AMC 10 · 2010 · #3

학년 1 counting

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pigeonhole-principlelogical-deduction extreme-principle ↑ 선수 지식: logical-deduction

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문제

서랍에 빨간색, 초록색, 파란색, 흰색 양말이 각 색깔마다 최소 2개씩 들어 있다. 색이 같은 한 쌍을 반드시 얻으려면 서랍에서 최소 몇 개의 양말을 꺼내야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서랍 안에 빨강, 초록, 파랑, 하양 네 가지 색 양말이 들어 있고, 각 색깔마다 최소 2짝씩 있다. 보지 않고 한 짝씩 꺼낼 때, 순서가 아무리 운이 나빠도 같은 색 한 쌍이 반드시 나오게 하려면 최소 몇 짝을 꺼내야 하는지 구하라.

주어진 것: 색깔은 정확히 네 가지: 빨강, 초록, 파랑, 하양; 각 색깔마다 최소 2짝씩 있으므로 어떤 색이든 한 쌍을 만들 수 있음; 보지 않고 꺼내므로 다음에 어떤 색이 나올지 고를 수 없음; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 같은 색 두 짝을 확실히 얻기 위해 꺼내야 하는 최소 양말 수

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #3 가능성 지우기

"반드시"라는 말은 곧바로 도구 #14(극단의 원리)를 가리킨다. 확실하려면 가장 운이 나쁜 순서를 가정하고, 쌍을 얼마나 오래 피할 수 있는지 살펴본다. 색이 네 가지뿐이므로 최대 4짝까지만 서로 다른 색을 뽑을 수 있고, 그다음 한 짝은 반드시 같은 색이 된다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)으로 답을 선택지와 견주어, 너무 작아서 쌍을 보장하지 못하는 수와 첫 보장 시점을 훌쩍 넘기는 너무 큰 수를 지운다.

실행 — 정답: C

#14 극단의 원리 1.OA.A.1 단계 1

가장 운 나쁜 뽑기를 상상하기

쌍을 확실히 얻으려면 가장 운이 나쁜 경우를 가정한다.
꺼내는 양말마다 모두 새로운 색이라고 하자.
색은 네 가지뿐이므로 서로 다른 색으로 계속 뽑을 수 있는 최대 길이는 빨강 하나, 초록 하나, 파랑 하나, 하양 하나 — 즉 아직 쌍이 없는 4짝이다.

$$\text{색깔 수} = 4 \;\Rightarrow\; \text{모두 다른 색으로 뽑는 최대 수} = 4$$

💡 모든 양말이 새 색을 데려오는 동안에만 쌍을 피할 수 있는데, 나눠 줄 색이 넷뿐이다.

#14 극단의 원리 1.OA.C.6 단계 2

한 짝 더 꺼내기

그 4짝 뒤에는 모든 색이 이미 한 번씩 나왔다.
바로 다음 짝, 즉 5번째 양말은 새로운 색을 가져올 수 없다.
남은 새 색이 없기 때문이다.
그래서 이미 가진 색 중 하나를 반드시 반복하게 되어 같은 색 한 쌍이 완성된다.
따라서 $4+1 = 5$ 짝이면 언제나 성공한다.

$$4 + 1 = 5 \;\Rightarrow\; \text{5번째 양말은 반드시 같은 색을 반복}$$

💡 각 색이 한 번씩 다 쓰이고 나면 다음 양말이 갈 곳은 이미 가진 색밖에 없다.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 3

선택지와 견주기

4짝만 뽑으면 각 색 하나씩 나와 쌍이 없을 수 있으므로 4(B)와 3(A)은 아무것도 보장하지 못한다.
8이나 9(D, E)는 성립하기는 하지만 첫 확실한 쌍을 한참 지나친 수다.
문제는 가장 작은 수를 묻는다.
항상 쌍을 강제하는 가장 작은 수는 5이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$4 \text{짝은 모두 다를 수 있음} < 5 \le 8, 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}\ 5$$

💡 정답은 정확한 전환점이다. 하나 적으면 여전히 쌍이 없을 위험이 있고, 그보다 많으면 지나치다.

[1] #14 1.OA.A.1 쌍을 확실히 얻으려면 가장 운이 나쁜 경우를 가정한다. 꺼내는 양말마다 모두 새로운 색이라고 하자. 색은 네 가지뿐이므로 서로 다른 색으로 계속

[2] #14 1.OA.C.6 그 4짝 뒤에는 모든 색이 이미 한 번씩 나왔다. 바로 다음 짝, 즉 5번째 양말은 새로운 색을 가져올 수 없다. 남은 새 색이 없기 때문이다.

[3] #3 1.OA.A.1 4짝만 뽑으면 각 색 하나씩 나와 쌍이 없을 수 있으므로 4(B)와 3(A)은 아무것도 보장하지 못한다. 8이나 9(D, E)는 성립하기는 하지

검토

합리성 확인: 정답은 색깔 수보다 하나 많아야 하는데 실제로 그렇다. 색이 4가지이니 5짝이다. 양옆을 확인해 보자. 4짝은 빨강, 초록, 파랑, 하양으로 나와 쌍이 없을 수 있으니 4는 너무 적고, 5번째 짝에서는 쓰지 않은 색이 남아 있지 않으니 5는 항상 충분하다. 답이 전체 양말 수가 아니라 색깔 수 바로 위에 놓이는 것이 "반드시" 문제에 꼭 맞다.

대안 접근: 비둘기집 원리로 볼 수도 있다. 네 색을 4개의 상자로, 꺼낸 양말 하나하나를 자기 색 상자에 넣는 물건으로 여긴다. 어떤 상자에도 물건이 2개가 되지 않는 한 쌍이 없고, 이는 물건 4개(상자마다 하나씩)에서 한계에 이른다. 다음 물건, 즉 5번째는 이미 찬 상자에 들어갈 수밖에 없어 쌍을 강제한다. 다시 5, 선택지 (C)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)

1.OA.A.1 Solve addition and subtraction word problems within 20 (최악의 뽑기를 추론하며 네 색이 최대 4짝의 서로 다른 양말만 허용함을 세고, 4는 너무 적고 8과 9는 지나침을 확인하는 데 사용.)
1.OA.C.6 Add and subtract within 20 using strategies ($4 + 1 = 5$를 계산하여 네 색 다음의 한 짝이 반복을 강제함을 확인하는 데 사용.)

⭐ 같은 색 한 쌍을 확실히 얻으려면 가장 나쁜 운을 가정하라. 색이 넷이면 각 색을 하나씩 뽑을 수 있으니, 5번째 양말은 남은 새 색이 없어 반드시 쌍을 만든다.