AMC 10 · 2010 · #20

학년 8 geometry-2d

tangent-circlessimilar-figuresarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 원이 정육각형 $ABCDEF$ 의 외부에 있다. 첫 번째 원은 $\overline{AB}$ 에 접하고, 두 번째 원은 $\overline{DE}$ 에 접한다. 두 원 모두 직선 $BC$ 와 $FA$ 에 접한다. 첫 번째 원의 넓이에 대한 두 번째 원의 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

108

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육각형 $ABCDEF$ 바깥에 원 두 개가 있다. 두 원 모두 직선 $BC$와 직선 $FA$에 접한다. 첫 번째 원은 변 $\overline{AB}$에도 접하고, 두 번째 원은 변 $\overline{DE}$에 접한다. 두 번째 원($\overline{DE}$에 접하는 원)의 넓이를 첫 번째 원($\overline{AB}$에 접하는 원)의 넓이로 나눈 비를 구하여라.

주어진 것: $ABCDEF$는 정육각형이므로 모든 변의 길이가 같고 내각은 모두 $120^\circ$이다; 첫 번째 원은 육각형 바깥에 있고 $\overline{AB}$에 접한다; 두 번째 원은 육각형 바깥에 있고 $\overline{DE}$에 접한다; 두 원 모두 직선 $BC$와 직선 $FA$에 접한다(필요하면 변을 연장한 직선 전체); 선택지: (A) $18$, (B) $27$, (C) $36$, (D) $81$, (E) $108$

구하는 것: 비 $\dfrac{\text{두 번째 원의 넓이}}{\text{첫 번째 원의 넓이}}$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

이 문제는 순전히 도형과 위치의 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 직선 $BC$와 $FA$를 연장해 만나게 하면 두 원이 반드시 들어앉는 $60^\circ$짜리 모서리가 드러난다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "모서리 안의 원이 어디에 놓이는가"라는 재사용 가능한 사실 하나와, $\overline{AB}$에서 재는 반지름 계산·$\overline{DE}$에서 재는 반지름 계산이라는 두 부분으로 나눈다. 도구 #4(변수 도입하기)로 육각형 한 변의 길이를 $1$로 정하면 모든 거리가 구체적인 수가 되어 두 반지름을 비교할 수 있다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

공유하는 두 직선을 연장해 모서리 만들기

두 원 모두 직선 $BC$와 $FA$에 접하므로 이 두 변을 직선 전체로 그린다.
두 직선을 연장해 한 점 $P$에서 만나게 하자.
육각형이 정육각형이라 내각이 $120^\circ$이고, 각 꼭짓점에서 변은 $60^\circ$씩 꺾이므로 직선 $BC$와 $FA$는 $60^\circ$로 만난다.
두 직선에 모두 접하는 원은 반드시 이 $60^\circ$ 모서리 안에, 그 각을 $30^\circ$씩 둘로 나누는 이등분선 위에 중심을 두고 놓인다.

$$\text{직선 } BC \text{와 } FA \text{ 사이 각} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

💡 접하는 두 직선이 만나면 모서리가 생기고, 두 직선에 모두 닿는 원은 그 모서리의 이등분선 위에 파고들 수밖에 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

모서리 안 원의 중심은 반지름의 두 배 거리

$60^\circ$ 모서리의 두 변에 모두 접하고 반지름이 $r$인 원을 생각하자.
꼭짓점 $P$에서 중심까지 선을 긋고, 중심에서 한 변으로 길이 $r$인 수선을 내리면 $P$에서 $30^\circ$를 갖는 직각삼각형이 생긴다.
정삼각형을 반으로 자른 것이 바로 이 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 모양이고, 여기서 짧은 변은 빗변의 절반이다.
짧은 변이 $r$이므로 빗변인 $P$–중심 거리는 $2r$이다.
이 사실을 두 원 모두에 다시 쓴다.

$$P \text{에서 중심까지 거리} = 2r$$

💡 정삼각형을 반으로 자르면 긴 변이 짧은 변의 두 배이므로, 중심은 꼭짓점에서 반지름의 두 배만큼 떨어져 있다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

첫 번째 원: AB에서 재기

육각형 한 변을 $1$이라 하자.
첫 번째 원은 $\overline{AB}$에도 접한다.
변 $AB$와 두 모서리 직선이 함께 만드는 작은 삼각형은 세 각이 모두 $60^\circ$인 정삼각형이고 한 변이 $1$이다.
그 높이, 즉 $P$에서 $\overline{AB}$로 곧장 내린 길이는 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
원의 중심은 $P$에서 $2r_1$ 떨어져 있고 반지름 $r_1$을 더 가면 $\overline{AB}$에 닿으므로 전체 높이는 $2r_1 + r_1 = 3r_1$이다.
$3r_1 = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$로 놓으면 $r_1 = \tfrac{\sqrt{3}}{6}$이다.

$$3r_1 = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; r_1 = \tfrac{\sqrt{3}}{6}$$

💡 꼭짓점에서 $\overline{AB}$까지 가려면 중심(반지름 두 개)을 지나 반지름 하나를 더 가므로 높이는 반지름 세 개다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 4

두 번째 원: DE에서, 더 바깥으로 재기

두 번째 원은 $\overline{AB}$와 마주 보는 변 $\overline{DE}$에 접하고, 육각형 바깥으로 $\overline{DE}$ 너머에 있다.
그래서 중심이 $\overline{DE}$를 지나쳐 있다.
$P$에서 중심까지 거리 $2r_2$는 $P$에서 $\overline{DE}$까지 거리에 반지름 $r_2$를 더한 것과 같다.
따라서 $P$에서 $\overline{DE}$까지 거리는 $2r_2 - r_2 = r_2$이다.
이제 그 거리를 재면, $\overline{AB}$까지의 높이 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$에 $\overline{AB}$에서 마주 보는 변 $\overline{DE}$까지의 육각형 폭 $\sqrt{3}$을 더한 값이다.
그러므로 $r_2 = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$이다.

$$r_2 = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

💡 이 원은 변 앞에 파고드는 대신 변을 지나쳐 튀어나오므로, 꼭짓점에서 변까지 거리가 반지름 세 개가 아니라 딱 하나다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 5

반지름의 비를 제곱하기

원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 두 넓이의 비는 반지름의 비를 제곱한 것이다.
반지름의 비는 $\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{3\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/6} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{6}{\sqrt{3}} = 9$이다.
이를 제곱하면 $9^2 = 81$이다.
답은 $\textbf{(D)}\ 81$이다.

$$\dfrac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2 = 9^2 = 81$$

💡 넓이는 반지름의 제곱에 비례하므로, 반지름이 $9$배인 원은 넓이가 $81$배다.

[1] #1 8.G.A.5 두 원 모두 직선 $BC$와 $FA$에 접하므로 이 두 변을 직선 전체로 그린다. 두 직선을 연장해 한 점 $P$에서 만나게 하자. 육각형이 정

[2] #7 8.G.B.7 $60^\circ$ 모서리의 두 변에 모두 접하고 반지름이 $r$인 원을 생각하자. 꼭짓점 $P$에서 중심까지 선을 긋고, 중심에서 한 변으로

[3] #4 8.G.B.7 육각형 한 변을 $1$이라 하자. 첫 번째 원은 $\overline{AB}$에도 접한다. 변 $AB$와 두 모서리 직선이 함께 만드는 작은 삼각

[4] #4 8.G.B.7 두 번째 원은 $\overline{AB}$와 마주 보는 변 $\overline{DE}$에 접하고, 육각형 바깥으로 $\overline{DE}$

[5] #7 7.G.B.4 원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 두 넓이의 비는 반지름의 비를 제곱한 것이다. 반지름의 비는 $\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac

검토

합리성 확인: 반지름은 $r_1 = \tfrac{\sqrt{3}}{6} \approx 0.29$, $r_2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60$으로 비가 약 $9$이다. 두 번째 원이 실제로 훨씬 크며, 이는 그 원이 육각형의 먼 쪽 변을 감싸는 그림과 맞는다. $9$를 제곱하면 $81$로 선택지 중 하나다. 답이 (선형 비인) $9$가 아닌 이유는 넓이가 제곱으로 커지기 때문이고, $3^2 = 9$가 아니라 $81 = 9^2$이 되는 까닭은 가까운 원은 $\overline{AB}$ 앞에 파고들어(꼭짓점에서 반지름 세 개) 있는 반면 먼 원은 $\overline{DE}$ 너머로 튀어나와(반지름 하나) 있기 때문이다. 답 $\textbf{(D)}$가 맞다.

대안 접근: 좌표를 쓰는 도구 #1 방법: 육각형 중심을 원점, 외접원 반지름을 $1$로 놓고 직선 $FA$, $BC$, $DE$의 식을 세운 뒤 각 원의 중심($60^\circ$ 이등분선 위)이 해당 직선들과 같은 거리에 있도록 요구한다. 첫 번째 원은 한 변이 $1$인 정삼각형의 내접원, 두 번째 원은 한 변이 $3$인 정삼각형의 방접원이 되고, 반지름 $\tfrac{\sqrt{3}}{6}$과 $\tfrac{3\sqrt{3}}{2}$이 같은 비 $9$를 주어 넓이비는 $81$이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angles of triangles and the angle-angle criterion for similar triangles (육각형의 $120^\circ$ 내각으로 직선 $BC$와 $FA$가 $60^\circ$로 만나는 것과, 접하는 변에 두 직선을 더하면 정삼각형이 됨을 보이는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles (중심이 꼭짓점에서 $2r$ 떨어진다는 $30$-$60$-$90$ 사실, 정삼각형 높이 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$, 육각형 폭 $\sqrt{3}$을 얻어 $r_1 = \tfrac{\sqrt{3}}{6}$, $r_2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$을 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know and use the formulas for the area and circumference of a circle (넓이 $=\pi r^2$을 써서 반지름의 비 $9$를 넓이의 비로 바꿔 $9^2 = 81$을 얻는 데 사용.)

⭐ 공유하는 두 직선을 연장해 모서리를 만들고, 원의 중심이 꼭짓점에서 반지름의 두 배 거리에 있음을 기억한 뒤, 반지름의 비를 제곱해 넓이의 비를 구하자.