AMC 10 · 2010 · #12

학년 8 geometry-3d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

similar-figuresvolume-sphereratio-proportion dimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

로건은 자기 마을의 축소 모형을 만들고 있다. 마을의 급수탑은 높이가 40미터이고, 꼭대기 부분은 물 100,000리터를 담는 구 모양이다. 로건의 축소 급수탑은 물 0.1리터를 담는다. 로건은 자신의 급수탑을 몇 미터 높이로 만들어야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.04

(B)

$\frac{0.4}{\pi}$

(C)

0.4

(D)

$\frac{4}{\pi}$

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 실제 급수탑은 높이가 $40$미터이고, 꼭대기의 구 모양 물탱크에는 $100{,}000$리터의 물이 들어간다. 같은 모양의 축소 모형은 대응하는 구에 $0.1$리터만 담긴다. 모형의 높이를 미터 단위로 구하여라.

주어진 것: 실제 탑의 높이: $40$ m; 실제 구의 부피: $100{,}000$리터; 모형 구의 부피: $0.1$리터; 모형은 실제 탑을 그대로 줄인 축소 모형이다(모양은 같고 모든 길이가 같은 비율로 줄어듦); 선택지(m 단위): (A) $0.04$, (B) $\dfrac{0.4}{\pi}$, (C) $0.4$, (D) $\dfrac{4}{\pi}$, (E) $4$

구하는 것: 모형 탑의 높이(미터)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #8(단위 살펴보기): 주어진 두 값은 부피(리터)인데, 답은 길이(미터)이다. 부피는 세 방향으로 공간을 재는 양이므로 길이의 세제곱처럼 커진다. 이 한 가지 사실이 부피의 비와 길이의 비를 이어주는 핵심이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 풀이는 세 개의 작은 일로 깔끔하게 나뉜다 — 부피의 비 구하기, 세제곱근을 취해 길이의 비 구하기, 그다음 높이 줄이기. 도구 #3(가능성 지우기): $100^3$이 정말 백만인지 거꾸로 확인하면 한 선택지를 확정하고 $\pi$로 만든 함정을 지울 수 있다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 1

두 부피를 비교하기

먼저 실제 구가 모형보다 몇 배의 물을 담는지 알아본다.
실제 부피를 모형 부피로 나눈다.

$$\dfrac{100{,}000}{0.1} = 1{,}000{,}000$$

💡 부피의 비는 실제 구를 채우려면 작은 모형이 몇 개 필요한지를 묻는 것과 같다.

#8 단위 살펴보기 6.EE.A.1 단계 2

부피는 길이의 세제곱으로 커진다

리터는 세 방향의 공간을 한꺼번에 재므로, 모든 길이를 배율 $k$로 늘리면 부피는 $k \times k \times k = k^3$배가 된다.
따라서 부피의 비는 길이의 비를 세제곱한 값과 같다.

$$k^3 = 1{,}000{,}000$$

💡 상자를 세 방향으로 각각 $k$배 늘리면 안쪽 공간은 $k$가 세 번 곱해진 만큼 커진다.

#8 단위 살펴보기 8.EE.A.2 단계 3

세제곱을 되돌리기

백만의 세제곱근을 취해 길이 배율 $k$를 구한다.
$100 \times 100 \times 100 = 1{,}000{,}000$이므로 세제곱근은 $100$이다.
즉 모든 실제 길이는 모형 길이의 $100$배이다.

$$k = \sqrt[3]{1{,}000{,}000} = 100$$

💡 부피는 빠르게 줄어들므로, 백만 대 일의 큰 부피 차이도 길이로는 겨우 백 대 일에서 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 4

높이 줄이기

높이는 길이이므로 같은 배율 $100$으로 줄어든다.
실제 높이를 $100$으로 나누어 모형 높이를 구한다: $40 \div 100 = 0.4$미터.
이것이 선택지 (C)이다.

$$\dfrac{40}{100} = 0.4 \text{ m} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 길이가 $100$배 줄어든다는 것을 알면 높이를 포함한 모든 길이가 $100$으로 나뉜다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

확인하고 나머지 지우기

거꾸로 키워서 검산한다.
$0.1$리터 구를 세 방향으로 각각 $100$배 키우면 부피는 $100^3 = 1{,}000{,}000$배가 되어 $0.1 \times 1{,}000{,}000 = 100{,}000$리터, 바로 실제 구이다.
$\pi$가 들어간 선택지는 함정이다: 구의 부피 공식의 $\pi$는 두 탑 모두에 들어 있어 비를 취하면 약분되므로 $\pi$는 남을 수 없다.
그래서 (C)만 남는다.

$$0.1 \times 100^3 = 0.1 \times 1{,}000{,}000 = 100{,}000 \checkmark$$

💡 올바른 배율은 세제곱해 되돌리면 원래 부피를 만들어야 하고, $\pi$ 같은 공통 인수는 비에서 결코 살아남지 않는다.

[1] #7 6.RP.A.1 먼저 실제 구가 모형보다 몇 배의 물을 담는지 알아본다. 실제 부피를 모형 부피로 나눈다.

[2] #8 6.EE.A.1 리터는 세 방향의 공간을 한꺼번에 재므로, 모든 길이를 배율 $k$로 늘리면 부피는 $k \times k \times k = k^3$배가 된다.

[3] #8 8.EE.A.2 백만의 세제곱근을 취해 길이 배율 $k$를 구한다. $100 \times 100 \times 100 = 1{,}000{,}000$이므로 세제곱근

[4] #7 5.NBT.B.7 높이는 길이이므로 같은 배율 $100$으로 줄어든다. 실제 높이를 $100$으로 나누어 모형 높이를 구한다: $40 \div 100 = 0.4$

[5] #3 6.RP.A.3 거꾸로 키워서 검산한다. $0.1$리터 구를 세 방향으로 각각 $100$배 키우면 부피는 $100^3 = 1{,}000{,}000$배가 되어 $

검토

합리성 확인: $100^3 = 1{,}000{,}000$이 부피의 비와 일치하므로 길이 배율 $100$이 맞고, 거꾸로 되돌리면 $100{,}000$리터가 나오므로 배율이 옳다. 책상 위에 놓일 모형이 $40$ m 탑 옆에서 약 $0.4$ m 높이인 것도 합리적이다. 선택지 (A) $0.04$는 백만을 잘못된 $10^3$으로 보고 $1000$으로 나눈 실수, (E) $4$는 $10$으로만 나눈 실수, (B)와 (D)는 비에서 약분되는 $\pi$를 잘못 남긴 것이다. 오직 (C) $0.4$만 살아남는다.

대안 접근: 비를 건너뛰고 실제 반지름으로 풀 수도 있다. $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$에서 실제와 모형의 반지름은 $\dfrac{r_{\text{real}}^3}{r_{\text{model}}^3} = \dfrac{100{,}000}{0.1} = 10^6$을 만족하므로 $\dfrac{r_{\text{real}}}{r_{\text{model}}} = 10^2 = 100$이다. 모든 길이가 이 비를 공유하므로 모형 높이는 $\dfrac{40}{100} = 0.4$ m로 같은 답이 나오며, $\pi$는 저절로 약분된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language (실제 구와 모형 구 사이의 부피의 비 $100{,}000 : 0.1 = 1{,}000{,}000$을 세우는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (모든 길이를 $k$배로 늘리면 부피가 $k^3$배가 됨을 알아, 부피의 비가 길이의 비의 세제곱임을 파악하는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($1{,}000{,}000$의 세제곱근을 취해 길이 배율 $100$을 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths (실제 높이 $40$을 $100$으로 나누어 모형 높이 $0.4$ m를 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($100{,}000$리터를 다시 만들어 검산하고 $\pi$ 같은 공통 인수가 약분됨을 추론하는 데 사용.)

⭐ 부피는 길이의 세제곱으로 커지므로, 부피가 백만 배면 길이는 겨우 백 배다: $40 \div 100 = 0.4$ m.