AMC 10 · 2010 · #20
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #14 (극단의 원리): 최댓값을 묻는 문제이므로, 규칙이 허락하는 한 가장 긴 이동을 최대한 많이 쓰고, 그보다 더 좋게 할 수 없음을 증명한다. 도구 #17 (공간 상상하기): 정육면체를 좌표 위에 놓아 각 꼭짓점을 0과 1로 이루어진 세 숫자로 나타내면, 이동 길이는 바뀌는 좌표의 개수만으로 정해진다. 도구 #1 (그림 그리기): 그 상한이 실제로 도달 가능함을 보이도록 구체적인 여행 경로를 만든다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): (i) 이동 길이 나열, (ii) 가장 긴 이동의 최대 개수 제한, (iii) 이를 달성하는 경로 구성, (iv) 합산의 네 부분으로 나눈다.
세 가지 이동 길이를 나열하기
꼭짓점을 0/1 좌표 세 쌍에 놓으면 이동 길이는 바뀐 좌표 개수의 제곱근이다: 모서리 1, 면 대각선 √(2), 공간 대각선 √(3).
단위 정육면체에서 모든 이동은 피타고라스 정리에 따라 √(2) 또는 √(3) 크기이고, √(3)이 가능한 가장 긴 이동이다.
단위 정육면체에서 모든 뜀은 몇 가지 길이뿐이며, 모서리에서 반대 모서리까지가 가장 길다.
▸ 왜?
각 뜀의 길이는 세 좌표 걸음의 제곱을 더해서 나온다.
▸ 왜?
좌표 걸음이 많을수록 합이 커지므로, 뜀의 길이가 정해진 순서로 늘어선다.
가장 긴 이동의 개수를 제한하기
이동은 모두 8번인데 각 꼭짓점의 반대편은 하나뿐이라, √(3) 공간 대각선은 최대 4번이고 나머지는 √(2) 이하이다.
정육면체 전체에 내부 대각선은 넷뿐이므로, 어떤 여행도 그 넷보다 더 많이 기댈 수 없다.
8.G.B.8Extreme Principle그 상한이 도달 가능함을 보이기
000→111→001→110→011→100→010→101→000은 공간·면 대각선을 번갈아 쓰며 모든 꼭짓점을 한 번씩 지난다.
네 개의 공간 대각선을 네 개의 면 대각선으로 엮어 끊김 없는 하나의 고리로 만들 수 있으므로, 상한은 실제로 도달 가능하다.
8.G.B.8Draw A Diagram최대 길이를 합산하기
√(3) 이동 4번과 √(2) 이동 4번을 더한 4√(2)+4√(3)이 최댓값이다.
가장 긴 이동 네 번과 그다음으로 긴 이동 네 번이 도달 가능한 가장 큰 합을 주며, 그것이 정답 (D)이다.
7.NS.A.3Identify Subproblems꼭짓점을 잇는 고리를 가장 길게 만들려면 긴 대각선을 최대한 쓰면 된다: 정육면체에는 공간 대각선이 넷뿐이므로, 그 넷을 면 대각선 넷과 짝지어 4√(2)+4√(3)이 된다.
- 세 가지 이동 길이를 나열하기
- 가장 긴 이동의 개수를 제한하기
- 그 상한이 도달 가능함을 보이기
- 최대 길이를 합산하기