AMC 10 · 2010 · #14

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesequilateral-trianglethirty-sixty-ninety-triangleangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 $ABC$ 에서 $AB=2 \cdot AC$ 이다. $\angle BAE = \angle ACD$ 가 되도록 점 $D$ 와 $E$ 를 각각 $\overline{AB}$ 와 $\overline{BC}$ 위에 잡는다. $F$ 를 선분 $AE$ 와 $CD$ 의 교점이라 하고, $\triangle CFE$ 가 정삼각형이라고 하자. $\angle ACB$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$60^\circ$

(B)

$75^\circ$

(C)

$90^\circ$

(D)

$105^\circ$

(E)

$120^\circ$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 ABC에서 변 AB는 AC의 두 배 길이이다. 점 D는 AB 위에, 점 E는 BC 위에 있고 각 BAE와 각 ACD가 같다. 선분 AE와 CD는 F에서 만나며, 작은 삼각형 CFE가 정삼각형이 된다. 각 ACB의 크기를 구하여라.

주어진 것: $AB = 2 \cdot AC$; $D$는 $\overline{AB}$ 위에, $E$는 $\overline{BC}$ 위에 있다; $\angle BAE = \angle ACD$; $F$는 $AE$와 $CD$의 교점이다; $\triangle CFE$는 정삼각형이므로 각 내각이 $60^\circ$이다

구하는 것: $\angle ACB$의 크기

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

점과 같은 각이 잔뜩 나오는 문제이므로, 먼저 깔끔한 그림을 그려 모든 것이 F에서 어떻게 이어지는지 본다. 그다음 공유하는 각에 변수를 붙이고 각을 하나씩 따라간다. 정삼각형이 F의 각을 고정하고, 작은 삼각형 하나가 각 A를 정하며, 길이 조건 AB = 2*AC가 마무리를 짓는다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

그림을 그리고 각을 표시

AB를 긴 변(AC의 두 배)으로 하여 삼각형 ABC를 그린다.
AB 위의 D, BC 위의 E, AE와 CD가 만나는 F를 찍는다.
삼각형 CFE를 칠하고 세 각을 60도로 표시한다.
같은 크기의 각 한 쌍에 이름을 붙여 x라 하자.

\text{놓기: } x = \angle BAE = \angle ACD.

💡 각을 모두 표시한 그림은 말의 벽을 손으로 가리킬 수 있는 것으로 바꿔 준다.

#4 변수 도입하기 7.G.B.5 단계 2

F에서의 각은 120도

점 A, F, E는 한 직선 위에 있으므로 F에서 한쪽에 놓인 두 각의 합은 180도이다.
그중 각 CFE는 삼각형 CFE가 정삼각형이므로 60도이다.
나머지 각 CFA가 남는 값이다.

$$\angle CFA = 180^\circ - \angle CFE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.$$

💡 직선은 180도 각이므로, 아는 조각 하나가 나머지를 공짜로 알려 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

삼각형 ACF가 각 FAC를 정함

삼각형 ACF만 따로 본다.
C에서의 각은 각 ACD = x이고(F가 CD 위에 있으므로), F에서의 각은 120도이다.
세 각의 합이 180이므로 A에서의 각은 남는 값이다.

$$\angle FAC = 180^\circ - 120^\circ - x = 60^\circ - x.$$

💡 삼각형의 두 각을 알면 세 번째 각은 숨을 곳이 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 4

각 BAC가 60도로 나옴

F가 선분 AE 위에 있으므로 각 FAC는 각 EAC와 같다.
A에서의 전체 각은 각 BAE와 각 EAC로 나뉘고, x끼리 상쇄된다.

$$\angle BAC = \angle BAE + \angle EAC = x + (60^\circ - x) = 60^\circ.$$

💡 미지수 x가 상쇄되므로 그 값이 무엇이든 상관없었다.

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 5

보조점 M 만들기

M을 AB의 중점이라 하자.
그러면 AM은 AB의 절반이고, AB = 2*AC이므로 AM = AC이다.
이제 삼각형 AMC는 사이각 60도를 낀 두 변 AM, AC가 같으므로 세 각이 모두 60도가 된다.
따라서 삼각형 AMC는 정삼각형이고 MC = AM = MB이다.

AM = \tfrac{1}{2}AB = AC, \quad \angle A = 60^\circ \;\Rightarrow\; \triangle AMC \text{ 정삼각형}, \quad MA = MB = MC.

💡 꼭지각이 60도인 이등변삼각형은 완전한 정삼각형이 될 수밖에 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 6

M으로 각 ACB를 나눔

MB = MC이므로 삼각형 MBC는 이등변삼각형이고, 밑각이 같다: 각 MCB = 각 MBC = 각 B.
정삼각형에서 각 MCA = 60도이다.
전체 각 ACB는 이 두 조각을 쌓은 것이다.

$$\angle ACB = \angle MCA + \angle MCB = 60^\circ + \angle B.$$

💡 같은 변 맞은편에는 같은 각이 있으므로, MC = MB가 각 B를 반대쪽으로 복사한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 7

삼각형 각의 합으로 마무리

삼각형 ABC의 세 각을 더한다: 각 A는 60, 각 ACB는 60 + 각 B, 각 B는 그대로이다.
합을 180으로 놓으면 각 B가, 이어서 각 ACB가 구해진다.

$$60^\circ + \angle B + (60^\circ + \angle B) = 180^\circ \;\Rightarrow\; \angle B = 30^\circ, \quad \angle ACB = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ. \;\; \textbf{(C)}$$

💡 각의 합에서 나온 식 하나가 모든 것을 풀 수 있는 하나의 미지수로 바꿔 준다.

[1] #1 7.G.A.2 AB를 긴 변(AC의 두 배)으로 하여 삼각형 ABC를 그린다. AB 위의 D, BC 위의 E, AE와 CD가 만나는 F를 찍는다. 삼각형 CF

[2] #4 7.G.B.5 점 A, F, E는 한 직선 위에 있으므로 F에서 한쪽에 놓인 두 각의 합은 180도이다. 그중 각 CFE는 삼각형 CFE가 정삼각형이므로 60

[3] #7 8.G.A.5 삼각형 ACF만 따로 본다. C에서의 각은 각 ACD = x이고(F가 CD 위에 있으므로), F에서의 각은 120도이다. 세 각의 합이 180이

[4] #7 7.G.B.5 F가 선분 AE 위에 있으므로 각 FAC는 각 EAC와 같다. A에서의 전체 각은 각 BAE와 각 EAC로 나뉘고, x끼리 상쇄된다.

[5] #1 7.G.A.2 M을 AB의 중점이라 하자. 그러면 AM은 AB의 절반이고, AB = 2*AC이므로 AM = AC이다. 이제 삼각형 AMC는 사이각 60도를 낀

[6] #7 8.G.A.5 MB = MC이므로 삼각형 MBC는 이등변삼각형이고, 밑각이 같다: 각 MCB = 각 MBC = 각 B. 정삼각형에서 각 MCA = 60도이다.

[7] #7 8.G.A.5 삼각형 ABC의 세 각을 더한다: 각 A는 60, 각 ACB는 60 + 각 B, 각 B는 그대로이다. 합을 180으로 놓으면 각 B가, 이어서

검토

합리성 확인: 구한 삼각형을 확인한다: 각이 60, 30, 90이고 직각은 C에 있다. 그러면 AB가 빗변이고 AC는 30도 각의 맞은편 변이므로 항상 빗변의 절반이 되어 AB = 2*AC가 정확히 성립한다. 모두 맞으므로 각 ACB = 90도는 일관적이다.

대안 접근: 중점 보조점 대신 각 A = 60을 유지하고 AB = 2*AC에 사인법칙을 쓸 수도 있다. AB/sin C = AC/sin B이므로 길이 조건에서 sin C = 2 sin B가 되고, B + C = 120도와 합치면 cos C = 0이 되어 C = 90도가 된다. 작도 대신 삼각함수로 같은 답에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles (표시된 그림을 그리고 중점 보조점 M을 추가하는 데 사용)
7.G.B.5 Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles (직선에서 각 CFA = 120을 얻고 A에서 각 조각을 더하는 데 사용)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (ACF와 ABC의 삼각형 각의 합, 그리고 이등변삼각형 밑각 논증에 사용)

⭐ 수수께끼 각에 이름을 붙이고, 정삼각형 조각 둘레의 각을 따라가 x를 상쇄시킨 뒤, 변 조건 AB = 2*AC로 마지막 각을 제자리에 끼워 넣는다.