AMC 10 · 2010 · #5

학년 4 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticpattern-recognitionsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

$31$ 일이 있는 어떤 달에 월요일의 수와 수요일의 수가 같다. 이 달의 첫째 날이 될 수 있는 요일은 일주일의 일곱 요일 중 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 달은 정확히 $31$ 일이고, 그 달에는 월요일의 수와 수요일의 수가 같습니다. 그 달의 $1$ 일이 무슨 요일인지 일곱 가지 가능성을 모두 살펴보며, 그중 월요일과 수요일의 수가 같아지게 만드는 시작 요일이 몇 개인지 세려고 합니다.

주어진 것: 그 달은 정확히 $31$ 일이다.; 그 달의 월요일 수와 수요일 수가 같다.; 그 달의 첫날은 일곱 요일 중 어느 것이든 될 수 있다.; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$.

구하는 것: 일곱 가지 시작 요일 중, 월요일과 수요일의 수가 같아지는 시작 요일이 몇 개인지.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

개수를 확실히 하려면 첫날이 될 수 있는 일곱 가지 요일을 모두 적어 하나씩 확인하는 것이 가장 깔끔합니다 (도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 나열하기 전에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 $31$ 일을 "온전한 $4$ 주" 와 "남는 $3$ 일" 로 나누는 것이 핵심 구조입니다. 도구 #5(패턴 찾기) 는 이를 "남는 $3$ 일은 시작 요일이 바뀌면 함께 미끄러지는 연속된 세 요일" 이라는 규칙으로 바꿔, 바뀌는 것은 오직 어떤 세 요일이 $5$ 번째 등장을 얻느냐뿐임을 보여줍니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기) 이 각 줄의 명쾌한 판정을 줍니다 — 월요일과 수요일이 그 $3$ 일 묶음에 둘 다 들거나 둘 다 빠질 때만 개수가 같습니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 1

31을 주와 나머지로 나누기

$31$ 일을 온전한 주로 나눕니다.
한 주는 $7$ 일이고 $31 \div 7 = 4$ 에 나머지 $3$.
그래서 그 달은 온전한 $4$ 주(각 요일이 매주 한 번씩, 모두 $4$ 번) 에 끝에 붙는 남는 $3$ 일로 이루어집니다.

$$31 = 4 \times 7 + 3$$

💡 달력을 먼저 온전한 주로 자르면 모든 요일이 $4$ 번으로 완벽히 동점에서 출발하니, 동점을 깨는 건 오직 남는 날들뿐입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

누가 보너스 날을 받는지 찾기

남는 $3$ 일은 날짜로는 마지막 세 날이지만, 요일로는 그 달의 첫 세 날과 똑같이 맞아떨어집니다 — 시작 요일과 그 바로 뒤 두 요일입니다.
이 연속된 세 요일이 각각 $5$ 번째로 나타나고, 나머지 요일은 모두 $4$ 번에 머뭅니다.
첫날이 미끄러지면 이 세 요일 묶음도 함께 미끄러집니다.

$$\text{5번 요일} = \{\text{시작},\ \text{시작}+1,\ \text{시작}+2\}$$

💡 나머지 $3$ 은 언제나 $1$ 일부터 시작하는 연속된 세 요일에 떨어지므로, 첫날만 알면 누가 보너스를 받는지 정확히 알 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 3

개수가 같아지는 조건 세우기

월요일과 수요일의 수가 같은 것은 둘이 똑같이 취급될 때뿐입니다: 둘 다 $3$ 일 보너스 묶음 안에 있거나 (둘 다 $5$ 번), 둘 다 밖에 있거나 (둘 다 $4$ 번).
둘 중 하나만 묶음 안에 있으면 하나는 $5$ 번, 다른 하나는 $4$ 번이라 개수가 달라지고 그 시작 요일은 제외됩니다.

$$\#\text{월} = \#\text{수} \iff \text{월, 수 둘 다 묶음 안, 또는 둘 다 밖}$$

💡 개수가 같으려면 월요일과 수요일이 같은 운명을 나눠 가져야 합니다; 한쪽만 갈리면 언제나 동점이 깨집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

7개 시작 요일 모두 나열하기

가능한 첫날을 하나씩 훑으며 그 $3$ 일 보너스 묶음을 적고 판정을 적용합니다.
일요일: {일, 월, 화} — 월요일 안, 수요일 밖, 다름.
월요일: {월, 화, 수} — 둘 다 안, 같음.
화요일: {화, 수, 목} — 수요일 안, 월요일 밖, 다름.
수요일: {수, 목, 금} — 수요일 안, 월요일 밖, 다름.
목요일: {목, 금, 토} — 둘 다 밖, 같음.
금요일: {금, 토, 일} — 둘 다 밖, 같음.
토요일: {토, 일, 월} — 월요일 안, 수요일 밖, 다름.

$$\text{같음: 월, 목, 금} \quad\text{다름: 일, 화, 수, 토}$$

💡 모든 경우를 적어 두면 빠뜨릴 걱정이 없습니다 — 어느 줄이 통과하는지 눈으로 바로 보입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

통과한 요일 세기

판정을 통과하는 시작 요일은 세 개입니다: 월요일, 목요일, 금요일.
일곱 요일 중 $3$ 개이므로 답은 $\textbf{(B)}\ 3$ 입니다.

$$\text{개수} = 3 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 통과한 줄만 세면 됩니다; 그런 줄이 세 개입니다.

[1] #7 4.NBT.B.6 $31$ 일을 온전한 주로 나눕니다. 한 주는 $7$ 일이고 $31 \div 7 = 4$ 에 나머지 $3$. 그래서 그 달은 온전한 $4$ 주(

[2] #5 4.OA.C.5 남는 $3$ 일은 날짜로는 마지막 세 날이지만, 요일로는 그 달의 첫 세 날과 똑같이 맞아떨어집니다 — 시작 요일과 그 바로 뒤 두 요일입니다.

[3] #3 4.OA.A.3 월요일과 수요일의 수가 같은 것은 둘이 똑같이 취급될 때뿐입니다: 둘 다 $3$ 일 보너스 묶음 안에 있거나 (둘 다 $5$ 번), 둘 다 밖에

[4] #2 4.OA.A.3 가능한 첫날을 하나씩 훑으며 그 $3$ 일 보너스 묶음을 적고 판정을 적용합니다. 일요일: {일, 월, 화} — 월요일 안, 수요일 밖, 다름.

[5] #2 4.OA.A.3 판정을 통과하는 시작 요일은 세 개입니다: 월요일, 목요일, 금요일. 일곱 요일 중 $3$ 개이므로 답은 $\textbf{(B)}\ 3$ 입니다

검토

합리성 확인: 세 개의 통과 요일을 실제 날짜를 세어 다시 확인합니다. $1$ 일이 월요일이면 월요일은 $1, 8, 15, 22, 29$ ($5$ 개), 수요일은 $3, 10, 17, 24, 31$ ($5$ 개) — 같음. $1$ 일이 목요일이면 월요일은 $5, 12, 19, 26$ ($4$ 개), 수요일은 $7, 14, 21, 28$ ($4$ 개) — 같음. $1$ 일이 금요일이면 월요일은 $4, 11, 18, 25$ ($4$ 개), 수요일은 $6, 13, 20, 27$ ($4$ 개) — 같음. 실패하는 경우도 판정을 뒷받침합니다: 일요일 시작이면 월요일은 $2, 9, 16, 23, 30$ ($5$ 개), 수요일은 $4, 11, 18, 25$ ($4$ 개) — 다름. 정확히 $3$ 개의 시작 요일이 통과하며, (B) 와 일치합니다.

대안 접근: 일곱 개를 모두 나열하지 않고 도구 #3(가능성 지우기) 으로 곧장 따질 수도 있습니다. 월요일과 수요일은 사이에 화요일을 두고 두 요일 떨어져 있습니다. 둘 다 담는 연속 $3$ 일 묶음은 오직 {월, 화, 수} 뿐이고, 이는 그 달이 월요일에 시작할 때만 생깁니다. 그렇지 않으면 둘 다 묶음 밖에 있어야 하므로 묶음이 월요일과 수요일을 모두 피해야 합니다: 그런 묶음은 {목, 금, 토} 와 {금, 토, 일} 뿐, 즉 목요일 또는 금요일 시작입니다. 결국 같은 $3$ 개의 답 — 월요일, 목요일, 금요일입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.6 한 자리 수로 나눈 몫과 나머지 구하기 ($31$ 일을 $7$ 로 나눠 $4$ 주와 나머지 $3$ 일을 얻는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수나 도형 패턴 만들고 설명하기 (남는 $3$ 일이 언제나 $1$ 일부터 시작하는 연속된 세 요일을 이루며, 이 묶음이 시작 요일과 함께 미끄러진다는 것을 알아차리는 데 사용.)
4.OA.A.3 여러 단계 문장제를 풀고 나머지를 해석하기 (남는 날 수를 개수-일치 판정으로 바꾸고, 일곱 시작 요일을 빠짐없이 확인해 통과하는 개수를 세는 데 사용.)

⭐ $31$ 일을 온전한 $4$ 주에 남는 $3$ 일로 나눠 보세요: 연속된 세 요일만 보너스 $5$ 번째 등장을 얻으니, 월요일과 수요일이 둘 다 보너스이거나 둘 다 아닌지만 확인하면 됩니다 — 그게 $7$ 개 시작 요일 중 $3$ 개에서 성립해요.