AMC 10 · 2010 · #14

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesequilateral-trianglethirty-sixty-ninety-triangleangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 ABC에서 변 AB는 AC의 두 배 길이이다. 점 D는 AB 위에, 점 E는 BC 위에 있고 각 BAE와 각 ACD가 같다. 선분 AE와 CD는 F에서 만나며, 작은 삼각형 CFE가 정삼각형이 된다. 각 ACB의 크기를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$60^\circ$

(B)

$75^\circ$

(C)

$90^\circ$

(D)

$105^\circ$

(E)

$120^\circ$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

점과 같은 각이 잔뜩 나오는 문제이므로, 먼저 깔끔한 그림을 그려 모든 것이 F에서 어떻게 이어지는지 본다. 그다음 공유하는 각에 변수를 붙이고 각을 하나씩 따라간다. 정삼각형이 F의 각을 고정하고, 작은 삼각형 하나가 각 A를 정하며, 길이 조건 AB = 2*AC가 마무리를 짓는다.

1STEP 1

그림을 그리고 각을 표시

삼각형 ABC를 그리고 D, E, F를 찍은 뒤 정삼각형 CFE를 칠하고 같은 각 한 쌍을 x로 놓는다.

놓기: x = ∠ BAE = ∠ ACD.

2STEP 2

F에서의 각은 120도

A, F, E가 한 직선 위에 있으므로 각 CFA는 180에서 정삼각형의 각 CFE인 60을 뺀 120도이다.

∠ CFA = 180° - ∠ CFE = 180° - 60° = 120°.

3STEP 3

삼각형 ACF가 각 FAC를 정함

삼각형 ACF에서 C의 각은 x, F의 각은 120도이므로 A의 각은 60도에서 x를 뺀 값이다.

∠ FAC = 180° - 120° - x = 60° - x.

4STEP 4

각 BAC가 60도로 나옴

각 BAC는 각 BAE와 각 EAC로 나뉘므로 x가 상쇄되어 60도가 남는다.

∠ BAC = ∠ BAE + ∠ EAC = x + (60° - x) = 60°.

5STEP 5

보조점 M 만들기

M을 AB의 중점이라 하면 AM = AC이고 사이각이 60도이므로 삼각형 AMC는 정삼각형이 되어 MC = MB이다.

AM = 1/2AB = AC, ∠ A = 60° → △ AMC 정삼각형, MA = MB = MC.

6STEP 6

M으로 각 ACB를 나눔

MB = MC이므로 삼각형 MBC는 이등변삼각형이고, 각 ACB는 60도에 각 B를 더한 값이다.

∠ ACB = ∠ MCA + ∠ MCB = 60° + ∠ B.

7STEP 7

삼각형 각의 합으로 마무리

세 각의 합이 60 + 각 B + 60 + 각 B = 180이므로 각 B는 30도, 각 ACB는 90도이다.

60° + ∠ B + (60° + ∠ B) = 180° → ∠ B = 30°, ∠ ACB = 60° + 30° = 90°. (C)

정답

90°

구한 삼각형을 확인한다: 각이 60, 30, 90이고 직각은 C에 있다. 그러면 AB가 빗변이고 AC는 30도 각의 맞은편 변이므로 항상 빗변의 절반이 되어 AB = 2*AC가 정확히 성립한다. 모두 맞으므로 각 ACB = 90도는 일관적이다.

💡핵심 정리

수수께끼 각에 이름을 붙이고, 정삼각형 조각 둘레의 각을 따라가 x를 상쇄시킨 뒤, 변 조건 AB = 2*AC로 마지막 각을 제자리에 끼워 넣는다.

그림을 그리고 각을 표시
F에서의 각은 120도
삼각형 ACF가 각 FAC를 정함
각 BAC가 60도로 나옴
보조점 M 만들기
M으로 각 ACB를 나눔
삼각형 각의 합으로 마무리