AMC 10 · 2010 · #18

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basiccaseworksymmetry-argument complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

베르나르도는 집합 $\{1,2,3,...,7,8,9\}$ 에서 서로 다른 세 수를 무작위로 골라 내림차순으로 배열하여 세 자리 수를 만든다. 실비아는 집합 $\{1,2,3,...,6,7,8\}$ 에서 서로 다른 세 수를 무작위로 골라 역시 내림차순으로 배열하여 세 자리 수를 만든다. 베르나르도의 수가 실비아의 수보다 클 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{47}{72}$

(B)

$\frac{37}{56}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{49}{72}$

(E)

$\frac{39}{56}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 베르나르도는 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}에서 서로 다른 세 수를 뽑아 큰 순서대로 늘어놓아 세 자리 수를 만든다. 실비아는 {1,2,3,4,5,6,7,8}에서 서로 다른 세 수를 뽑아 똑같이 만든다. 베르나르도의 수가 실비아의 수보다 클 확률을 구하여라.

주어진 것: 베르나르도는 {1,...,9}에서 서로 다른 세 수를 뽑아 큰 순서대로 늘어놓는다; 실비아는 {1,...,8}에서 서로 다른 세 수를 뽑아 큰 순서대로 늘어놓는다; 각각의 뽑기는 모두 같은 확률로 일어난다; 선택지: (A) $\frac{47}{72}$, (B) $\frac{37}{56}$, (C) $\frac{2}{3}$, (D) $\frac{49}{72}$, (E) $\frac{39}{56}$

구하는 것: 베르나르도의 세 자리 수가 실비아의 수보다 클 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #16 (관점 바꾸기): 핵심은 베르나르도가 9를 뽑지 않으면 실비아와 완전히 같은 수 묶음에서 뽑는다는 점을 알아채는 것이다. 그러면 그가 이길 확률은 실비아가 이길 확률과 같고, 남는 것은 무승부뿐이라 이를 빼서 반씩 나누면 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 사건을 베르나르도가 9를 뽑는 경우와 뽑지 않는 경우로 깔끔하게 나눈다. 9야말로 그의 묶음을 실비아의 것과 다르게 만드는 유일한 요소이기 때문이다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 조합으로 뽑는 방법의 수를 세어 9의 경우와 무승부가 얼마나 자주 일어나는지 구한다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

뽑은 집합이 곧 하나의 수

큰 순서대로 늘어놓으므로, 세 수를 고르는 순간 세 자리 수가 정해진다.
따라서 수를 비교하는 것은 뽑은 두 집합을 비교하는 것과 같다.
베르나르도는 9개 중 3개를 골라 $\binom{9}{3}=84$가지의 같은 확률의 수를, 실비아는 8개 중 3개를 골라 $\binom{8}{3}=56$가지의 같은 확률의 수를 만든다.

$$\binom{9}{3}=84,\qquad \binom{8}{3}=56$$

💡 큰 순서대로 놓으면 배열이 사라지므로, 집합을 고르는 것이 곧 수를 고르는 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 2

경우 1: 베르나르도가 9를 뽑음

베르나르도의 집합에 9가 들어 있으면 그의 수는 9로 시작하고, 실비아가 만들 수 있는 가장 큰 수는 876이므로 베르나르도가 자동으로 이긴다.
이 일이 얼마나 자주 일어나는지 세어 보면, 9를 고정하고 나머지 두 수를 $\binom{8}{2}=28$가지로 고르므로 전체 $84$ 중 $28$이다.
따라서 이 경우의 확률은 $\frac{28}{84}=\frac{1}{3}$이고, 그 안에서는 베르나르도가 확실히 이긴다.

$$P(\text{9 포함})=\frac{\binom{8}{2}}{\binom{9}{3}}=\frac{28}{84}=\frac{1}{3}$$

💡 맨 앞의 9는 실비아가 만들 수 있는 어떤 수도 이기므로, 이 조각은 확실한 승리다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 3

경우 2: 9가 없으면 공정한 승부

남은 확률 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$이 베르나르도가 9를 뽑지 않을 확률이다.
그러면 그는 {1,...,8}에서 세 수를 고르는데, 이는 실비아가 쓰는 묶음과 완전히 같다.
같은 묶음에서 같은 방식으로 뽑으므로, 베르나르도가 더 큰 수를 가질 확률은 실비아가 더 큰 수를 가질 확률과 같다.
두 결과는 거울처럼 대칭이다.

$$P(\text{9 없음})=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3};\quad P(B>S)=P(S>B)$$

💡 두 사람이 같은 묶음에서 같은 방식으로 뽑으면, 누구도 더 커지도록 유리하지 않다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 4

무승부를 빼고 나머지를 나눔

경우 2에는 세 가지 결과가 있다: 베르나르도가 더 큼, 실비아가 더 큼, 또는 무승부.
무승부는 둘이 똑같은 집합을 뽑는 것이고, 실비아의 집합을 고정하면 베르나르도가 그것과 일치할 확률은 $\frac{1}{56}$이다.
나머지 $1-\frac{1}{56}=\frac{55}{56}$은 거울처럼 대칭인 두 결과에 똑같이 나뉜다.
따라서 경우 2에서 베르나르도가 이길 확률은 $\frac{1}{2}\cdot\frac{55}{56}=\frac{55}{112}$이다.

$$P(\text{무승부})=\frac{1}{56};\quad P(B>S\mid\text{9 없음})=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{56}\right)=\frac{55}{112}$$

💡 무승부를 먼저 빼고, 남은 것을 두 사람에게 정확히 절반씩 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 5

각 경우에 가중치 주기

이제 각 경우를 그 확률만큼 가중한다.
경우 1은 확률 $\frac{1}{3}$로 일어나 확실한 승리를 주므로 $\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$을 보탠다.
경우 2는 확률 $\frac{2}{3}$로 일어나 확률 $\frac{55}{112}$로 이기므로 $\frac{2}{3}\cdot\frac{55}{112}=\frac{110}{336}=\frac{55}{168}$을 보탠다.

$$\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{56}{168},\qquad \frac{2}{3}\cdot\frac{55}{112}=\frac{55}{168}$$

💡 각 경우는 일어날 확률만큼만 반영되므로, 더하기 전에 곱해야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 6

두 경우를 더하기

두 기여분을 공통분모 $168$로 더한다: $\frac{56}{168}+\frac{55}{168}=\frac{111}{168}$.
분자와 분모를 3으로 나누면 $\frac{37}{56}$이다.
따라서 베르나르도의 수가 더 클 확률은 $\frac{37}{56}$이고, 이것은 (B)다.

$$\frac{56}{168}+\frac{55}{168}=\frac{111}{168}=\frac{37}{56}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 이기는 두 갈래의 길을 더하면 이길 전체 확률이 된다.

[1] #2 7.SP.C.8 큰 순서대로 늘어놓으므로, 세 수를 고르는 순간 세 자리 수가 정해진다. 따라서 수를 비교하는 것은 뽑은 두 집합을 비교하는 것과 같다. 베르나

[2] #7 7.SP.C.7 베르나르도의 집합에 9가 들어 있으면 그의 수는 9로 시작하고, 실비아가 만들 수 있는 가장 큰 수는 876이므로 베르나르도가 자동으로 이긴다.

[3] #16 7.SP.C.7 남은 확률 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$이 베르나르도가 9를 뽑지 않을 확률이다. 그러면 그는 {1,...,8}에서 세 수를

[4] #16 7.SP.C.8 경우 2에는 세 가지 결과가 있다: 베르나르도가 더 큼, 실비아가 더 큼, 또는 무승부. 무승부는 둘이 똑같은 집합을 뽑는 것이고, 실비아의 집

[5] #7 5.NF.B.4 이제 각 경우를 그 확률만큼 가중한다. 경우 1은 확률 $\frac{1}{3}$로 일어나 확실한 승리를 주므로 $\frac{1}{3}\cdot

[6] #7 5.NF.A.1 두 기여분을 공통분모 $168$로 더한다: $\frac{56}{168}+\frac{55}{168}=\frac{111}{168}$. 분자와 분모를

검토

합리성 확인: 답 $\frac{37}{56}\approx 0.661$은 $\frac{1}{2}$보다 조금 커야 하는데, 실제로 그렇다. 베르나르도의 유일한 이점은 여분의 수 9뿐이므로, 압도적으로가 아니라 절반보다 조금 더 자주 이겨야 한다. 분수가 타당한지 확인하면 $0<\frac{37}{56}<1$이다. 조각들도 점검하면, 확실한 승리 경우만으로 $\frac{1}{3}\approx 0.33$이고 공정한 승부 경우가 $\frac{55}{168}\approx 0.33$을 더해 약 $0.66$으로 맞는다. 오답 $\frac{47}{72}$과 $\frac{49}{72}$는 무승부를 잘못 다룬 결과이고 $\frac{2}{3}$은 무승부를 아예 무시한 값인데, 우리 계산은 무승부를 명시적으로 남겨 두었다.

대안 접근: 순서쌍을 직접 센다. 같은 확률의 (베르나르도, 실비아) 쌍은 $84\times 56 = 4704$개다. 베르나르도가 9를 가진 $28\times 56=1568$개 쌍은 모두 승리다. 나머지 $56\times 56=3136$개(둘 다 {1,...,8}에서 뽑은 경우) 중 $56$개는 무승부이고 남은 $3080$개가 똑같이 나뉘어 $1540$개가 베르나르도의 승리다. 총 승리는 $1568+1540=3108$개이고 $\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}$으로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (조합으로 같은 확률의 뽑기를 세고, 둘 다 {1,...,8}에서 뽑을 때의 무승부 경우를 세는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (경우 모델을 세우는 데 사용 — 베르나르도가 9를 뽑을 확률, 그리고 대칭으로 두 사람이 더 클 확률이 같다는 논리.)
5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (각 경우를 그 확률로 가중하는 데 사용, 예를 들어 2/3에 55/112를 곱하기.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (두 경우의 기여분을 공통분모로 더해 37/56에 이르는 데 사용.)

⭐ 두 사람이 같은 묶음에서 같은 방식으로 뽑으면 누구도 유리하지 않다. 그러니 무승부를 빼고 나머지를 반씩 나눠라. 진짜 차이는 베르나르도의 여분의 9에서만 나온다.