AMC 10 · 2010 · #4

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

estimationdecimal-arithmetic extreme-principle ↑ 선수 지식: estimation

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 책을 소리 내어 읽으면 $412$ 분이 걸리며, 이 책을 콤팩트디스크에 녹음하려고 한다. 각 디스크에는 최대 $56$ 분 분량의 낭독을 담을 수 있다. 사용하는 디스크의 개수가 가능한 한 적고, 각 디스크에 담기는 낭독의 길이가 모두 같다고 하자. 각 디스크에는 몇 분 분량의 낭독이 담기는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 50.2$

(B)

$\ 51.5$

(C)

$\ 52.4$

(D)

$\ 53.8$

(E)

$\ 55.2$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 책 한 권을 소리 내어 읽으면 $412$분이 걸리고, 이 낭독을 여러 장의 CD에 나누어 담아야 합니다. CD 한 장에는 최대 $56$분까지 담을 수 있습니다. CD 장수는 가능한 한 적게 쓰고, 모든 CD에 똑같은 길이의 낭독을 담습니다. 이때 CD 한 장에 담기는 낭독 시간이 몇 분인지 구합니다.

주어진 것: 책 전체 낭독 시간은 $412$분입니다.; CD 한 장에는 최대 $56$분까지 담을 수 있습니다.; CD 장수는 가능한 한 가장 적습니다.; 모든 CD에는 똑같은 길이의 낭독이 담깁니다.; 선택지: (A) $50.2$, (B) $51.5$, (C) $52.4$, (D) $53.8$, (E) $55.2$.

구하는 것: 가장 적은 장수로 똑같이 나누었을 때 CD 한 장에 담기는 낭독 시간(분).

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

"가능한 한 가장 적은 CD 장수"라는 표현은 경계값을 묻는 것이므로 도구 #14(극단의 원리)가 중심입니다. $412$분을 담을 수 있는 가장 적은 자연수 장수를 찾습니다. $412 \div 56$이 딱 나누어떨어지지 않으므로 다음 자연수 장수로 올림합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 계산을 정확히 유지해 줍니다. 우리가 다루는 것은 '한 장당 분'이므로, 장수가 정해지면 $412$분을 똑같이 나누기만 하면 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 확인 수단입니다. $412$를 자연수 개의 똑같은 몫으로 나눌 때 딱 맞아떨어지는 선택지는 하나뿐이기 때문입니다.

실행 — 정답: B

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 1

필요한 최소 CD 장수 구하기

전체 시간을 CD 한 장의 용량으로 나누어 몇 장이 필요한지 봅니다.
$412 \div 56 = 7.357\ldots$ 입니다.
CD를 일부만 살 수는 없고, $7$장은 $7 \times 56 = 392$분밖에 못 담아 $412$분보다 적습니다.
그래서 $7$장으로는 부족하니 $8$장으로 올림해야 하고, $8$장은 $8 \times 56 = 448$분까지 담을 수 있어 충분합니다.

$$412 \div 56 = 7.357\ldots \Rightarrow 8 \text{장으로 올림}$$

💡 나눗셈이 딱 떨어지지 않고 통을 통째로 써야 할 때는, 남는 것이 없도록 항상 올림합니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 2

시간을 똑같이 나누기

장수가 $8$장으로 정해지고 모든 장에 똑같은 양을 담으므로, $412$분을 $8$등분합니다.
$412 \div 8 = 51.5$분이 한 장에 담깁니다.

$$412 \div 8 = 51.5$$

💡 똑같이 나누어 담기는 전체를 조각 수로 나누는 것일 뿐입니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.7 단계 3

확인하고 답 읽기

조건에 맞는지 확인합니다.
$51.5 \le 56$이므로 각 장은 용량을 넘지 않고, $51.5 \times 8 = 412$로 책 전체가 다시 만들어집니다.
선택지 중 $51.5$만 맞으므로 답은 $\textbf{(B)}\ 51.5$입니다.

$$51.5 \le 56 \text{ 이고 } 51.5 \times 8 = 412 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 좋은 답은 용량 안에 들어가면서 다시 더했을 때 전체가 되어야 합니다.

[1] #14 4.OA.A.3 전체 시간을 CD 한 장의 용량으로 나누어 몇 장이 필요한지 봅니다. $412 \div 56 = 7.357\ldots$ 입니다. CD를 일부만

[2] #8 5.NBT.B.7 장수가 $8$장으로 정해지고 모든 장에 똑같은 양을 담으므로, $412$분을 $8$등분합니다. $412 \div 8 = 51.5$분이 한 장에

[3] #3 5.NBT.B.7 조건에 맞는지 확인합니다. $51.5 \le 56$이므로 각 장은 용량을 넘지 않고, $51.5 \times 8 = 412$로 책 전체가 다시

검토

합리성 확인: 한 장당 시간은 최대 $56$분이어야 하고, $8$장이 가능한 가장 적은 장수이므로 한 장당 부담은 $56$ 한계에서 크게 모자라기보다 그 근처여야 합니다. $51.5$분은 $56$보다 조금 작습니다. 만약 한 장 줄여 $7$장으로 하면 $412 \div 7 \approx 58.9$분이 필요해 $56$ 한계를 넘으므로, $8$장이 정말 최소임이 확인됩니다. 다시 곱하면 $8 \times 51.5 = 412$로 낭독이 하나도 빠지지 않습니다. 모두 (B)와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)을 선택지에 바로 적용합니다. 낭독을 자연수 개의 똑같은 장으로 나눈다면, $412$를 '한 장당 분'으로 나눈 값이 자연수여야 합니다. 각 선택지를 확인하면 $412 \div 50.2$, $412 \div 52.4$, $412 \div 53.8$, $412 \div 55.2$는 모두 자연수가 아니지만, $412 \div 51.5 = 8$로 딱 떨어집니다. 오직 (B)만 자연수 장수를 주고, $8$장은 각 장을 $56$분 이하로 유지하는 가장 적은 장수이기도 합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ($412$를 $56$으로 나눈 뒤, $7$장으로는 $412$분을 다 담을 수 없으므로 다음 자연수 장수로 올림하는 데 사용.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths ($412$를 $8$로 나누어 한 장당 $51.5$분을 구하고, $51.5 \times 8 = 412$을 확인하는 데 사용.)

⭐ CD를 일부만 살 수 없으니 장수를 $8$장으로 올림한 다음, $412$분을 똑같이 나눕니다: $412 \div 8 = 51.5$분이 각 장에 담깁니다.