AMC 10 · 2010 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

area-trianglespythagorean-theoremarea-rectanglesperimeter identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 삼각형의 세 변의 길이가 $10$ , $10$ , $12$ 이다. 어떤 직사각형의 너비는 $4$ 이고 넓이는 이 삼각형의 넓이와 같다. 이 직사각형의 둘레의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 10, 10, 12인 삼각형이 있습니다. 가로가 4인 직사각형이 이 삼각형과 넓이가 같습니다. 그 직사각형의 둘레를 구하세요.

주어진 것: 삼각형의 세 변의 길이는 10, 10, 12이다; 직사각형의 너비는 4이다; 직사각형의 넓이는 삼각형의 넓이와 같다

구하는 것: 직사각형의 둘레

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 10, 10, 12인 삼각형이 있습니다. 가로가 4인 직사각형이 이 삼각형과 넓이가 같습니다. 그 직사각형의 둘레를 구하세요.

주어진 것: 삼각형의 세 변의 길이는 10, 10, 12이다; 직사각형의 너비는 4이다; 직사각형의 넓이는 삼각형의 넓이와 같다

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

둘레를 한 번에 구할 수는 없습니다. 삼각형의 높이 → 넓이 → 같은 넓이와 알려진 너비로 직사각형의 길이 → 둘레 순으로 사슬처럼 쪼갭니다. 각 작은 문제는 간단하고 익숙합니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

삼각형을 반으로 나누기

길이가 10인 두 변이 같으므로 이등변삼각형입니다.
꼭대기 꼭짓점에서 길이 12인 밑변의 한가운데로 수직선을 내립니다.
그러면 밑변이 6과 6으로 똑같이 나뉘고, 한 변이 6이고 빗변이 10인 똑같은 직각삼각형 두 개가 생깁니다.

$$12 \div 2 = 6$$

💡 이등변삼각형은 반으로 깔끔하게 접혀서, 어려운 모양이 깨끗한 직각삼각형 두 개로 바뀝니다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 2

피타고라스로 높이 구하기

한 직각삼각형에서 두 변은 6과 모르는 높이 h이고, 빗변은 10입니다.
높이를 h라 하고 피타고라스 정리를 씁니다.
h 제곱 더하기 6 제곱은 10 제곱입니다.
따라서 h 제곱은 100 빼기 36으로 64이고, h는 8입니다.

$$h^2 + 6^2 = 10^2 \;\Rightarrow\; h^2 = 100 - 36 = 64 \;\Rightarrow\; h = 8$$

💡 직각이 있으면 두 변과 빗변이 하나의 식으로 맞물려서 모르는 높이를 풀 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

삼각형의 넓이 구하기

이제 밑변 12와 높이 8을 씁니다.
삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이므로, 12 곱하기 8의 절반인 48입니다.

$$A_{\triangle} = \tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$

💡 삼각형은 그것을 감싸는 직사각형의 정확히 절반이라서, 밑변 곱하기 높이의 절반이 넓이가 됩니다.

#4 변수 도입하기 4.MD.A.3 단계 4

직사각형의 길이 구하기

직사각형은 넓이가 같은 48이고 너비는 4입니다.
넓이는 너비 곱하기 길이이므로, 길이는 48 나누기 4로 12입니다.

$$4 \cdot L = 48 \;\Rightarrow\; L = \frac{48}{4} = 12$$

💡 직사각형의 넓이와 한 변을 알면 나누기로 다른 변을 구할 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.D.8 단계 5

둘레 더하기

직사각형은 너비 4, 길이 12입니다.
둘레는 너비 두 개와 길이 두 개의 합이므로, 4와 12의 합의 2배인 32입니다.
정답은 (D)입니다.

$$P = 2(4 + 12) = 2 \cdot 16 = 32$$

💡 직사각형은 같은 변이 두 쌍이라서, 둘레는 길이의 2배 더하기 너비의 2배입니다.

[1] #1 8.G.B.7 길이가 10인 두 변이 같으므로 이등변삼각형입니다. 꼭대기 꼭짓점에서 길이 12인 밑변의 한가운데로 수직선을 내립니다. 그러면 밑변이 6과 6으

[2] #4 8.G.B.7 한 직각삼각형에서 두 변은 6과 모르는 높이 h이고, 빗변은 10입니다. 높이를 h라 하고 피타고라스 정리를 씁니다. h 제곱 더하기 6 제곱은

[3] #7 6.G.A.1 이제 밑변 12와 높이 8을 씁니다. 삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이므로, 12 곱하기 8의 절반인 48입니다.

[4] #4 4.MD.A.3 직사각형은 넓이가 같은 48이고 너비는 4입니다. 넓이는 너비 곱하기 길이이므로, 길이는 48 나누기 4로 12입니다.

[5] #7 3.MD.D.8 직사각형은 너비 4, 길이 12입니다. 둘레는 너비 두 개와 길이 두 개의 합이므로, 4와 12의 합의 2배인 32입니다. 정답은 (D)입니다.

검토

합리성 확인: 높이 8은 잘 맞습니다. 6-8-10은 잘 알려진 직각삼각형이기 때문입니다. 넓이 48과 너비 4로 길이 12가 나오는데, 이는 너비보다 크므로 길고 얇은 직사각형에 어울립니다. 둘레 2(4+12)=32는 보기 (D)와 일치합니다. 빠른 확인: 직사각형의 길이 12는 삼각형의 밑변 12와 같은데, 직사각형의 높이 4가 삼각형 높이 8의 정확히 절반이기 때문에 자연스럽습니다.

대안 접근: 피타고라스 대신, 삼각형을 6-8-10 직각삼각형 두 개로 나누는 유명한 피타고라스 세 쌍을 알아채면 높이 8이 바로 나옵니다. 또는 반둘레 16으로 헤론의 공식을 쓰면, 넓이는 16 곱하기 6 곱하기 6 곱하기 4의 제곱근, 즉 2304의 제곱근인 48입니다. 어느 방법이든 넓이는 48이고 둘레는 32입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (6-h-10 직각삼각형에서 삼각형의 높이를 구하는 데 사용)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변 곱하기 높이의 절반으로 삼각형의 넓이를 구하는 데 사용)
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems (직사각형의 넓이와 너비를 길이로 바꾸는 데 사용)
3.MD.D.8 Solve real-world problems involving perimeters of polygons (직사각형의 변들을 더해 둘레를 구하는 데 사용)

⭐ 넓이를 모양에서 모양으로 넘겨보세요. 삼각형의 넓이를 구해 직사각형에 넘겨주고, 너비로 나누면 빠진 변이 나옵니다.