AMC 10 · 2010 · #24

학년 8 algebra

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sequences-geometricsequences-arithmeticsystems-of-equations guess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-geometricsequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 팀이 경기 1쿼터를 마쳤을 때 동점이었다. 네 쿼터 동안 레이더스의 점수는 증가하는 등비수열을, 와일드캣츠의 점수는 증가하는 등차수열을 이룬다. 레이더스의 네 쿼터 합계는 와일드캣츠의 합계보다 정확히 1점 많고, 두 팀 모두 합계가 100점을 넘지 않는다. 두 팀이 전반전(1쿼터와 2쿼터)에 얻은 점수를 모두 합한 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제는 세 개의 미지수를 두 개의 수 패턴 속에 숨겨 두었다. 공통된 1쿼터 점수 a, 등비수열의 공비 r, 등차수열의 간격 d 에 이름을 붙이면 이야기가 비교할 수 있는 식으로 바뀐다. '1점 차 승리'라는 조건이 이들을 하나의 식으로 묶고, 범위가 좁은 확인 과정으로 정수 해 하나를 찾아낸다.

1STEP 1

두 팀을 수열로 나타내기

동점이므로 두 팀의 1쿼터 점수는 같다. 이를 a라 하면 레이더스는 매 쿼터 일정한 비를 곱하고 와일드캣츠는 일정한 값을 더한다.

레이더스: a, ar, ar², ar³ 와일드캣츠: a, a+d, a+2d, a+3d

2STEP 2

각 팀의 합계 쓰기

각 팀의 네 쿼터를 더한다. 레이더스 합계는 깔끔하게 인수분해되고, 와일드캣츠 합계에는 공차 d가 여섯 번 모인다.

레이더스 합계 = a(1+r+r²+r³), 와일드캣츠 합계 = 4a+6d

3STEP 3

공비 확정하기

1보다 크면서 점수를 정수로, 합계를 100 이하로 두는 공비는 3도 4도 분수도 안 되고 r=2뿐이다.

r=2: 레이더스 = a, 2a, 4a, 8a, 합계 = 15a ≤ 100 → a ≤ 6

4STEP 4

'1점 차 승리' 활용하기

이제 합계는 15a와 4a+6d이고, 1점 차라는 조건이 둘을 11a - 1 = 6d로 묶는다.

15a = (4a+6d) + 1 ⟹ 11a - 1 = 6d

5STEP 5

정수 해 찾기

15a ≤ 100에서 a는 1부터 6까지인데, 11a-1이 6의 배수인 것은 a=5뿐이고 54 = 6d에서 d=9이다.

a=5: d = (11 · 5 - 1)/6 = 54/6 = 9

6STEP 6

확인하고 전반전 합계 구하기

레이더스 5,10,20,40(75)과 와일드캣츠 5,14,23,32(74)는 모든 조건을 만족하므로 전반전 합은 15+19=34이다.

(5+10) + (5+14) = 15 + 19 = 34

정답

최종 점수 5,10,20,40과 5,14,23,32는 주어진 모든 사실을 만족한다. 1쿼터가 같고(동점), 레이더스는 매 쿼터 두 배로 늘며(증가하는 등비), 와일드캣츠는 매 쿼터 9씩 더하고(증가하는 등차), 합계 75와 74는 레이더스가 앞선 채 정확히 1 차이가 나며, 둘 다 100 미만이다. 전반전 합계 34는 보기 중 하나이므로 일관성이 확인된다.

💡핵심 정리

숨은 수에 글자로 이름을 붙이고, 각 단서를 하나의 식으로 바꾼 뒤, 조건에 맞는 몇 개의 값만 확인하면 된다.

두 팀을 수열로 나타내기
각 팀의 합계 쓰기
공비 확정하기
'1점 차 승리' 활용하기
정수 해 찾기
확인하고 전반전 합계 구하기