AMC 10 · 2010 · #5

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

area-circlesperimeterformula-substitution work-backwards ↑ 선수 지식: area-circles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

어떤 원의 둘레가 24π이다. 이 원의 넓이는 kπ 꼴로 쓸 수 있다. k의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 24$

(D)

$\ 36$

(E)

$\ 144$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

원의 둘레와 넓이는 서로 바로 연결되지 않지만, 둘 다 같은 반지름 r에서 만들어진다. 그래서 그 반지름을 문자로 이름 붙인다(도구 #4, 변수 도입하기). 주어진 둘레는 공식 C = 2π r의 결과값이므로, 그 공식을 거꾸로 돌려 r을 되찾는다(도구 #11, 거꾸로 풀기). 그러면 문제가 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나뉜다(도구 #7). 먼저 둘레에서 r을 구하고, 그다음 r을 넓이 공식에 넣는다. 이 순서대로 풀면 다섯 개의 선택지를 두고 어림짐작할 필요가 없다.

1STEP 1

반지름에 이름 붙이기

원의 반지름을 r이라 하자. 원주 공식 C = 2π r이 주어진 24π와 같아야 한다.

2π r = 24π

2STEP 2

거꾸로 반지름 구하기

2π r = 24π의 양변을 2π로 나누면 π가 약분되고 24 ÷ 2에서 r = 12이다.

r = 24π/2π = 12

3STEP 3

넓이 계산하기

r = 12를 A = π r²에 넣으면 12² = 144이므로 A = 144π이고, kπ와 맞추면 k = 144이다.

A = π r² = π (12)² = 144π → k = 144

정답

144

반지름을 둘레와 대조해 확인한다. 2π (12) = 24π로 주어진 둘레와 정확히 일치한다. 반지름 12는 꽤 크므로, 넓이 144π가 둘레의 수 24보다 훨씬 큰 것은 넓이가 반지름의 제곱에 비례해 커지기 때문에 자연스럽다. 12²과 같은 선택지는 (E) 144뿐이므로 정답이라는 강한 신호다.

💡핵심 정리

둘레와 넓이는 모두 반지름에서 나오므로, 둘레에서 반지름을 거꾸로 되찾은 뒤 넓이 공식에서 제곱하면 k = 144가 된다.

반지름에 이름 붙이기
거꾸로 반지름 구하기
넓이 계산하기

반지름에 이름 붙이기

거꾸로 반지름 구하기

넓이 계산하기

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