AMC 10 · 2010 · #15

학년 2 logic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
logical-deductioncaseworkif-then-reasoning contradiction-elementary ↑ 선수 지식: logical-deduction
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
어느 늪에 브라이언, 크리스, 르로이, 마이크 네 마리의 양서류가 함께 산다. 각자는 하는 말이 항상 참인 두꺼비이거나, 하는 말이 항상 거짓인 개구리다. 브라이언은 "마이크와 나는 서로 다른 종이다"라고 말한다. 크리스는 "르로이는 개구리다"라고 말한다. 르로이는 "크리스는 개구리다"라고 말한다. 마이크는 "우리 넷 중 적어도 둘은 두꺼비다"라고 말한다. 이 네 마리 중 개구리는 몇 마리인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 가능성 지우기

도구 #3 (가능성 지우기): 각 양서류의 종은 둘 중 하나뿐이므로, 한 종을 가정해 문장이 모순 없이 성립하는지 확인하고 모순을 낳는 경우를 지운다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 마이크는 "적어도 둘은 두꺼비"라는 말을 거짓으로 하므로, 쓸모 있는 사실은 그 반대인 "두꺼비는 많아야 하나"이고 이것이 전체 수를 제한한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 먼저 마이크를 정하고, 다음으로 크리스·르로이 쌍을 정한 뒤, 그 부분 결과들을 합쳐 최종 개구리 수를 센다.

1STEP 1

브라이언의 말이 마이크를 개구리로 확정

브라이언이 두꺼비면 말이 참이라 마이크는 개구리, 개구리면 말이 거짓이라 같은 종이니 결국 마이크는 개구리다.

브라이언 두꺼비→ 마이크 개구리; 브라이언 개구리→ 마이크 개구리
2STEP 2

마이크의 거짓말이 두꺼비를 하나로 제한

개구리는 거짓말하니 마이크의 "적어도 둘은 두꺼비"는 거짓, 그 반대는 두꺼비는 많아야 하나다.

lnot(두꺼비 ≥ 2) ⟺ 두꺼비 ≤ 1
3STEP 3

크리스와 르로이: 정확히 하나가 두꺼비

크리스와 르로이는 서로를 개구리라 하는데, 둘 다 참이거나 둘 다 거짓일 수 없어 둘 중 정확히 하나가 두꺼비다.

(크리스 두꺼비, 르로이 개구리) 또는 (크리스 개구리, 르로이 두꺼비)
4STEP 4

사실들을 합쳐 개구리를 세기

그 두꺼비가 유일한 자리를 차지하니 브라이언, 마이크, 크리스·르로이 중 나머지는 모두 개구리 — 개구리 3마리, 답은 (D)다.

1 두꺼비 + 3 개구리 = 4 → (D) 3
정답
3
완성 배정 브라이언 개구리, 마이크 개구리, 크리스 두꺼비, 르로이 개구리를 검토한다. 브라이언(개구리)의 "마이크와 나는 다른 종"은 거짓인데 둘 다 개구리라 같은 종이므로 올바른 거짓말이다. 크리스(두꺼비)의 "르로이는 개구리"는 참이다. 르로이(개구리)의 "크리스는 개구리"는 거짓이고 크리스는 두꺼비이므로 올바른 거짓말이다. 마이크(개구리)의 "적어도 둘은 두꺼비"는 거짓이고 두꺼비는 하나뿐이다. 모든 문장이 일관되어 개구리 3마리가 확인된다. 반대 경우(크리스 개구리, 르로이 두꺼비)도 똑같이 성립하며, 3이 아닌 어떤 수도 두꺼비 수가 달라져야 하는데 두 제약이 이를 막는다.
💡핵심 정리

한 발화자의 두 가정이 같은 결론으로 이어지면 그 결론은 확실해지고, 거짓말쟁이의 "적어도" 주장은 나머지를 확정하는 든든한 상한으로 뒤집힌다.

  • 브라이언의 말이 마이크를 개구리로 확정
  • 마이크의 거짓말이 두꺼비를 하나로 제한
  • 크리스와 르로이: 정확히 하나가 두꺼비
  • 사실들을 합쳐 개구리를 세기

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