AMC 10 · 2010 · #4

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationformula-substitutionmean-median-mode-range identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

실수 $x$ 에 대하여, $\heartsuit(x)$ 를 $x$ 와 $x^2$ 의 평균으로 정의한다. $\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 규칙 $\heartsuit(x)$ 는 수 $x$ 를 받아 $x$ 와 $x^2$ 의 평균을 내줍니다. $\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)$ 을 구하세요.

주어진 것: $\heartsuit(x)$ 는 두 수 $x$ 와 $x^2$ 의 평균으로 정의됨; 규칙을 $x=1$, $x=2$, $x=3$ 에서 각각 계산한 뒤 세 결과를 더해야 함; 선택지: (A) $3$, (B) $6$, (C) $10$, (D) $12$, (E) $20$

구하는 것: $\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)$ 과 같아지는 하나의 수

이해

문제 재정리: 규칙 $\heartsuit(x)$ 는 수 $x$ 를 받아 $x$ 와 $x^2$ 의 평균을 내줍니다. $\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)$ 을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 똑같은 작은 문제 세 개를 붙여 놓은 것과 같으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 알맞습니다: $\heartsuit(1)$, $\heartsuit(2)$, $\heartsuit(3)$ 을 하나씩 구한 뒤 더합니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 낯선 $\heartsuit$ 기호를 공식 $\tfrac{x+x^2}{2}$ 로 바꿔 대입을 기계적으로 만듭니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 잡습니다: $2$ 로 나누는 것을 잊으면 $20$ 이 되는데, 이것이 바로 선택지 (E)입니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.SP.A.3 단계 1

하트 규칙을 공식으로 바꾸기

$\heartsuit$ 기호는 하나의 조리법일 뿐입니다: 수 $x$ 와 수 $x^2$ 을 받아 그 둘의 평균을 냅니다.
두 수의 평균은 그 합을 $2$ 로 나눈 것입니다.
이것을 문자 $x$ 로 쓰면, 수를 대입할 수 있는 공식이 됩니다.

$$\heartsuit(x)=\dfrac{x+x^2}{2}$$

💡 낯선 기호는 사실 변장한 규칙일 뿐이니, 계산할 수 있는 공식으로 다시 씁니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 2

1에서의 값 계산하기

$x=1$ 을 대입합니다.
먼저 $1^2=1$ 이므로 $1$ 과 $1$ 의 평균을 냅니다: 합은 $2$, $2$ 로 나누면 $1$ 입니다.
그래서 $\heartsuit(1)=1$ 입니다.

$$\heartsuit(1)=\dfrac{1+1^2}{2}=\dfrac{1+1}{2}=1$$

💡 수를 공식에 넣고, 제곱한 뒤, 두 수의 평균을 냅니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 3

2에서의 값 계산하기

$x=2$ 를 대입합니다.
여기서 $2^2=4$ 이므로 $2$ 와 $4$ 의 평균을 냅니다: 합은 $6$, $2$ 로 나누면 $3$ 입니다.
그래서 $\heartsuit(2)=3$ 입니다.

$$\heartsuit(2)=\dfrac{2+2^2}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3$$

💡 $2$ 와 $4$ 의 평균은 정확히 그 둘의 한가운데인 $3$ 에 놓입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 4

3에서의 값 계산하기

$x=3$ 을 대입합니다.
여기서 $3^2=9$ 이므로 $3$ 과 $9$ 의 평균을 냅니다: 합은 $12$, $2$ 로 나누면 $6$ 입니다.
그래서 $\heartsuit(3)=6$ 입니다.

$$\heartsuit(3)=\dfrac{3+3^2}{2}=\dfrac{3+9}{2}=6$$

💡 $3$ 과 $9$ 의 한가운데는 $6$ 이므로 평균이 그곳에 놓입니다.

#3 가능성 지우기 1.OA.C.6 단계 5

세 값을 더하기

세 결과를 더합니다: $1+3+6=10$.
이것이 선택지 (C)입니다.
(E)의 함정 값 $20$ 은 $2$ 로 나누는 것을 잊고 매번 $x+x^2$ 만 더할 때 나오는 값($2+6+12=20$)이므로, 평균을 제대로 내면 지워집니다.

$$\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)=1+3+6=10\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 각 조각을 구하고 나면, 답은 그것들의 합일 뿐입니다.

[1] #4 6.SP.A.3 $\heartsuit$ 기호는 하나의 조리법일 뿐입니다: 수 $x$ 와 수 $x^2$ 을 받아 그 둘의 평균을 냅니다. 두 수의 평균은 그 합을

[2] #7 6.EE.A.2 $x=1$ 을 대입합니다. 먼저 $1^2=1$ 이므로 $1$ 과 $1$ 의 평균을 냅니다: 합은 $2$, $2$ 로 나누면 $1$ 입니다. 그래

[3] #7 6.EE.A.1 $x=2$ 를 대입합니다. 여기서 $2^2=4$ 이므로 $2$ 와 $4$ 의 평균을 냅니다: 합은 $6$, $2$ 로 나누면 $3$ 입니다. 그

[4] #7 6.EE.A.1 $x=3$ 을 대입합니다. 여기서 $3^2=9$ 이므로 $3$ 과 $9$ 의 평균을 냅니다: 합은 $12$, $2$ 로 나누면 $6$ 입니다.

[5] #3 1.OA.C.6 세 결과를 더합니다: $1+3+6=10$. 이것이 선택지 (C)입니다. (E)의 함정 값 $20$ 은 $2$ 로 나누는 것을 잊고 매번 $x+x

검토

합리성 확인: 두 수의 진짜 평균은 항상 그 둘 사이에 놓이므로, $\heartsuit(1)=1$, $\heartsuit(2)=3$($2$ 와 $4$ 사이), $\heartsuit(3)=6$($3$ 과 $9$ 사이) 모두 맞아 보입니다. 그 합 $10$ 은 선택지 가운데쯤의 알맞은 수입니다. 솔깃한 $20$ 은 반으로 나누지 않고 $x+x^2$ 조각들만 더한 값과 정확히 같은데, 이것이 선택지 (E)와 일치하므로 평균 내는 것을 잊은 함정일 뿐 진짜 답이 아님을 확인해 줍니다.

대안 접근: 반으로 나누기 전에 먼저 합칩니다. 분자들을 모두 더하면 $(1+2+3)+(1^2+2^2+3^2)=6+14=20$, 그다음 전체를 한 번에 $2$ 로 나누면 $\tfrac{20}{2}=10$ 입니다. 평균을 마지막에 한 번만 내며 (C)에 도달하고, 함정 값 $20$ 이 어디서 나오는지도 분명히 보여 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.A.3 중심 측도가 자료의 모든 값을 하나의 수로 요약함을 이해한다 ("$x$ 와 $x^2$ 의 평균"을 두 수의 평균 $\tfrac{x+x^2}{2}$ 로 읽는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산한다 (각 $\heartsuit$ 값 안의 제곱 $2^2=4$, $3^2=9$ 를 계산하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산한다 (공식 $\tfrac{x+x^2}{2}$ 에 $x=1,2,3$ 을 대입하는 데 사용.)
1.OA.C.6 여러 전략으로 20 이내의 덧셈과 뺄셈을 한다 (세 결과 $1+3+6=10$ 을 더하는 데 사용.)

⭐ 두 수의 평균은 그 합을 $2$ 로 나눈 것입니다 — $2$ 로 나누기를 건너뛰면 진짜 답의 두 배에 도착합니다.