AMC 10 · 2010 · #17
학년 6 logic유클리드 시의 모든 고등학교는 수학 대회에 3명으로 이루어진 팀을 보냈다. 대회의 각 참가자는 서로 다른 점수를 받았다. 안드레아의 점수는 모든 학생 중 중앙값이었고, 그녀의 팀에서 가장 높은 점수였다. 안드레아의 팀원인 베스와 카를라는 각각 37등과 64등을 했다. 이 시에는 학교가 몇 개 있는가?
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 모든 학교는 정확히 3명의 학생을 보낸다. 그래서 전체 학생 수는 학교 수의 3배이다. 모든 점수가 서로 달라서 등수는 1등, 2등, 3등처럼 겹치지 않는다. ìëë ì의 점수는 전체 학생의 중앙값이고, ìëë ì는 자기 팀에서 1등이다. 팀 동료들은 37등과 64등을 했다. 학교가 몇 개인지 구하라.
주어진 것: 각 학교는 정확히 3명의 학생을 보낸다.; 모든 점수가 서로 다르므로 1등, 2등, 3등 등수가 모두 유일하다.; ìëë ì의 점수는 전체 학생의 중앙값이다.; ìëë ì는 자기 팀에서 가장 높은 점수를 받았다.; 팀 동료 ë² ì¤와 카를ë¼는 각각 37등과 64등을 했다.
구하는 것: 도시에 있는 학교의 수.
이해
문제 재정리: 모든 학교는 정확히 3명의 학생을 보낸다. 그래서 전체 학생 수는 학교 수의 3배이다. 모든 점수가 서로 달라서 등수는 1등, 2등, 3등처럼 겹치지 않는다. ìëë ì의 점수는 전체 학생의 중앙값이고, ìëë ì는 자기 팀에서 1등이다. 팀 동료들은 37등과 64등을 했다. 학교가 몇 개인지 구하라.
주어진 것: 각 학교는 정확히 3명의 학생을 보낸다.; 모든 점수가 서로 다르므로 1등, 2등, 3등 등수가 모두 유일하다.; ìëë ì의 점수는 전체 학생의 중앙값이다.; ìëë ì는 자기 팀에서 가장 높은 점수를 받았다.; 팀 동료 ë² ì¤와 카를ë¼는 각각 37등과 64등을 했다.
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #14 극단의 원리, #3 가능성 지우기
학교 수를 문자로 이름 붙이면 전체 학생 수와 ìëë ì의 중앙값 등수가 간단한 식이 된다. 두 동료의 등수는 경계선 역할을 해서 중앙값 등수를 위와 아래에서 조여 준다(극단의 원리). 전체 수가 홀수여야 하고 학교 수는 자연수이므로 후보 중 하나만 살아남는다(가능성 지우기).
실행 — 정답: B
6.EE.A.2 단계 1 학교 수를 문자로 놓기
- 학교 수를 n이라 하자.
- 각 학교가 3명씩 보내므로 전체 학생 수는 3n이다.
💡 구하려는 대상에 문자 하나를 붙이면 다른 모든 양을 그 문자로 나타낼 수 있다.
6.SP.B.5 단계 2 중앙값의 등수 찾기
- 중앙값은 실제 한 학생의 점수이므로 학생들이 두 무리로 똑같이 나뉠 수 없다.
- 그래서 3n은 홀수여야 하고, 이는 n이 홀수임을 뜻한다.
- 3n이 홀수일 때 중앙값은 정확히 가운데인 (3n+1)/2 등에 놓인다.
- 여기서 1등은 가장 높은 점수를 뜻한다.
💡 가운데 값 하나가 딱 존재하려면 목록의 개수가 홀수여야 한다.
6.EE.B.8 단계 3 ë² ì¤로 n의 위쪽 한계 정하기
- ìëë ì는 팀에서 1등이고 ë² ì¤는 37등이다.
- 그래서 ìëë ì의 등수는 37등보다 앞서야 하며, 등수 숫자는 많아야 36이다.
- 중앙값 등수를 36 이하로 놓고 n을 구한다.
💡 알려진 등수를 앞선다는 사실은 중앙값이 놓일 수 있는 위치에 천장을 씌운다.
6.EE.B.8 단계 4 카를ë¼로 n의 아래쪽 한계 정하기
- 카를ë¼가 64등이므로 64등 자리가 존재해야 한다.
- 즉 학생은 적어도 64명이고 3n은 64 이상이다.
- 3으로 나누면 n은 22 이상이다(3 곱하기 21은 63뿐이므로).
💡 실제로 나온 등수 번호는 적어도 그만큼의 사람이 왔음을 증명한다.
6.EE.B.5 단계 5 조건에 맞는 값만 남기기
- 이제 n은 22 <= n <= 23을 만족하면서 홀수여야 한다.
- 22와 23 중에서 홀수는 23뿐이므로 n = 23이다.
💡 자연수 범위 안에 올바른 홀짝성을 가진 값이 하나뿐이면 그 값이 정해진다.
6.SP.A.3 단계 6 개수 확인하기
- 학교가 23개이면 학생은 3 곱하기 23 = 69명으로 홀수이고, 중앙값은 (69+1)/2 = 35등인 사람이다.
- 35등인 ìëë ì는 37등 ë² ì¤와 64등 카를ë¼보다 앞서므로 정말로 팀 1등이고 모든 조건이 맞는다.
- 학교 수는 23이고, 이는 보기 (B)이다.
💡 찾은 답을 다시 넣었을 때 이야기 속 모든 단서가 참이 되어야 한다.
6.EE.A.2 학교 수를 n이라 하자. 각 학교가 3명씩 보내므로 전체 학생 수는 3n이다. 6.SP.B.5 중앙값은 실제 한 학생의 점수이므로 학생들이 두 무리로 똑같이 나뉠 수 없다. 그래서 3n은 홀수여야 하고, 이는 n이 홀수임을 뜻한다. 3n이 6.EE.B.8 ìëë ì는 팀에서 1등이고 ë² ì¤는 37등이다. 그래서 ìëë ì의 등수는 37등보다 앞서야 하며, 등수 숫자는 6.EE.B.8 카를ë¼가 64등이므로 64등 자리가 존재해야 한다. 즉 학생은 적어도 64명이고 3n은 64 이상이다. 3으로 나누면 n은 22 이상 6.EE.B.5 이제 n은 22 <= n <= 23을 만족하면서 홀수여야 한다. 22와 23 중에서 홀수는 23뿐이므로 n = 23이다. 6.SP.A.3 학교가 23개이면 학생은 3 곱하기 23 = 69명으로 홀수이고, 중앙값은 (69+1)/2 = 35등인 사람이다. 35등인 ìëë ì 검토
합리성 확인: 답을 모든 단서와 대조한다. 학교 23개는 학생 69명을 주고, 이는 홀수이므로 35등에 단 하나의 중앙값이 존재한다. 35등인 ìëë ì는 두 동료(37등, 64등)보다 앞서므로 팀 1등이고, 69는 64 이상이라 64등 자리도 존재한다. 모든 조건이 충족되며 23은 보기 안에 있다.
대안 접근: 대수 대신 보기를 직접 넣어 본다. 각 보기에서 3n과 가운데 등수 (3n+1)/2를 계산한다. n=25이면 학생 75명에 중앙값이 38등이 되는데, 그러면 37등 ë² ì¤가 ìëë ì보다 앞서 이야기와 모순이다. n=22나 24이면 학생이 66명이나 72명으로 짝수라 한 사람이 중앙값이 될 수 없다. 오직 n=23만이 홀수 총원에 중앙값(35등)이 두 동료보다 앞선다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (학교 수를 n으로 놓고 전체를 3n, 중앙값 등수를 (3n+1)/2로 나타내기.)6.SP.B.5중앙값을 포함하여 수치 자료를 맥락에 맞게 요약하기 (중앙값을 가운데 등수에 놓고, 하나뿐인 중앙값이 존재하려면 학생 수가 홀수여야 함을 추론하기.)6.EE.B.8실세계 문제의 제약을 부등식으로 나타내기 ('ìëë ì가 37등을 앞선다'와 '64등이 존재한다'를 n <= 23, n >= 22 경계로 바꾸기.)6.EE.B.5부등식을 푸는 것을 참이 되는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (22 <= n <= 23이고 n이 홀수인 범위를 유일한 값 n = 23으로 좁히기.)6.SP.A.3중심의 척도가 자료를 하나의 수로 요약함을 이해하기 (학생 69명일 때 중앙값이 정확히 35등인 사람임을 확인하기.)
⭐ 모르는 값에 이름을 붙이고, 각 단서를 위아래로 조이는 부등식으로 바꾼 다음, 올바른 홀짝성을 가진 자연수 하나만 남겨라.
⭐ 모르는 값에 이름을 붙이고, 각 단서를 위아래로 조이는 부등식으로 바꾼 다음, 올바른 홀짝성을 가진 자연수 하나만 남겨라.
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