AMC 10 · 2010 · #7

학년 8 geometry-2d
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
area-trianglespythagorean-theoremarea-rectanglesperimeter identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 변의 길이가 10, 10, 12인 삼각형이 있습니다. 가로가 4인 직사각형이 이 삼각형과 넓이가 같습니다. 그 직사각형의 둘레를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
24
(C)
28
(D)
32
(E)
36

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

둘레를 한 번에 구할 수는 없습니다. 삼각형의 높이 → 넓이 → 같은 넓이와 알려진 너비로 직사각형의 길이 → 둘레 순으로 사슬처럼 쪼갭니다. 각 작은 문제는 간단하고 익숙합니다.

1STEP 1

삼각형을 반으로 나누기

이등변삼각형이므로 밑변 12에 내린 높이가 밑변을 6씩 둘로 나누고, 빗변 10인 직각삼각형 두 개가 생깁니다.

12 ÷ 2 = 6
2STEP 2

피타고라스로 높이 구하기

피타고라스 정리로 h 제곱은 100 빼기 36인 64이므로, 높이는 8입니다.

h² + 6² = 10² → h² = 100 - 36 = 64 → h = 8
3STEP 3

삼각형의 넓이 구하기

밑변 12와 높이 8로, 삼각형의 넓이는 12 곱하기 8의 절반인 48입니다.

A_△ = 1/2 · 12 · 8 = 48
4STEP 4

직사각형의 길이 구하기

직사각형은 넓이가 같은 48이고 가로가 4이므로, 세로는 48 나누기 4인 12입니다.

4 · L = 48 → L = 48/4 = 12
5STEP 5

둘레 더하기

직사각형은 가로 4, 세로 12이므로 둘레는 4와 12의 합의 2배인 32입니다. 정답은 (D)입니다.

P = 2(4 + 12) = 2 · 16 = 32
정답
32
높이 8은 잘 맞습니다. 6-8-10은 잘 알려진 직각삼각형이기 때문입니다. 넓이 48과 너비 4로 길이 12가 나오는데, 이는 너비보다 크므로 길고 얇은 직사각형에 어울립니다. 둘레 2(4+12)=32는 보기 (D)와 일치합니다. 빠른 확인: 직사각형의 길이 12는 삼각형의 밑변 12와 같은데, 직사각형의 높이 4가 삼각형 높이 8의 정확히 절반이기 때문에 자연스럽습니다.
💡핵심 정리

넓이를 모양에서 모양으로 넘겨보세요. 삼각형의 넓이를 구해 직사각형에 넘겨주고, 너비로 나누면 빠진 변이 나옵니다.

  • 삼각형을 반으로 나누기
  • 피타고라스로 높이 구하기
  • 삼각형의 넓이 구하기
  • 직사각형의 길이 구하기
  • 둘레 더하기

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