AMC 10 · 2010 · #17

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

mean-median-mode-rangelogical-deductionlinear-equations-one-var bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

유클리드 시의 모든 고등학교는 수학 대회에 3명으로 이루어진 팀을 보냈고, 그래서 전체 학생 수는 학교 수의 3배이다. 참가자마다 받은 점수가 모두 다르므로 등수는 겹치지 않는다. 안드레아의 점수는 모든 학생 중 중앙값이었고, 그녀의 팀에서 가장 높은 점수였다. 팀 동료인 베스와 카를라는 각각 37등과 64등을 했다. 이 시에는 학교가 몇 개 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

학교 수를 문자로 이름 붙이면 전체 학생 수와 ìëë ì의 중앙값 등수가 간단한 식이 된다. 두 동료의 등수는 경계선 역할을 해서 중앙값 등수를 위와 아래에서 조여 준다(극단의 원리). 전체 수가 홀수여야 하고 학교 수는 자연수이므로 후보 중 하나만 살아남는다(가능성 지우기).

1STEP 1

학교 수를 문자로 놓기

학교 수를 n이라 하자. 각 학교가 3명씩 보내므로 전체 학생 수는 3n이다.

total students = 3n

2STEP 2

중앙값의 등수 찾기

중앙값이 하나이려면 3n이 홀수여야 하므로 n도 홀수이고, 안드레아는 (3n+1)/2 등에 놓인다.

ìëë ìì ë±ì = (3n+1)/2, 3n odd → n odd

3STEP 3

베스로 n의 위쪽 한계 정하기

안드레아는 37등인 베스보다 앞서므로 등수가 많아야 36이고, (3n+1)/2 ≤ 36에서 n ≤ 23이다.

(3n+1)/2 ≤ 36 → 3n ≤ 71 → n ≤ 23

4STEP 4

카를라로 n의 아래쪽 한계 정하기

카를라의 64등이 존재하므로 3n은 64 이상이고, 3 곱하기 21은 63뿐이므로 n ≥ 22이다.

3n ≥ 64 → n ≥ 22

5STEP 5

조건에 맞는 값만 남기기

이제 22 ≤ n ≤ 23이면서 n은 홀수여야 하는데, 이 범위의 홀수는 23뿐이므로 n = 23이다.

22 ≤ n ≤ 23, n odd → n = 23

6STEP 6

개수 확인하기

학교 23개면 학생은 69명으로 홀수이니 안드레아는 35등이고, 37등 베스와 64등 카를라보다 앞선다.

3 · 23 = 69, (69+1)/2 = 35

정답

답을 모든 단서와 대조한다. 학교 23개는 학생 69명을 주고, 이는 홀수이므로 35등에 단 하나의 중앙값이 존재한다. 35등인 안드레아는 두 동료(37등, 64등)보다 앞서므로 팀 1등이고, 69는 64 이상이라 64등 자리도 존재한다. 모든 조건이 충족되며 23은 보기 안에 있다.

💡핵심 정리

모르는 값에 이름을 붙이고, 각 단서를 위아래로 조이는 부등식으로 바꾼 다음, 올바른 홀짝성을 가진 자연수 하나만 남겨라.

학교 수를 문자로 놓기
중앙값의 등수 찾기
베스로 n의 위쪽 한계 정하기
카를라로 n의 아래쪽 한계 정하기
조건에 맞는 값만 남기기
개수 확인하기