AMC 10 · 2010 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

ratelinear-equations-one-varcasework convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

토니는 하루에 $2$ 시간씩 일하며, 나이의 만 한 살당 시간당 $ $0.50$ 을 받는다. 6개월 동안 토니는 $50$ 일을 일하고 $ $630$ 을 벌었다. 6개월 기간이 끝났을 때 토니의 나이는 몇 살이었는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 9$

(B)

$\ 11$

(C)

$\ 12$

(D)

$\ 13$

(E)

$\ 14$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 토니는 하루에 $2$시간씩 일한다. 나이의 만 나이 한 살마다 시간당 $\$0.50$를 받는다. 6개월 동안 그는 $50$일을 일했고 모두 $\$630$를 벌었다. 6개월이 끝났을 때 토니의 나이를 구하여라.

주어진 것: 토니는 하루에 $2$시간 일한다.; 급여는 만 나이 한 살마다 시간당 $\$0.50$이다.; 6개월 동안 $50$일을 일했고 $\$630$를 벌었다.; 선택지: (A) $9$, (B) $11$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $14$.

구하는 것: 6개월이 끝났을 때 토니의 나이(만 나이, 정수).

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

먼저 단위를 따라가며 급여 규칙을 풀어낸다(도구 #8, 단위 살펴보기). 하루 $2$시간 곱하기 나이 한 살당 시간당 $\$0.50$은 나이 한 살당 하루 $\$1$이 되므로, 하루 급여(달러)는 곧 나이(살)와 같다. 다음으로 가까운 두 고정 나이를 시험한다(도구 #3, 가능성 지우기). 나이가 하나로 고정되어서는 $\$630$를 만들 수 없으므로 기간 중간에 생일이 있었음을 알 수 있다. 마지막으로 나이가 많은 날의 수를 문자로 놓고(도구 #4, 변수 도입하기) 일차식을 푼다. 답이 양의 정수로 나오면 생일이 있었음이 확인되고, 따라서 끝났을 때의 나이는 더 많은 쪽이다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

급여 규칙을 하루 급여로 바꾸기

급여 규칙의 단위를 따라가 보자.
토니는 한 시간마다 만 나이 한 살당 $\$0.50$를 받는다. 하루에 $2$시간 일하므로 하루 급여는 $2 \times \$0.50 \times (\text{나이})$이다.
$2 \times 0.50 = 1$이므로, 이는 나이 한 살당 하루 $\$1$이다.
따라서 하루 급여(달러)는 그의 나이(살)와 같다.

$$2 \times 0.50 \times a = a \text{ (하루 달러)}$$

💡 단위를 따라가면 복잡한 비율이 '하루에 나이만큼 달러를 번다'는 하나의 깔끔한 사실로 정리된다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.5 단계 2

고정된 나이로 시험하기

만약 토니의 나이가 바뀌지 않았다면 총액은 $50$일 곱하기 고정된 하루 급여이다.
$12$살이면 $50 \times 12 = 600$달러, $13$살이면 $50 \times 13 = 650$달러이다.
실제 총액 $\$630$는 $\$600$와 $\$650$ 사이에 정확히 들어간다. 어떤 하나의 고정 나이로도 $\$630$가 나오지 않으므로, 기간 중에 그의 나이가 $12$에서 $13$으로 올라갔다 — 즉 생일이 있었다.

$$50 \times 12 = 600, \quad 50 \times 13 = 650, \quad 600 < 630 < 650$$

💡 총액이 두 나이의 총액 사이에 갇혀 있다면 그 사이에 나이 자체가 바뀐 것이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

날 수를 세고 나이 읽어내기

토니가 $13$살일 때 일한 날 수를 $d$라 하면, $12$살일 때 일한 날은 $50 - d$일이다.
그의 총 수입은 $12(50-d) + 13d = 600 - 12d + 13d = 600 + d$이다.
이를 $630$과 같다고 놓으면 $600 + d = 630$, 즉 $d = 30$이다.
그러면 $12$살인 날은 $50 - 30 = 20$일이다.
두 날 수 모두 양의 정수이므로 생일이 정말 기간 안에 있었다.
나이는 오르기만 하므로 $12$살인 $20$일이 먼저 오고 $13$살인 $30$일이 뒤에 온다.
따라서 6개월이 끝났을 때 그는 $13$살이었다.
답은 $\textbf{(D)}\ 13$이다.

$$12(50-d) + 13d = 630 \;\Rightarrow\; 600 + d = 630 \;\Rightarrow\; d = 30$$

💡 나이가 많은 날을 문자로 놓으면 나눔이 반드시 정수로 떨어지는 한 단계 방정식이 된다.

[1] #8 6.RP.A.3 급여 규칙의 단위를 따라가 보자. 토니는 한 시간마다 만 나이 한 살당 $\$0.50$를 받는다. 하루에 $2$시간 일하므로 하루 급여는 $2

[2] #3 4.NBT.B.5 만약 토니의 나이가 바뀌지 않았다면 총액은 $50$일 곱하기 고정된 하루 급여이다. $12$살이면 $50 \times 12 = 600$달러, $

[3] #4 6.EE.B.7 토니가 $13$살일 때 일한 날 수를 $d$라 하면, $12$살일 때 일한 날은 $50 - d$일이다. 그의 총 수입은 $12(50-d) + 1

검토

합리성 확인: 나눈 값을 다시 넣어 확인하자. $12$살 $20$일은 $\$240$, $13$살 $30$일은 $\$390$, 그리고 $240 + 390 = 630$으로 총액과 정확히 맞는다. 날 수 $20$과 $30$은 모두 양수이고 합이 $50$이므로 이야기가 앞뒤가 맞는다. 불가능한 두 고정 나이 총액 $\$600$와 $\$650$가 $\$630$를 사이에 두고 있으니, 나이가 $12$에서 $13$으로 넘어갔음이 확인된다. 따라서 끝났을 때의 나이는 $13$, 선택지 (D)이다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 초과분으로 생각해 보자. 만약 토니가 $50$일 내내 $12$살이었다면 $\$600$를 벌어 $\$630$보다 $\$30$ 부족하다. 그가 $12$ 대신 실제로 $13$살이었던 날마다 정확히 $\$1$씩 더 벌린다. $\$30$를 채우려면 그런 날이 $30$일 필요하므로 $13$살인 날이 $30$일, $12$살인 날이 $20$일이다. 그는 더 많은 나이로 끝나므로 마지막에는 $13$살이었다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (하루 $2$시간과 나이 한 살당 시간당 $\$0.50$를 결합하여 하루 급여(달러)가 나이(살)와 같음을 알아내는 데 사용.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number ($50 \times 12 = 600$과 $50 \times 13 = 650$을 계산하여 $\$630$ 총액을 두 고정 나이 사이에 끼우는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($12(50-d) + 13d = 630$을 세우고 $600 + d = 630$으로 간단히 하여 $d = 30$을 구해 날을 나누는 데 사용.)

⭐ 하루 급여가 곧 그의 나이(달러)이므로, 총액이 $50\times12$와 $50\times13$ 사이에 끼면 중간에 $13$살이 된 것이다 — 그래서 끝났을 때 나이는 $13$이다.