AMC 10 · 2010 · #6
학년 6 arithmetic function-evaluationfraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
양수 x와 y에 대해 새로 만든 연산을 ♠(x,y) = x - 로 정의한다. ♠ 하나가 다른 ♠ 안에 들어 있는 ♠(2,♠(2,2))의 값을 구하라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\ \dfrac{2}{3}$
(B)
$\ 1$
(C)
$\ \dfrac{4}{3}$
(D)
$\ \dfrac{5}{3}$
(E)
$\ 2$
AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
연산이 겹쳐 있어서 바깥쪽 ♠ 는 아직 모르는 수에 달려 있다. 안쪽 문제 ♠(2,2)를 먼저 풀어 그 결과를 바깥쪽 ♠ 에 넣고, 마지막 값을 다섯 개의 선택지와 맞춰 본다.
1STEP 1
규칙을 읽고 안쪽 부분 찾기
규칙은 "첫 수에서 두 번째 수분의 1을 빼라"는 뜻인데, 여기서는 두 번째 자리가 ♠(2,2)이므로 이것부터 구한다.
♠(2,♠(2,2)) 에는 먼저 ♠(2,2) 가 필요하다
아직 구하지 않은 수는 쓸 수 없으니 안쪽이 먼저다.
6.EE.A.2Identify Subproblems2STEP 2
안쪽 스페이드 계산
규칙에 x=2, y=2를 넣으면 이므로 이 남는다.
♠(2,2) = 2 - 1/2 = 4/2 - 1/2 = 3/2
자연수를 이분수로 바꾸면 두 항의 분모가 같아진다.
5.NF.A.1Introduce A Variable3STEP 3
바깥쪽 스페이드 세우기
이제 식은 ♠(2,)이고, 1을 으로 나누면 분수가 뒤집히므로 뺄 값은 이다.
♠(2,3/2) = 2 - 1/ 3/2 = 2 - 2/3
1을 분수로 나누면 그 분수를 뒤집기만 하면 된다.
1을 어떤 분수로 나누면 그 분수가 뒤집힐 뿐이다.
▸ 왜?
나누기는 곱하기를 되돌리므로, 어떤 양으로 나누는 것은 그것을 1로 되돌리는 수를 곱하는 것이다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
분수에 그 뒤집은 것을 곱하면 1이 되고, 1을 곱해도 아무것도 달라지지 않는다.
곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
4STEP 4
뺄셈 마무리
2를 으로 쓰면 이므로 이고, 이는 선택지 (C)이다.
2 - 2/3 = 6/3 - 2/3 = 4/3
앞과 같은 방법으로 두 항을 삼분수로 맞춘 뒤 분자끼리 뺀다.
5.NF.A.1Identify Subproblems정답
4/3
마지막 값 4/3은 1 보다 조금 큰데, 이는 자연스럽다. 각 ♠ 는 2 에서 시작해 2 보다 작은 양수를 빼므로 결과는 0과 2 사이에 있어야 한다. 3/2와 4/3 모두 그 범위에 들어가고, 4/3은 정확히 선택지 (C)이다.
💡핵심 정리
한 연산이 다른 연산 안에 들어 있으면 안쪽을 먼저 풀고, 분수분의 1은 그냥 뒤집으면 된다는 것을 기억하자.
- 규칙을 읽고 안쪽 부분 찾기
- 안쪽 스페이드 계산
- 바깥쪽 스페이드 세우기
- 뺄셈 마무리