=5$ 개 분량입니다.
그 사라진 페인트가 바로 $3$ 통입니다.
그래서 $3$ 통은 방 $5$ 개가 필요로 하는 페인트 양과 같습니다.

$$30-25=5\text{ 개 방},\qquad 3\text{ 통} = 5\text{ 개 방 분량의 페인트}$$

💡 잃어버린 것은 칠할 수 있던 양과 그 후 양의 차이일 뿐입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 2

방 하나당 페인트 구하기

$3$ 통이 방 $5$ 개를 칠하면, 방 하나는 $3$ 통을 $5$ 개 방에 나눈 만큼, 곧 한 통의 $\dfrac{3}{5}$ 입니다.
이것이 단위 비율, 즉 방당 통 수입니다.

$$\dfrac{3\text{ 통}}{5\text{ 개 방}}=\dfrac{3}{5}\text{ 통 per 방}$$

💡 통을 그 통이 칠하는 방들에 고르게 나누면 방 한 개의 값이 나옵니다.

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.4 단계 3

25개 방으로 늘리기

방 $25$ 개를 칠하려면 방당 양의 $25$ 배가 필요합니다: $25\times\dfrac{3}{5}$.
$\dfrac{25}{5}=5$ 이므로 이는 $5\times3=15$ 통입니다.
그래서 폴라는 25개 방에 $15$ 통을 썼고, 이것이 선택지 (C)입니다.

$$25\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{25}{5}\times3=5\times3=15\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 방 하나의 값을 알면, 방이 몇 개든 그 값을 반복해 더한 것일 뿐입니다.

[1] #7 4.OA.A.3 전체 페인트는 방 $30$ 개, 남은 페인트는 방 $25$ 개를 칠하므로, 떨어져 나간 페인트는 방 $30-25=5$ 개 분량입니다. 그 사라진

[2] #8 6.RP.A.2 $3$ 통이 방 $5$ 개를 칠하면, 방 하나는 $3$ 통을 $5$ 개 방에 나눈 만큼, 곧 한 통의 $\dfrac{3}{5}$ 입니다. 이것이

[3] #8 5.NF.B.4 방 $25$ 개를 칠하려면 방당 양의 $25$ 배가 필요합니다: $25\times\dfrac{3}{5}$. $\dfrac{25}{5}=5$ 이므

검토

합리성 확인: 이야기 전체를 확인해 봅니다: 방당 $\tfrac{3}{5}$ 통이면 30개 방 전체 분량은 $30\times\tfrac{3}{5}=18$ 통입니다. 잃어버린 $3$ 통을 빼면 $18-3=15$ 통이 남고 — 이는 $25\times\tfrac{3}{5}=15$ 통의 작업량과 정확히 맞습니다. 모두 들어맞으므로 $15$ 는 일관됩니다. 함정 답 $18$ (D)은 폴라가 25개 방에 쓴 양이 아니라 원래 전체 분량이고, $25$ (E)는 방의 개수를 그대로 따라 한 것뿐입니다.

대안 접근: 방당 양을 변수로 둡니다. $r$ 을 방당 통 수라 하면 전체 분량은 $30r$ 통, 줄어든 분량은 $25r$ 통이고, 둘의 차이가 잃어버린 $3$ 통입니다: $30r-25r=3$, 그래서 $5r=3$, $r=\tfrac{3}{5}$. 그러면 25개 방은 $25r=25\times\tfrac{3}{5}=15$ 통을 쓰고, 역시 (C)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용하여 여러 단계 문장제를 푼다 ($30-25=5$ 를 빼서 잃어버린 3통이 방 5개 분량의 페인트임을 파악하는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위 비율의 개념을 이해하고 비율 언어를 사용한다 ("방 5개에 3통"을 방당 $\dfrac{3}{5}$ 통이라는 단위 비율로 바꾸는 데 사용.)
5.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수에 분수를 곱한다 ($25\times\dfrac{3}{5}=15$ 를 계산하여 25개 방에 쓴 통 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 먼저 방 한 개에 페인트가 얼마나 드는지 찾으세요. 그러면 방이 몇 개든 그 양을 곱하기만 하면 됩니다.