AMC 10 · 2010 · #10

학년 4 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Calendar Day Lookup

modular-arithmeticpattern-recognitioncasework pattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

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문제

마빈은 윤년인 $2008$ 년 5월 27일 화요일에 생일을 맞았다. 그의 생일이 다음으로 토요일이 되는 해는 몇 년인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2011$

(B)

$\ 2012$

(C)

$\ 2013$

(D)

$\ 2015$

(E)

$\ 2017$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마빈의 생일 5월 27일은 윤년인 $2008$년에 화요일이었습니다. 5월 27일이 다음으로 토요일이 되는 해를 구하세요.

주어진 것: $2008$년 5월 27일은 화요일; $2008$년은 윤년; 선택지: (A) $2011$, (B) $2012$, (C) $2013$, (D) $2015$, (E) $2017$

구하는 것: $2008$년 이후 5월 27일이 토요일이 되는 다음 해

이해

문제 재정리: 마빈의 생일 5월 27일은 윤년인 $2008$년에 화요일이었습니다. 5월 27일이 다음으로 토요일이 되는 해를 구하세요.

주어진 것: $2008$년 5월 27일은 화요일; $2008$년은 윤년; 선택지: (A) $2011$, (B) $2012$, (C) $2013$, (D) $2015$, (E) $2017$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #5(패턴 찾기): 같은 날짜는 해마다 일정한 수만큼 요일이 앞으로 밀리므로, 한 해의 이동 폭만 알면 화, 수, 목, ... 하고 토요일이 나올 때까지 요일을 따라가면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 먼저 평년의 이동 폭을 구하고, 다음으로 윤년의 이동 폭을 구합니다 — 이 두 가지 작은 사실이 표 전체를 만듭니다. 도구 #3(가능성 지우기): 목표인 토요일은 윤년 점프에서 건너뛰어질 수 있으므로, 해마다 하나씩 확인하면 5월 27일이 아직 토요일이 아닌 선택지를 지울 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 1

평년은 요일이 1만큼 밀림

평년은 $365$일입니다.
$7$로 나누면 $365 = 52 \times 7 + 1$, 즉 $52$개의 온전한 주에 $1$일이 더 남습니다.
그래서 같은 날짜가 다음 해에는 요일이 하나 뒤로 갑니다.

$$365 = 52 \times 7 + 1 \;\Rightarrow\; +1\text{ 요일}$$

💡 온전한 주는 같은 요일로 되돌아오고, 그 주를 넘은 남은 하루만 날짜의 요일을 옮깁니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

윤년은 요일이 2만큼 밀림

윤년은 $366$일입니다: $366 = 52 \times 7 + 2$, $2$일이 더 남습니다.
이 여분의 날(2월 29일)은 5월 27일보다 앞에 있으므로, 들어가는 해가 윤년일 때 $+2$ 점프가 적용됩니다.
윤년은 $4$의 배수이므로 2008년과 2017년 사이의 윤년은 $2012$와 $2016$입니다.

$$366 = 52 \times 7 + 2 \;\Rightarrow\; +2\text{ 요일}$$

💡 해 안에 있는 여분의 윤일이 날짜를 평소보다 요일 하나만큼 더 밀어냅니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

해마다 한 칸씩 앞으로

2008년 5월 27일 = 화요일에서 시작합니다.
매년 $+1$, 단 윤년($2012$, $2016$)으로 들어갈 때는 $+2$: 2009 수, 2010 목, 2011 금, 2012 일($+2$ 점프로 토요일 건너뜀), 2013 월, 2014 화, 2015 수, 2016 금($+2$ 점프로 목요일 건너뜀), 2017 토.

$$\text{화}\to\text{수}\to\text{목}\to\text{금}\xrightarrow{+2}\text{일}\to\text{월}\to\text{화}\to\text{수}\xrightarrow{+2}\text{금}\to\text{토}$$

💡 간단한 이동 규칙을 해마다 따라가면 달력이 셀 수 있는 요일의 사슬로 바뀝니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 4

첫 토요일 읽어내기

사슬을 훑어보면 5월 27일은 2011, 2012, 2013, 2015년에는 토요일이 아닙니다.
토요일 자리는 2012년 점프에서 건너뛰어졌기(금에서 바로 일) 때문에 $2017$년이 되어서야 나타납니다.
다음 토요일 생일은 $2017$년, 선택지 (E)입니다.

$$2011\,\text{금},\ 2012\,\text{일},\ 2013\,\text{월},\ 2015\,\text{수},\ 2017\,\text{토} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 윤년 점프가 요일 하나를 건너뛸 수 있으므로, 첫 토요일은 단순히 세었을 때보다 늦게 올 수 있습니다.

[1] #7 4.NBT.B.6 평년은 $365$일입니다. $7$로 나누면 $365 = 52 \times 7 + 1$, 즉 $52$개의 온전한 주에 $1$일이 더 남습니다. 그

[2] #7 4.OA.B.4 윤년은 $366$일입니다: $366 = 52 \times 7 + 2$, $2$일이 더 남습니다. 이 여분의 날(2월 29일)은 5월 27일보다

[3] #5 4.OA.C.5 2008년 5월 27일 = 화요일에서 시작합니다. 매년 $+1$, 단 윤년($2012$, $2016$)으로 들어갈 때는 $+2$: 2009 수,

[4] #3 4.OA.C.5 사슬을 훑어보면 5월 27일은 2011, 2012, 2013, 2015년에는 토요일이 아닙니다. 토요일 자리는 2012년 점프에서 건너뛰어졌기(

검토

합리성 확인: 2008년 5월 27일부터 2017년 5월 27일까지는 $9$년이고 그 사이 윤일이 두 번(2012, 2016) 있습니다: $9 \times 365 + 2 = 3287$일. $7$로 나누면 $3287 = 469 \times 7 + 4$, 화요일에서 $+4$만큼 밀려 토요일에 도착하며 해마다 만든 표와 일치합니다. 앞선 선택지는 모두 틀립니다: 2011은 금, 2012는 일, 2013은 월, 2015는 수 — 오직 (E) $2017$만 맞습니다.

대안 접근: 요일 이름 대신 이동량을 화요일 $=0$으로 두고 $7$로 나눈 나머지로 추적합니다. 매년 $1$, 윤년 단계에서 $2$를 더하면 2009부터 2017까지 누적값이 $1,2,3,5,6,0,1,3,4$가 됩니다. 토요일은 $4$(화요일에서 네 칸 뒤)이고 $2017$년에 처음 도달하여 (E)를 확인해 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.6 몫과 나머지 구하기 ($365$와 $366$을 $7$로 나눠 $+1$, $+2$ 요일 이동 폭을 구하기.)
4.OA.B.4 배수를 알아보고 주어진 수의 배수인지 판별하기 ($2012$와 $2016$이 $4$의 배수이므로 윤년임을 확인하기.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (요일을 해마다 앞으로 밀며 토요일이 처음 나오는 때를 읽어내기.)

⭐ 날짜는 해마다 요일이 하나씩, 윤년 뒤에는 둘씩 앞으로 밀려요 — 그러니 원하는 요일이 나올 때까지 해마다 요일을 따라 걸어가면 돼요.