AMC 10 · 2010 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationfraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

양수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 연산 $\spadesuit (x,y)$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\spadesuit (x,y) = x-\dfrac{1}{y}$

$\spadesuit (2,\spadesuit (2,2))$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \dfrac{2}{3}$

(B)

$\ 1$

(C)

$\ \dfrac{4}{3}$

(D)

$\ \dfrac{5}{3}$

(E)

$\ 2$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 새로 정의한 연산 $\spadesuit(x,y)$ 는 "$x$ 에서 $\dfrac{1}{y}$ 를 빼라"는 뜻이다. 우리는 $\spadesuit(2,\spadesuit(2,2))$ 의 값을 구해야 하는데, $\spadesuit$ 하나가 다른 $\spadesuit$ 안에 들어 있다.

주어진 것: 양수 $x$, $y$ 에 대한 규칙 $\spadesuit(x,y) = x - \dfrac{1}{y}$.; 구해야 할 식은 $\spadesuit(2,\spadesuit(2,2))$ 이다.

구하는 것: $\spadesuit(2,\spadesuit(2,2))$ 가 나타내는 하나의 수.

이해

주어진 것: 양수 $x$, $y$ 에 대한 규칙 $\spadesuit(x,y) = x - \dfrac{1}{y}$.; 구해야 할 식은 $\spadesuit(2,\spadesuit(2,2))$ 이다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

연산이 겹쳐 있어서 바깥쪽 $\spadesuit$ 는 아직 모르는 수에 달려 있다. 안쪽 문제 $\spadesuit(2,2)$ 를 먼저 풀어 그 결과를 바깥쪽 $\spadesuit$ 에 넣고, 마지막 값을 다섯 개의 선택지와 맞춰 본다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

규칙을 읽고 안쪽 부분 찾기

이 연산은 하나의 요리법일 뿐이다.
$\spadesuit(x,y)$ 는 "첫 번째 수에서 두 번째 수분의 1을 빼라"는 뜻이다.
$\spadesuit(2,\spadesuit(2,2))$ 에서 두 번째 자리 자체가 $\spadesuit$ 이므로, 다른 어떤 것보다 안쪽 $\spadesuit(2,2)$ 를 먼저 계산해야 한다.

\spadesuit(2,\spadesuit(2,2)) \quad\text{에는 먼저}\quad \spadesuit(2,2)\text{ 가 필요하다}

💡 아직 구하지 않은 수는 쓸 수 없으니 안쪽이 먼저다.

#4 변수 도입하기 5.NF.A.1 단계 2

안쪽 스페이드 계산

규칙에 $x=2$, $y=2$ 를 넣으면 $2 - \dfrac{1}{2}$ 가 된다.
$2 = \dfrac{4}{2}$ 이므로 $\dfrac{1}{2}$ 를 빼면 $\dfrac{3}{2}$ 가 남는다.

$$\spadesuit(2,2) = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$$

💡 자연수를 이분수로 바꾸면 두 항의 분모가 같아진다.

#4 변수 도입하기 6.NS.A.1 단계 3

바깥쪽 스페이드 세우기

이제 식은 $\spadesuit\left(2,\dfrac{3}{2}\right)$ 이다.
$x=2$, $y=\dfrac{3}{2}$ 로 규칙을 적용하면 $2 - \dfrac{1}{3/2}$ 이 된다.
$1$ 을 $\dfrac{3}{2}$ 로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것이므로 $\dfrac{1}{3/2} = \dfrac{2}{3}$ 이다.

$$\spadesuit\left(2,\dfrac{3}{2}\right) = 2 - \dfrac{1}{\,3/2\,} = 2 - \dfrac{2}{3}$$

💡 1을 분수로 나누면 그 분수를 뒤집기만 하면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 4

뺄셈 마무리

$2 - \dfrac{2}{3}$ 를 계산한다.
$2 = \dfrac{6}{3}$ 으로 쓰면 $\dfrac{6}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$ 이다.
이는 선택지 (C) 와 일치한다.

$$2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$$

💡 앞과 같은 방법으로 두 항을 삼분수로 맞춘 뒤 분자끼리 뺀다.

[1] #7 6.EE.A.2 이 연산은 하나의 요리법일 뿐이다. $\spadesuit(x,y)$ 는 "첫 번째 수에서 두 번째 수분의 1을 빼라"는 뜻이다. $\spades

[2] #4 5.NF.A.1 규칙에 $x=2$, $y=2$ 를 넣으면 $2 - \dfrac{1}{2}$ 가 된다. $2 = \dfrac{4}{2}$ 이므로 $\dfrac{1

[3] #4 6.NS.A.1 이제 식은 $\spadesuit\left(2,\dfrac{3}{2}\right)$ 이다. $x=2$, $y=\dfrac{3}{2}$ 로 규칙을

[4] #7 5.NF.A.1 $2 - \dfrac{2}{3}$ 를 계산한다. $2 = \dfrac{6}{3}$ 으로 쓰면 $\dfrac{6}{3} - \dfrac{2}{3}

검토

합리성 확인: 마지막 값 $\dfrac{4}{3}$ 은 $1$ 보다 조금 큰데, 이는 자연스럽다. 각 $\spadesuit$ 는 $2$ 에서 시작해 $2$ 보다 작은 양수를 빼므로 결과는 $0$ 과 $2$ 사이에 있어야 한다. $\dfrac{3}{2}$ 와 $\dfrac{4}{3}$ 모두 그 범위에 들어가고, $\dfrac{4}{3}$ 은 정확히 선택지 (C) 이다.

대안 접근: 모든 것을 하나의 분수로 유지할 수도 있다. $\spadesuit(2,2)=\dfrac{3}{2}$ 이고 바깥쪽은 곧바로 $2 - \dfrac{2}{3}$ 이 된다. 어느 방법이든 역수 단계 $\dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}$ 가 핵심이다. 이를 건너뛰어 $\dfrac{1}{3/2}=\dfrac{3}{2}$ 로 잘못 쓰면 $\dfrac{1}{2}$ 가 나오는데, 이는 선택지에도 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (정의된 연산 $\spadesuit(x,y)=x-\dfrac{1}{y}$ 를 공식으로 읽고 각 자리에 수를 대입하는 데 사용.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (자연수를 공통분모로 바꿔 $2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ 와 $2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$ 를 계산하는 데 사용.)
6.NS.A.1 Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems ($\dfrac{1}{3/2}$ 을 $1$ 을 $\dfrac{3}{2}$ 로 나누는 것으로 해석하여 역수를 곱해 $\dfrac{2}{3}$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 한 연산이 다른 연산 안에 들어 있으면 안쪽을 먼저 풀고, 분수분의 1은 그냥 뒤집으면 된다는 것을 기억하자.