AMC 10 · 2010 · #22
학년 7 counting서로 다른 사탕 7개를 세 개의 봉지에 나누어 담으려고 한다. 빨간 봉지와 파란 봉지는 각각 최소 한 개의 사탕을 받아야 하며, 흰 봉지는 비어 있어도 된다. 가능한 배치의 수는 몇 가지인가?
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 서로 다른 사탕 $7$개를 빨강, 파랑, 하양 세 개의 봉지에 나누어 담는다. 빨강 봉지와 파랑 봉지에는 각각 사탕이 적어도 한 개씩 들어가야 하고, 하양 봉지는 비어 있어도 된다. 가능한 서로 다른 담는 방법의 수를 구한다.
주어진 것: 서로 다른 사탕이 $7$개 있다; 봉지는 빨강, 파랑, 하양 $3$개다; 빨강 봉지에는 적어도 한 개가 들어가야 한다; 파랑 봉지에는 적어도 한 개가 들어가야 한다; 하양 봉지는 비어 있어도 된다; 보기: (A) $1930$, (B) $1931$, (C) $1932$, (D) $1933$, (E) $1934$
구하는 것: 사탕 $7$개를 세 봉지에 담는 유효한 방법의 수
이해
문제 재정리: 서로 다른 사탕 $7$개를 빨강, 파랑, 하양 세 개의 봉지에 나누어 담는다. 빨강 봉지와 파랑 봉지에는 각각 사탕이 적어도 한 개씩 들어가야 하고, 하양 봉지는 비어 있어도 된다. 가능한 서로 다른 담는 방법의 수를 구한다.
주어진 것: 서로 다른 사탕이 $7$개 있다; 봉지는 빨강, 파랑, 하양 $3$개다; 빨강 봉지에는 적어도 한 개가 들어가야 한다; 파랑 봉지에는 적어도 한 개가 들어가야 한다; 하양 봉지는 비어 있어도 된다; 보기: (A) $1930$, (B) $1931$, (C) $1932$, (D) $1933$, (E) $1934$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #12 벤 다이어그램 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
두 봉지에 대해 "적어도 한 개"라는 조건은 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기)의 전형적인 신호다. 두 조건을 정면으로 만족시키며 세는 것은 복잡하지만, 모든 담는 방법을 센 뒤 규칙을 어긴 경우를 빼는 방식은 깔끔하다. 금지된 경우는 "빨강이 빔"과 "파랑이 빔"이며 이 두 집합은 겹치므로, 도구 #12(벤 다이어그램 / 포함-배제)로 중복을 처리한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 세 개의 간단한 거듭제곱 세기로 나눈다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 먼저 모든 방법을 센다
- 잠시 규칙을 무시한다.
- 서로 다른 사탕 $7$개는 각각 독립적으로 $3$개 봉지 중 하나를 고르므로, 담는 방법의 수는 $3$을 $7$번 곱한 것이다.
💡 좋은 경우만 만들어 세는 것보다, 전체를 센 뒤 나쁜 경우를 버리는 편이 더 쉽다.
6.EE.A.1 단계 2 빨강이 빈 경우를 센다
- 빨강 봉지가 비어 있으면 그 담는 방법은 규칙 위반이다.
- 빨강이 반드시 비어야 한다면 모든 사탕은 파랑 아니면 하양으로 들어가므로 사탕마다 선택지는 $2$개뿐이다.
- 이 $2$의 거듭제곱을 계산한다.
💡 봉지 하나를 금지하면 사탕마다 선택지가 하나 사라져 $3$개가 $2$개로 준다.
7.SP.C.8 단계 3 파랑이 빈 경우를 센다
- 같은 논리로, 파랑 봉지가 반드시 비어야 하면 모든 사탕은 빨강 아니면 하양으로 들어가 다시 사탕마다 $2$개 선택지가 된다.
- 빨강일 때와 완전히 대칭이므로 그 수도 같다.
💡 규칙에서 빨강과 파랑의 역할이 똑같으므로 금지된 경우의 수도 같아야 한다.
4.NBT.B.4 단계 4 겹치는 부분을 바로잡는다
- 빨강이 빈 경우의 모음과 파랑이 빈 경우의 모음은 일부를 공유한다.
- 바로 빨강과 파랑이 둘 다 비어 사탕 $7$개가 모두 하양에 들어가는 경우다.
- 이런 경우는 정확히 $1$가지이며, 두 모음에서 각각 한 번씩 세어져 두 번 빠졌다.
- 따라서 진짜 위반 경우의 수는 $128 + 128$에서 그 $1$을 뺀 값이다.
💡 모두 하양인 경우가 두 번 지워졌으니 한 번 되돌려 더해야 셈이 정확해진다.
4.NBT.B.4 단계 5 위반 경우를 뺀다
전체 담는 방법에서 위반 경우를 빼면, 빨강과 파랑에 각각 사탕이 적어도 한 개씩 들어가는 방법만 정확히 남는다.
💡 전체에서 규칙 위반을 빼면 바로 규칙을 지킨 경우만 남는다 — 답은 $1932$, 보기 (C)다.
7.SP.C.8 잠시 규칙을 무시한다. 서로 다른 사탕 $7$개는 각각 독립적으로 $3$개 봉지 중 하나를 고르므로, 담는 방법의 수는 $3$을 $7$번 곱한 6.EE.A.1 빨강 봉지가 비어 있으면 그 담는 방법은 규칙 위반이다. 빨강이 반드시 비어야 한다면 모든 사탕은 파랑 아니면 하양으로 들어가므로 사탕마다 선택 7.SP.C.8 같은 논리로, 파랑 봉지가 반드시 비어야 하면 모든 사탕은 빨강 아니면 하양으로 들어가 다시 사탕마다 $2$개 선택지가 된다. 빨강일 때와 완전 4.NBT.B.4 빨강이 빈 경우의 모음과 파랑이 빈 경우의 모음은 일부를 공유한다. 바로 빨강과 파랑이 둘 다 비어 사탕 $7$개가 모두 하양에 들어가는 경우다 4.NBT.B.4 전체 담는 방법에서 위반 경우를 빼면, 빨강과 파랑에 각각 사탕이 적어도 한 개씩 들어가는 방법만 정확히 남는다. 검토
합리성 확인: 보기들이 서로 $1$씩만 차이나므로 배수 판정으로 승자를 확인할 수 있다. 유효한 경우의 수는 서로 다른 사탕 $7$개에 봉지를 배정하되 빨강과 파랑이 비지 않는 방법의 수와 같고, 한 특정 사탕을 세 봉지 중 하나에 넣는 것을 바깥 반복으로 두면 전체는 $3$의 배수가 된다. 다섯 보기 중 $1932$만 $3$으로 나누어진다($1+9+3+2=15$, $3$의 배수). $1930, 1931, 1933, 1934$는 그렇지 않다. 이는 직접 센 $2187 - 255 = 1932$, 보기 (C)와 일치한다.
대안 접근: 도구 #7로 하양 봉지의 상태에 따라 나눈다. 먼저 사탕 $7$개를 빨강과 파랑에만 나누되 둘 다 비지 않게 하면 $2^{7} - 2 = 126$가지다(한 봉지에 전부 몰리는 두 경우 제외). 이제 하양을 허용하려면, 대신 하양으로 갈 부분집합을 먼저 고르고($2^{7} = 128$가지) 남은 사탕을 빨강과 파랑에 둘 다 비지 않게 나눈다. 부분집합 크기에 대해 합하면 $2187 - 2\cdot 128 + 1 = 1932$가 되어, 여사건 지름길 없이도 같은 결과에 이른다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (곱의 법칙(경우의 수 세기 원리)으로 표본공간의 크기를 구한다: 사탕마다 독립적인 $3$가지 선택으로 전체 $3^{7}$가지, $2$가지 선택으로 빨강이 빈 경우와 파랑이 빈 경우의 $2^{7}$가지를 센다.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (세기 원리에서 나온 자연수 거듭제곱 $3^{7} = 2187$, $2^{7} = 128$을 계산한다.)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (포함-배제로 위반 경우를 합치고($128 + 128 - 1 = 255$) 전체에서 빼서($2187 - 255 = 1932$) 답을 구한다.)
⭐ 두 곳에 각각 "적어도 한 개"가 필요하면, 전체를 세고 봉지가 빈 경우를 빼되 두 번 뺀 경우를 한 번 다시 더한다.
⭐ 두 곳에 각각 "적어도 한 개"가 필요하면, 전체를 세고 봉지가 빈 경우를 빼되 두 번 뺀 경우를 한 번 다시 더한다.
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