AMC 10 · 2010 · #18

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basiccaseworksymmetry-argument complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

베르나르도는 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}에서 서로 다른 세 수를 뽑아 큰 순서대로 늘어놓아 세 자리 수를 만든다. 실비아도 똑같이 하지만, {1,2,3,4,5,6,7,8}에서 서로 다른 세 수를 뽑는다. 세 수를 뽑는 모든 경우가 같은 확률로 일어난다. 베르나르도의 수가 실비아의 수보다 클 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{47}{72}$

(B)

$\frac{37}{56}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{49}{72}$

(E)

$\frac{39}{56}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): 핵심은 베르나르도가 9를 뽑지 않으면 실비아와 완전히 같은 수 묶음에서 뽑는다는 점을 알아채는 것이다. 그러면 그가 이길 확률은 실비아가 이길 확률과 같고, 남는 것은 무승부뿐이라 이를 빼서 반씩 나누면 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 사건을 베르나르도가 9를 뽑는 경우와 뽑지 않는 경우로 깔끔하게 나눈다. 9야말로 그의 묶음을 실비아의 것과 다르게 만드는 유일한 요소이기 때문이다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 조합으로 뽑는 방법의 수를 세어 9의 경우와 무승부가 얼마나 자주 일어나는지 구한다.

1STEP 1

뽑은 집합이 곧 하나의 수

큰 순서대로 놓으면 집합이 곧 수다. 베르나르도는 C(9, 3)=84가지, 실비아는 C(8, 3)=56가지.

C(9, 3)=84, C(8, 3)=56

2STEP 2

경우 1: 베르나르도가 9를 뽑음

앞자리 9는 실비아의 최댓값 876을 이기므로 확실히 승리하고, 84 중 C(8, 2)=28가지라 확률은 1/3이다.

P(9 포함)=(C(8, 2))/(C(9, 3))=28/84=1/3

3STEP 3

경우 2: 9가 없으면 공정한 승부

확률 2/3로 9가 없으면 실비아와 같은 1부터 8까지에서 뽑으므로, 둘이 더 클 확률은 같다.

P(9 없음)=1-1/3=2/3; P(B ＞ S)=P(S ＞ B)

4STEP 4

무승부를 빼고 나머지를 나눔

경우 2에는 무승부도 있으니, 같은 집합일 확률 1/56을 빼고 반으로 나누면 55/112이다.

P(무승부)=1/56; P(B ＞ S ∣ 9 없음)=1/2(1-1/56)=55/112

5STEP 5

각 경우에 가중치 주기

가중치를 준다. 경우 1은 1/3·1=56/168, 경우 2는 2/3·55/112=55/168이다.

1/3 · 1=56/168, 2/3·55/112=55/168

6STEP 6

두 경우를 더하기

더하면 56/168+55/168=111/168=37/56이고, 이것은 (B)다.

56/168+55/168=111/168=37/56 → (B)

정답

37/56

답 37/56≈ 0.661은 1/2보다 조금 커야 하는데, 실제로 그렇다. 베르나르도의 유일한 이점은 여분의 수 9뿐이므로, 압도적으로가 아니라 절반보다 조금 더 자주 이겨야 한다. 분수가 타당한지 확인하면 0 ＜ 37/56 ＜ 1이다. 조각들도 점검하면, 확실한 승리 경우만으로 1/3≈ 0.33이고 공정한 승부 경우가 55/168≈ 0.33을 더해 약 0.66으로 맞는다. 오답 47/72과 49/72는 무승부를 잘못 다룬 결과이고 2/3은 무승부를 아예 무시한 값인데, 우리 계산은 무승부를 명시적으로 남겨 두었다.

💡핵심 정리

두 사람이 같은 묶음에서 같은 방식으로 뽑으면 누구도 유리하지 않다. 그러니 무승부를 빼고 나머지를 반씩 나눠라. 진짜 차이는 베르나르도의 여분의 9에서만 나온다.

뽑은 집합이 곧 하나의 수
경우 1: 베르나르도가 9를 뽑음
경우 2: 9가 없으면 공정한 승부
무승부를 빼고 나머지를 나눔
각 경우에 가중치 주기
두 경우를 더하기