AMC 10 · 2010 · #24

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-geometricsequences-arithmeticsystems-of-equations guess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-geometricsequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

레이더스와 와일드캣츠 사이의 어느 고등학교 농구 경기가 1쿼터 종료 시점에 동점이었다. 레이더스가 네 쿼터에서 각각 득점한 점수는 증가하는 등비수열을 이루었고, 와일드캣츠가 네 쿼터에서 각각 득점한 점수는 증가하는 등차수열을 이루었다. 4쿼터 종료 시점에 레이더스가 $1$ 점 차로 이겼다. 두 팀 모두 $100$ 점을 넘게 득점하지는 않았다. 전반전에 두 팀이 득점한 점수의 총합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 팀이 경기 1쿼터를 마쳤을 때 동점이었다. 네 쿼터 동안 레이더스의 점수는 증가하는 등비수열을, 와일드캣츠의 점수는 증가하는 등차수열을 이룬다. 레이더스의 네 쿼터 합계는 와일드캣츠의 합계보다 정확히 1점 많고, 두 팀 모두 합계가 100점을 넘지 않는다. 두 팀이 전반전(1쿼터와 2쿼터)에 얻은 점수를 모두 합한 값을 구하여라.

주어진 것: 두 팀은 1쿼터에 같은 점수를 얻었다(그때 동점이었다).; 레이더스의 네 쿼터 점수는 증가하는 등비수열 $a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3$ 이며 공비 $r>1$ 이다.; 와일드캣츠의 네 쿼터 점수는 증가하는 등차수열 $a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d$ 이며 공차 $d>0$ 이다.; 레이더스의 합계는 와일드캣츠의 합계보다 정확히 1점 많다.; 각 팀의 네 쿼터 합계는 100점 이하이며, 모든 쿼터 점수는 자연수(정수)이다.

구하는 것: 1쿼터 점수 $a$, 등비수열의 공비 $r$, 등차수열의 공차 $d$.; 두 팀의 전반전 점수 합계.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 세 개의 미지수를 두 개의 수 패턴 속에 숨겨 두었다. 공통된 1쿼터 점수 $a$, 등비수열의 공비 $r$, 등차수열의 간격 $d$ 에 이름을 붙이면 이야기가 비교할 수 있는 식으로 바뀐다. '1점 차 승리'라는 조건이 이들을 하나의 식으로 묶고, 범위가 좁은 확인 과정으로 정수 해 하나를 찾아낸다.

실행 — 정답: E

#13 대수로 바꾸기 5.OA.B.3 단계 1

두 팀을 수열로 나타내기

1쿼터를 마쳤을 때 동점이었으므로 두 팀은 그때 같은 점수를 얻었다.
그 점수를 $a$ 라 하자.
레이더스의 점수는 매 쿼터 일정한 비율을 곱하고(등비), 와일드캣츠의 점수는 매 쿼터 일정한 양을 더한다(등차).

\text{레이더스: } a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3 \qquad \text{와일드캣츠: } a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d

💡 각 팀이 매 쿼터 하나의 간단한 규칙을 따르므로, 규칙을 나타내는 글자 하나로 네 수를 모두 담을 수 있다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

각 팀의 합계 쓰기

각 팀의 네 쿼터를 더해 글자로 된 합계를 만든다.
레이더스의 합계는 깔끔하게 인수분해되고, 와일드캣츠의 합계는 간격이 모인다.

\text{레이더스 합계} = a(1+r+r^2+r^3), \qquad \text{와일드캣츠 합계} = 4a+6d

💡 합계는 네 항을 더한 것일 뿐이며, 글자로 쓰면 두 팀을 곧바로 비교할 수 있다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 3

공비 확정하기

공비는 1보다 커야 하고(증가), 네 점수를 모두 정수로 유지하면서 합계를 100 이하로 두어야 한다.
$r=3$ 이면 레이더스는 $a,3a,9a,27a$ 로 합이 $40a$ 가 되어, 와일드캣츠와 1점 차로 맞추면 정수 간격 $d$ 가 나오지 않는다.
$\tfrac{3}{2}$ 같은 분수 비율은 $a$ 가 8의 배수여야 해서 100을 넘겨 버린다.
따라서 $r=2$ 만이 성립한다.

r=2:\quad \text{레이더스} = a,\,2a,\,4a,\,8a,\quad \text{합계} = 15a \le 100 \Rightarrow a \le 6

💡 매 쿼터 두 배로 늘리는 것이 등차수열을 이기면서도 합계를 한계 아래로 유지하는 가장 완만한 정수 증가이다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

'1점 차 승리' 활용하기

$r=2$ 일 때 레이더스 합계는 $15a$, 와일드캣츠 합계는 $4a+6d$ 이다.
레이더스가 정확히 1점 앞섰으므로, 레이더스 합계를 와일드캣츠 합계에 1을 더한 값과 같게 놓는다.

$$15a = (4a+6d) + 1 \;\Longrightarrow\; 11a - 1 = 6d$$

💡 1점 차라는 사실을 식으로 쓰면 공비 쪽과 간격 쪽이 하나로 묶인다.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.C.7 단계 5

정수 해 찾기

$d = \dfrac{11a-1}{6}$ 가 정수여야 하고, $15a\le 100$ 에서 $a$ 는 1부터 6까지이다.
각 값을 넣어 보면 $11a-1$ 이 6의 배수가 되는 것은 $a=5$ 뿐이다.
이때 $11(5)-1 = 54 = 6d$ 이므로 $d=9$ 이다.

$$a=5:\quad d = \frac{11\cdot 5 - 1}{6} = \frac{54}{6} = 9$$

💡 허용된 범위에서 간격을 정수로 만들어 주는 1쿼터 점수는 오직 하나뿐이다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

확인하고 전반전 합계 구하기

레이더스는 $5,10,20,40$(합계 $75$), 와일드캣츠는 $5,14,23,32$(합계 $74$)를 얻는다.
둘 다 증가하고, 둘 다 100 미만이며, $75 = 74+1$ 이므로 모든 조건이 성립한다.
전반전은 두 팀의 1쿼터와 2쿼터이므로 레이더스는 $(5+10)$, 와일드캣츠는 $(5+14)$ 이다.
전반전 합계는 $15 + 19 = 34$ 이고, 이것이 정답 (E)이다.

$$(5+10) + (5+14) = 15 + 19 = 34$$

💡 성립하는 유일한 경우를 찾고 나면 전반전 합계는 처음 두 쿼터를 그냥 더한 값이다.

[1] #13 5.OA.B.3 1쿼터를 마쳤을 때 동점이었으므로 두 팀은 그때 같은 점수를 얻었다. 그 점수를 $a$ 라 하자. 레이더스의 점수는 매 쿼터 일정한 비율을 곱하

[2] #4 6.EE.A.2 각 팀의 네 쿼터를 더해 글자로 된 합계를 만든다. 레이더스의 합계는 깔끔하게 인수분해되고, 와일드캣츠의 합계는 간격이 모인다.

[3] #6 6.RP.A.3 공비는 1보다 커야 하고(증가), 네 점수를 모두 정수로 유지하면서 합계를 100 이하로 두어야 한다. $r=3$ 이면 레이더스는 $a,3a,9

[4] #4 7.EE.B.4 $r=2$ 일 때 레이더스 합계는 $15a$, 와일드캣츠 합계는 $4a+6d$ 이다. 레이더스가 정확히 1점 앞섰으므로, 레이더스 합계를 와일드

[5] #6 8.EE.C.7 $d = \dfrac{11a-1}{6}$ 가 정수여야 하고, $15a\le 100$ 에서 $a$ 는 1부터 6까지이다. 각 값을 넣어 보면 $1

[6] #3 6.EE.B.5 레이더스는 $5,10,20,40$(합계 $75$), 와일드캣츠는 $5,14,23,32$(합계 $74$)를 얻는다. 둘 다 증가하고, 둘 다 10

검토

합리성 확인: 최종 점수 $5,10,20,40$ 과 $5,14,23,32$ 는 주어진 모든 사실을 만족한다. 1쿼터가 같고(동점), 레이더스는 매 쿼터 두 배로 늘며(증가하는 등비), 와일드캣츠는 매 쿼터 9씩 더하고(증가하는 등차), 합계 $75$ 와 $74$ 는 레이더스가 앞선 채 정확히 1 차이가 나며, 둘 다 100 미만이다. 전반전 합계 $34$ 는 보기 중 하나이므로 일관성이 확인된다.

대안 접근: 공비를 먼저 고정하지 않고, 1점 차 조건을 $a(1+r+r^2+r^3) = 4a+6d+1$ 로 바로 써도 된다. 등비수열이 등차수열보다 훨씬 빠르게 커지므로 공비가 3 이상이면 100을 금방 넘어 버린다는 점에서 $r=2$ 가 강제되고, $a$ 에 대한 같은 범위 탐색으로 동일한 점수에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.OA.B.3 Generate two numerical patterns using two given rules and identify relationships (각 팀의 네 쿼터 점수를 등비수열과 등차수열로 모델링하기.)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (각 팀의 네 쿼터 합계를 $a$, $r$, $d$ 에 대한 식으로 쓰기.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (점수를 정수로 유지하고 100 이하로 두려면 공비가 2여야 함을 논증하기.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (1점 차 승리 조건을 식 $11a-1=6d$ 로 바꾸기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($11a-1=6d$ 를 자연수 $a$, $d$ 에 대해 풀기.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (한계 안에서 정수 간격을 주는 1쿼터 점수를 찾기 위해 후보 값을 확인하기.)

⭐ 숨은 수에 글자로 이름을 붙이고, 각 단서를 하나의 식으로 바꾼 뒤, 조건에 맞는 몇 개의 값만 확인하면 된다.