AMC 10 · 2010 · #22

학년 7 counting
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements
principle-of-inclusion-exclusioncomplementary-countingexponents complementary-counting ↑ 선수 지식: principle-of-inclusion-exclusion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
서로 다른 사탕 7개를 빨강, 파랑, 하양 세 개의 봉지에 나누어 담는다. 빨강 봉지와 파랑 봉지에는 각각 사탕이 적어도 한 개씩 들어가야 하고, 하양 봉지는 비어 있어도 된다. 가능한 서로 다른 담는 방법의 수를 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1930
(B)
1931
(C)
1932
(D)
1933
(E)
1934

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

두 봉지에 대해 "적어도 한 개"라는 조건은 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기)의 전형적인 신호다. 두 조건을 정면으로 만족시키며 세는 것은 복잡하지만, 모든 담는 방법을 센 뒤 규칙을 어긴 경우를 빼는 방식은 깔끔하다. 금지된 경우는 "빨강이 빔"과 "파랑이 빔"이며 이 두 집합은 겹치므로, 도구 #12(벤 다이어그램 / 포함-배제)로 중복을 처리한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 세 개의 간단한 거듭제곱 세기로 나눈다.

1STEP 1

먼저 모든 방법을 센다

규칙을 잠시 잊자. 사탕 7개가 각각 봉지 3개 중 하나를 고르니 전체는 2187이다.

3⁷ = 2187
2STEP 2

빨강이 빈 경우를 센다

빨강이 비면 위반이다. 사탕마다 선택지가 파랑, 하양 2개뿐이라 128이다.

2⁷ = 128
3STEP 3

파랑이 빈 경우를 센다

파랑이 빈 경우도 대칭이라 사탕마다 빨강 아니면 하양, 역시 128이다.

2⁷ = 128
4STEP 4

겹치는 부분을 바로잡는다

두 무리는 모두 하양인 경우 하나를 겹쳐 세므로 위반은 256이 아니라 255이다.

128 + 128 - 1 = 255
5STEP 5

위반 경우를 뺀다

전체에서 위반 경우를 빼면 빨강과 파랑에 각각 한 개 이상 든 방법만 남는다.

2187 - 255 = 1932 → (C)
정답
1932
보기들이 서로 1씩만 차이나므로 배수 판정으로 승자를 확인할 수 있다. 유효한 경우의 수는 서로 다른 사탕 7개에 봉지를 배정하되 빨강과 파랑이 비지 않는 방법의 수와 같고, 한 특정 사탕을 세 봉지 중 하나에 넣는 것을 바깥 반복으로 두면 전체는 3의 배수가 된다. 다섯 보기 중 1932만 3으로 나누어진다(1+9+3+2=15, 3의 배수). 1930, 1931, 1933, 1934는 그렇지 않다. 이는 직접 센 2187 - 255 = 1932, 보기 (C)와 일치한다.
💡핵심 정리

두 곳에 각각 "적어도 한 개"가 필요하면, 전체를 세고 봉지가 빈 경우를 빼되 두 번 뺀 경우를 한 번 다시 더한다.

  • 먼저 모든 방법을 센다
  • 빨강이 빈 경우를 센다
  • 파랑이 빈 경우를 센다
  • 겹치는 부분을 바로잡는다
  • 위반 경우를 뺀다

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.