AMC 10 · 2010 · #20

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
tangent-circlessimilar-figuresarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정육각형 ABCDEF 바깥에 원 두 개가 놓여 있다. 두 원 모두 직선 BC와 직선 FA에 접한다. 첫 번째 원은 변 AB에도 접하고, 두 번째 원은 변 DE에 접한다. 두 번째 원의 넓이를 첫 번째 원의 넓이로 나눈 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
18
(B)
27
(C)
36
(D)
81
(E)
108

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이 문제는 순전히 도형과 위치의 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 직선 BC와 FA를 연장해 만나게 하면 두 원이 반드시 들어앉는 60°짜리 모서리가 드러난다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "모서리 안의 원이 어디에 놓이는가"라는 재사용 가능한 사실 하나와, AB에서 재는 반지름 계산·DE에서 재는 반지름 계산이라는 두 부분으로 나눈다. 도구 #4(변수 도입하기)로 육각형 한 변의 길이를 1로 정하면 모든 거리가 구체적인 수가 되어 두 반지름을 비교할 수 있다.

1STEP 1

공유하는 두 직선을 연장해 모서리 만들기

직선 BC와 FA를 연장해 P에서 만나게 하면 그 모서리는 60°이고, 두 원은 이등분선 위에 중심을 둔다.

직선 BC 와 FA 사이 각 = 180° - 120° = 60°
2STEP 2

모서리 안 원의 중심은 반지름의 두 배 거리

모서리를 이등분하면 짧은 변이 r인 30-60-90 삼각형이 되어, P에서 중심까지는 2r이다.

P 에서 중심까지 거리 = 2r
3STEP 3

첫 번째 원: AB에서 재기

한 변을 1이라 하자. P, B, A는 정삼각형이라 높이가 √(3)/2이고 이는 3r₁이므로 r₁ = √(3)/6이다.

3r₁ = √(3)/2 → r₁ = √(3)/6
4STEP 4

두 번째 원: DE에서, 더 바깥으로 재기

이 원은 DE 너머라 P–DE 거리가 곧 r₂이다. 그 거리는 √(3)/2 + √(3)이므로 r₂ = 3√(3)/2이다.

r₂ = √(3)/2 + √(3) = 3√(3)/2
5STEP 5

반지름의 비를 제곱하기

넓이는 반지름의 제곱에 비례하고 r₂/r₁ = 9이므로 넓이의 비는 9² = 81, 선택지 (D)이다.

(π r₂²)/(π r₁²) = (r₂/r₁)² = 9² = 81
정답
81
반지름은 r₁ = √(3)/6 ≈ 0.29, r₂ = 3√(3)/2 ≈ 2.60으로 비가 약 9이다. 두 번째 원이 실제로 훨씬 크며, 이는 그 원이 육각형의 먼 쪽 변을 감싸는 그림과 맞는다. 9를 제곱하면 81로 선택지 중 하나다. 답이 (선형 비인) 9가 아닌 이유는 넓이가 제곱으로 커지기 때문이고, 3² = 9가 아니라 81 = 9²이 되는 까닭은 가까운 원은 AB 앞에 파고들어(꼭짓점에서 반지름 세 개) 있는 반면 먼 원은 DE 너머로 튀어나와(반지름 하나) 있기 때문이다. 답 (D)가 맞다.
💡핵심 정리

공유하는 두 직선을 연장해 모서리를 만들고, 원의 중심이 꼭짓점에서 반지름의 두 배 거리에 있음을 기억한 뒤, 반지름의 비를 제곱해 넓이의 비를 구하자.

  • 공유하는 두 직선을 연장해 모서리 만들기
  • 모서리 안 원의 중심은 반지름의 두 배 거리
  • 첫 번째 원: AB에서 재기
  • 두 번째 원: DE에서, 더 바깥으로 재기
  • 반지름의 비를 제곱하기

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