AMC 10 · 2010 · #5

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

area-circlesperimeterformula-substitution work-backwards ↑ 선수 지식: area-circles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

둘레의 길이가 $24\pi$ 인 원의 넓이가 $k\pi$ 이다. $k$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 24$

(D)

$\ 36$

(E)

$\ 144$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 원의 둘레가 $24\pi$이다. 이 원의 넓이는 $k\pi$ 꼴로 쓸 수 있다. $k$의 값을 구하여라.

주어진 것: 원의 둘레(원주)는 $24\pi$이다.; 원의 넓이는 $k\pi$ 꼴로 주어진다.; 선택지: (A) $6$, (B) $12$, (C) $24$, (D) $36$, (E) $144$.

구하는 것: 넓이를 $\pi$로 나눈 값인 $k$.

이해

문제 재정리: 어떤 원의 둘레가 $24\pi$이다. 이 원의 넓이는 $k\pi$ 꼴로 쓸 수 있다. $k$의 값을 구하여라.

주어진 것: 원의 둘레(원주)는 $24\pi$이다.; 원의 넓이는 $k\pi$ 꼴로 주어진다.; 선택지: (A) $6$, (B) $12$, (C) $24$, (D) $36$, (E) $144$.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #7 작은 문제로 쪼개기

원의 둘레와 넓이는 서로 바로 연결되지 않지만, 둘 다 같은 반지름 $r$에서 만들어진다. 그래서 그 반지름을 문자로 이름 붙인다(도구 #4, 변수 도입하기). 주어진 둘레는 공식 $C = 2\pi r$의 결과값이므로, 그 공식을 거꾸로 돌려 $r$을 되찾는다(도구 #11, 거꾸로 풀기). 그러면 문제가 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나뉜다(도구 #7). 먼저 둘레에서 $r$을 구하고, 그다음 $r$을 넓이 공식에 넣는다. 이 순서대로 풀면 다섯 개의 선택지를 두고 어림짐작할 필요가 없다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 7.G.B.4 단계 1

반지름에 이름 붙이기

원의 반지름을 $r$이라 하자.
원주 공식은 $C = 2\pi r$이다.
문제에서 $C = 24\pi$이므로, 공식을 주어진 값과 같다고 놓는다.

$$2\pi r = 24\pi$$

💡 원에 관한 모든 사실은 반지름을 타고 나오므로, 반지름부터 문자로 붙잡아 둔다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 2

거꾸로 반지름 구하기

공식을 거꾸로 풀어 $r$만 남긴다.
$2\pi r = 24\pi$의 양변을 $2\pi$로 나눈다.
$\pi$가 약분되고 $24 \div 2 = 12$이므로 $r = 12$이다.

$$r = \dfrac{24\pi}{2\pi} = 12$$

💡 양변을 같은 인수로 나누면 원주 공식에서 반지름을 떼어낼 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

넓이 계산하기

이제 $r = 12$를 넓이 공식 $A = \pi r^2$에 넣는다.
제곱하면 $12^2 = 144$이므로 $A = 144\pi$이다.
넓이가 $k\pi$ 꼴이므로 두 식을 맞추면 $k = 144$이다.
따라서 답은 $\textbf{(E)}\ 144$이다.

$$A = \pi r^2 = \pi (12)^2 = 144\pi \;\Rightarrow\; k = 144$$

💡 반지름만 알면 넓이는 한 번의 대입이며, $12$를 제곱하니 숫자가 껑충 뛴다.

[1] #4 7.G.B.4 원의 반지름을 $r$이라 하자. 원주 공식은 $C = 2\pi r$이다. 문제에서 $C = 24\pi$이므로, 공식을 주어진 값과 같다고 놓는다

[2] #11 6.EE.B.7 공식을 거꾸로 풀어 $r$만 남긴다. $2\pi r = 24\pi$의 양변을 $2\pi$로 나눈다. $\pi$가 약분되고 $24 \div 2 =

[3] #7 7.G.B.4 이제 $r = 12$를 넓이 공식 $A = \pi r^2$에 넣는다. 제곱하면 $12^2 = 144$이므로 $A = 144\pi$이다. 넓이가

검토

합리성 확인: 반지름을 둘레와 대조해 확인한다. $2\pi (12) = 24\pi$로 주어진 둘레와 정확히 일치한다. 반지름 $12$는 꽤 크므로, 넓이 $144\pi$가 둘레의 수 $24$보다 훨씬 큰 것은 넓이가 반지름의 제곱에 비례해 커지기 때문에 자연스럽다. $12^2$과 같은 선택지는 (E) $144$뿐이므로 정답이라는 강한 신호다.

대안 접근: $r$을 직접 구하지 않고 넓이를 둘레와 바로 연결할 수도 있다. $C = 2\pi r$에서 $r = \dfrac{C}{2\pi}$이므로 $A = \pi r^2 = \pi\left(\dfrac{C}{2\pi}\right)^2 = \dfrac{C^2}{4\pi}$이다. $C = 24\pi$를 넣으면 $A = \dfrac{(24\pi)^2}{4\pi} = \dfrac{576\pi^2}{4\pi} = 144\pi$이므로 다시 $k = 144$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (원주 공식 $2\pi r$을 $24\pi$와 같다고 놓고, 반지름을 구한 뒤 넓이 공식 $\pi r^2$을 적용하는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($2\pi r = 24\pi$의 양변을 $2\pi$로 나누어 $r = 12$를 구하는 데 사용.)

⭐ 둘레와 넓이는 모두 반지름에서 나오므로, 둘레에서 반지름을 거꾸로 되찾은 뒤 넓이 공식에서 제곱하면 $k = 144$가 된다.