AMC 10 · 2010 · #5

학년 4 number-theory
유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins
modular-arithmeticpattern-recognitionsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
어떤 달은 정확히 31일이고, 그 달에는 월요일의 수와 수요일의 수가 같습니다. 그 달의 1일이 될 수 있는 일곱 요일 중, 두 수가 같아지는 요일은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

개수를 확실히 하려면 첫날이 될 수 있는 일곱 가지 요일을 모두 적어 하나씩 확인하는 것이 가장 깔끔합니다 (도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 나열하기 전에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 31 일을 "온전한 4 주" 와 "남는 3 일" 로 나누는 것이 핵심 구조입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 이를 "남는 3 일은 시작 요일이 바뀌면 함께 미끄러지는 연속된 세 요일" 이라는 규칙으로 바꿔, 바뀌는 것은 오직 어떤 세 요일이 5 번째 등장을 얻느냐뿐임을 보여줍니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 각 줄의 명쾌한 판정을 줍니다 — 월요일과 수요일이 그 3 일 묶음에 둘 다 들거나 둘 다 빠질 때만 개수가 같습니다.

1STEP 1

31을 주와 나머지로 나누기

한 주는 7일이고 31 ÷ 7 = 4 나머지 3이므로, 그 달은 온전한 4주에 남는 3일입니다.

31 = 4 × 7 + 3
2STEP 2

누가 보너스 날을 받는지 찾기

요일로 보면 남는 3일은 첫 세 날과 같아, 시작 요일과 그 뒤 두 요일만 5번, 나머지는 4번입니다.

5번 요일 = {시작, 시작+1, 시작+2}
3STEP 3

개수가 같아지는 조건 세우기

월요일과 수요일이 3일 묶음에 둘 다 들거나 둘 다 빠질 때만 개수가 같습니다.

#월 = #수 ⇔ 월, 수 둘 다 묶음 안, 또는 둘 다 밖
4STEP 4

7개 시작 요일 모두 나열하기

일곱 시작 요일을 훑으면 월요일은 둘 다 묶음 안, 목·금은 둘 다 밖, 나머지 넷은 갈립니다.

같음: 월, 목, 금 다름: 일, 화, 수, 토
5STEP 5

통과한 요일 세기

통과하는 시작 요일은 월요일, 목요일, 금요일 세 개이므로 답은 3, 즉 (B)입니다.

개수 = 3 → (B)
정답
3
세 개의 통과 요일을 실제 날짜를 세어 다시 확인합니다. 1일이 월요일이면 월요일은 1, 8, 15, 22, 29 (5개), 수요일은 3, 10, 17, 24, 31 (5개) — 같음. 1일이 목요일이면 월요일은 5, 12, 19, 26 (4개), 수요일은 7, 14, 21, 28 (4개) — 같음. 1일이 금요일이면 월요일은 4, 11, 18, 25 (4개), 수요일은 6, 13, 20, 27 (4개) — 같음. 실패하는 경우도 판정을 뒷받침합니다: 일요일 시작이면 월요일은 2, 9, 16, 23, 30 (5개), 수요일은 4, 11, 18, 25 (4개) — 다름. 정확히 3개의 시작 요일이 통과하며, (B)와 일치합니다.
💡핵심 정리

31일을 온전한 4주에 남는 3일로 나눠 보세요: 연속된 세 요일만 보너스 5번째 등장을 얻으니, 월요일과 수요일이 둘 다 보너스이거나 둘 다 아닌지만 확인하면 됩니다 — 그게 7개 시작 요일 중 3개에서 성립해요.

  • 31을 주와 나머지로 나누기
  • 누가 보너스 날을 받는지 찾기
  • 개수가 같아지는 조건 세우기
  • 7개 시작 요일 모두 나열하기
  • 통과한 요일 세기

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