AMC 10 · 2010 · #3

학년 1 counting

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pigeonhole-principlelogical-deduction extreme-principle ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

서랍 안에 빨강, 초록, 파랑, 하양 네 가지 색 양말이 들어 있고, 각 색깔마다 최소 2짝씩 있다. 양말은 보지 않고 한 짝씩 꺼낸다. 순서가 아무리 운이 나빠도 같은 색 한 쌍이 반드시 나오게 하는 최소 뽑기 횟수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

"반드시"라는 말은 곧바로 도구 #14(극단의 원리)를 가리킨다. 확실하려면 가장 운이 나쁜 순서를 가정하고, 쌍을 얼마나 오래 피할 수 있는지 살펴본다. 색이 네 가지뿐이므로 최대 4짝까지만 서로 다른 색을 뽑을 수 있고, 그다음 한 짝은 반드시 같은 색이 된다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)으로 답을 선택지와 견주어, 너무 작아서 쌍을 보장하지 못하는 수와 첫 보장 시점을 훌쩍 넘기는 너무 큰 수를 지운다.

1STEP 1

가장 운 나쁜 뽑기를 상상하기

가장 나쁜 운을 가정하자. 색이 넷뿐이므로 서로 다른 색으로는 최대 4짝까지만 뽑을 수 있고 아직 쌍은 없다.

색깔 수 = 4 → 모두 다른 색으로 뽑는 최대 수 = 4

2STEP 2

한 짝 더 꺼내기

다음 양말은 남은 새 색이 없어 가진 색을 반복하므로 쌍이 완성된다. 즉 5짝이면 언제나 성공한다.

4 + 1 = 5 → 5번째 양말은 반드시 같은 색을 반복

3STEP 3

선택지와 견주기

4짝은 모두 다를 수 있어 (A) 3과 (B) 4는 보장하지 못하고, (D) 8과 (E) 9는 지나치다. 확실한 최소 수는 (C) 5다.

4 짝은 모두 다를 수 있음 ＜ 5 ≤ 8, 9 → (C) 5

정답

정답은 색깔 수보다 하나 많아야 하는데 실제로 그렇다. 색이 4가지이니 5짝이다. 양옆을 확인해 보자. 4짝은 빨강, 초록, 파랑, 하양으로 나와 쌍이 없을 수 있으니 4는 너무 적고, 5번째 짝에서는 쓰지 않은 색이 남아 있지 않으니 5는 항상 충분하다. 답이 전체 양말 수가 아니라 색깔 수 바로 위에 놓이는 것이 "반드시" 문제에 꼭 맞다.

💡핵심 정리

같은 색 한 쌍을 확실히 얻으려면 가장 나쁜 운을 가정하라. 색이 넷이면 각 색을 하나씩 뽑을 수 있으니, 5번째 양말은 남은 새 색이 없어 반드시 쌍을 만든다.

가장 운 나쁜 뽑기를 상상하기
한 짝 더 꺼내기
선택지와 견주기

가장 운 나쁜 뽑기를 상상하기

한 짝 더 꺼내기

선택지와 견주기

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