AMC 10 · 2011 · #10

학년 6 number-theorylogic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
prime-factorizationfactorslinear-diophantine convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
학생 30 명인 학급에서 절반이 넘는 학생이 연필을 샀습니다. 산 학생은 모두 똑같은 개수를 샀고, 그 개수는 1 보다 많습니다. 연필 한 자루의 값(센트)은 학생이 산 연필 개수보다 크고, 연필 전체의 값은 17.71 달러입니다. 연필 한 자루의 값을 센트로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
11
(C)
17
(D)
23
(E)
77

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

전체 값은 (산 학생 수) × (학생당 개수) × (한 자루 값)이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 시작하는 게 자연스럽습니다. 세 미지수에 이름을 붙이고 곱셈식 s · n · c = 1771 하나를 세우면, 문장제가 수를 인수분해하는 문제로 바뀝니다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 먼저 모든 양을 센트라는 한 단위로 맞춰 전체를 자연수의 곱으로 만듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 핵심 하위 단계인 1771의 소인수분해를 처리해, 어떤 자연수만 등장할 수 있는지 드러냅니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 세 부등식(과반수, 개수 ＞ 1, 값 ＞ 개수)을 써서 각 인수를 제자리에 넣고 함정 보기를 지웁니다.

1STEP 1

모두 센트로 바꾸기

값을 센트로 물었으니 전체부터 바꿉니다: 17.71 달러 = 1771 센트.

17.71 = 17.71 × 100 = 1771 센트
2STEP 2

세 미지수에 이름 붙이기

연필 산 학생 수 s, 학생당 개수 n, 한 자루 값(센트) c 로 두면 s·n·c = 1771입니다.

s · n · c = 1771, s ＞ 15, n ＞ 1, c ＞ n
3STEP 3

전체 값을 인수분해하기

1771을 소인수분해하면 7 × 11 × 23, 모두 소수라 쓸 수 있는 수는 이 셋뿐이고 17은 없습니다.

1771 = 7 × 11 × 23 (7, 11, 23 모두 소수)
4STEP 4

단서로 각 인수 배정하기

15를 넘는 인수는 23 뿐이라 s = 23, 값이 개수보다 커야 하므로 c = 11, n = 7입니다.

s = 23 ( ＞ 15); n · c = 77 = 7 × 11, c ＞ n → n = 7, c = 11 → (B) 11
정답
11
s = 23, n = 7, c = 11로 전체를 확인하면 23 × 7 × 11 = 1771 센트 = 17.71 달러로 전체 값과 일치합니다. 모든 조건도 맞습니다 — 23은 30의 과반수, 각 학생은 7 ＞ 1 자루를 샀고, 한 자루는 11 ＞ 7 센트입니다. 값 11 센트는 보기 (B)입니다. 보기 (C) 17은 17이 1771을 나누지 못해 처음부터 불가능했고, (A) 7은 값이 아니라 학생당 개수, (D) 23은 산 학생 수, (E) 77은 7 × 11로 한 자루 값이 아닙니다.
💡핵심 정리

자연수들을 곱해 정해진 값이 나올 때는 먼저 그 값을 소인수로 쪼개세요 — 그러면 남은 단서가 어느 인수가 어떤 역할인지 알려 줍니다.

  • 모두 센트로 바꾸기
  • 세 미지수에 이름 붙이기
  • 전체 값을 인수분해하기
  • 단서로 각 인수 배정하기

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