AMC 10 · 2010 · #4

학년 6 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
function-evaluationformula-substitutionmean-median-mode-range identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
실수 x에 대하여 규칙 ♥(x)는 x와 x²의 평균으로 정의됩니다. ♥(1)+♥(2)+♥(3)의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
6
(C)
10
(D)
12
(E)
20

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 똑같은 작은 문제 세 개를 붙여 놓은 것과 같으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 알맞습니다: ♥(1), ♥(2), ♥(3)을 하나씩 구한 뒤 더합니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 낯선 ♥ 기호를 공식 (x+x²)/2로 바꿔 대입을 기계적으로 만듭니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 잡습니다: 2로 나누는 것을 잊으면 20이 되는데, 이것이 바로 선택지 (E)입니다.

1STEP 1

하트 규칙을 공식으로 바꾸기

♥는 조리법일 뿐입니다: x와 x²의 평균, 즉 합을 2로 나눈 것을 공식으로 씁니다.

♥(x)=(x+x²)/2
2STEP 2

1에서의 값 계산하기

x=1을 대입하면 1²=1이므로 1과 1의 평균, 합 2를 2로 나눠 ♥(1)=1입니다.

♥(1)=(1+1²)/2=(1+1)/2=1
3STEP 3

2에서의 값 계산하기

x=2를 대입하면 2²=4이므로 2와 4의 평균, 합 6을 2로 나눠 ♥(2)=3입니다.

♥(2)=(2+2²)/2=(2+4)/2=3
4STEP 4

3에서의 값 계산하기

x=3을 대입하면 3²=9이므로 3과 9의 평균, 합 12를 2로 나눠 ♥(3)=6입니다.

♥(3)=(3+3²)/2=(3+9)/2=6
5STEP 5

세 값을 더하기

세 값을 더해 1+3+6=10, 즉 (C)입니다. 2로 나누기를 잊으면 (E)의 20이 됩니다.

♥(1)+♥(2)+♥(3)=1+3+6=10 → (C)
정답
10
두 수의 진짜 평균은 항상 그 둘 사이에 놓이므로, ♥(1)=1, ♥(2)=3(2와 4 사이), ♥(3)=6(3과 9 사이) 모두 맞아 보입니다. 그 합 10은 선택지 가운데쯤의 알맞은 수입니다. 솔깃한 20은 반으로 나누지 않고 x+x² 조각들만 더한 값과 정확히 같은데, 이것이 선택지 (E)와 일치하므로 평균 내는 것을 잊은 함정일 뿐 진짜 답이 아님을 확인해 줍니다.
💡핵심 정리

두 수의 평균은 그 합을 2로 나눈 것입니다 — 2로 나누기를 건너뛰면 진짜 답의 두 배에 도착합니다.

  • 하트 규칙을 공식으로 바꾸기
  • 1에서의 값 계산하기
  • 2에서의 값 계산하기
  • 3에서의 값 계산하기
  • 세 값을 더하기

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