AMC 10 · 2011 · #10
학년 6 number-theory디미너 선생님 반의 학생 30명 중 과반수가 학교 서점에서 연필을 샀다. 이 학생들은 각자 같은 개수의 연필을 샀고, 그 개수는 1보다 컸다. 연필 한 자루의 가격(센트 단위)은 각 학생이 산 연필의 개수보다 컸으며, 모든 연필의 총 가격은 $$17.71$이었다. 연필 한 자루의 가격은 몇 센트였는가?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $30$ 명 학급에서 절반이 넘는 학생이 연필을 샀습니다. 산 학생은 모두 똑같은 개수를 샀고, 그 개수는 $1$ 보다 많습니다. 연필 한 자루의 값(센트)은 학생이 산 연필 개수보다 크고, 연필 전체의 값은 $\$17.71$ 입니다. 연필 한 자루의 값을 센트로 구하세요.
주어진 것: 학급에는 학생이 $30$ 명 있다; 그중 과반수(절반이 넘는 수)가 연필을 샀다; 산 학생은 모두 똑같은 개수를 샀고, 그 개수는 $1$ 보다 크다; 연필 한 자루의 값(센트)은 학생이 산 연필 개수보다 크다; 연필 전체의 값은 $\$17.71$ 이다; 보기: (A) $7$, (B) $11$, (C) $17$, (D) $23$, (E) $77$
구하는 것: 연필 한 자루의 값(센트)
이해
문제 재정리: $30$ 명 학급에서 절반이 넘는 학생이 연필을 샀습니다. 산 학생은 모두 똑같은 개수를 샀고, 그 개수는 $1$ 보다 많습니다. 연필 한 자루의 값(센트)은 학생이 산 연필 개수보다 크고, 연필 전체의 값은 $\$17.71$ 입니다. 연필 한 자루의 값을 센트로 구하세요.
주어진 것: 학급에는 학생이 $30$ 명 있다; 그중 과반수(절반이 넘는 수)가 연필을 샀다; 산 학생은 모두 똑같은 개수를 샀고, 그 개수는 $1$ 보다 크다; 연필 한 자루의 값(센트)은 학생이 산 연필 개수보다 크다; 연필 전체의 값은 $\$17.71$ 이다; 보기: (A) $7$, (B) $11$, (C) $17$, (D) $23$, (E) $77$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #8 단위 살펴보기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
전체 값은 (산 학생 수) $\times$ (학생당 개수) $\times$ (한 자루 값)이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 시작하는 게 자연스럽습니다. 세 미지수에 이름을 붙이고 곱셈식 $s \cdot n \cdot c = 1771$ 하나를 세우면, 문장제가 수를 인수분해하는 문제로 바뀝니다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 먼저 모든 양을 센트라는 한 단위로 맞춰 전체를 자연수의 곱으로 만듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 핵심 하위 단계인 $1771$ 의 소인수분해를 처리해, 어떤 자연수만 등장할 수 있는지 드러냅니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 세 부등식(과반수, 개수 $>1$, 값 $>$ 개수)을 써서 각 인수를 제자리에 넣고 함정 보기를 지웁니다.
실행 — 정답: B
4.MD.A.2 단계 1 모두 센트로 바꾸기
- 값을 센트로 물었으니 전체를 센트로 바꿔 단위를 하나로 맞춥니다.
- $\$1 = 100$ 센트이므로 $\$17.71$ 은 $1771$ 센트가 됩니다.
💡 단위를 하나로 두면 모든 양이 자연수 센트가 되어, 전체가 자연수들의 곱이 됩니다.
6.EE.B.6 단계 2 세 미지수에 이름 붙이기
- 연필을 산 학생 수를 $s$, 학생당 산 개수를 $n$, 연필 한 자루의 값(센트)을 $c$ 라 합시다.
- 전체 값은 이 셋을 곱한 것이므로 $s \cdot n \cdot c = 1771$ 입니다.
- 규칙에서 $s > 15$($30$ 의 과반수), $n > 1$, $c > n$ 을 얻습니다.
💡 식 하나가 세 미지수를 묶어 주고, 부등식들은 그것들을 갈라 줄 단서예요.
4.OA.B.4 단계 3 전체 값을 인수분해하기
- $s$, $n$, $c$ 는 곱이 $1771$ 인 자연수이므로, 각각은 $1771$ 의 소인수로 이루어져야 합니다.
- 인수분해하면 $1771 = 7 \times 11 \times 23$ 이고 세 인수가 모두 소수라서 $\{s, n, c\}$ 는 $7$, $11$, $23$ 으로만 만들 수 있습니다.
- $17$ 은 $1771$ 의 인수가 아니므로 보기 (C)는 곧바로 불가능합니다.
💡 소인수분해는 쓸 수 있는 벽돌만 나열하므로, 세 답은 오직 $7$, $11$, $23$ 으로 조립됩니다.
6.EE.B.5 단계 4 단서로 각 인수 배정하기
- 소인수 세 개와 미지수 세 개가 있으니 각 미지수는 $7$, $11$, $23$ 중 하나입니다.
- 산 학생 수는 $30$ 의 과반수, 즉 $15$ 보다 커야 하는데 그 조건을 만족하는 인수는 $23$ 뿐이므로 $s = 23$ 입니다.
- 그러면 $n$ 과 $c$ 는 $7$ 과 $11$ 이 되고, 값이 개수보다 커야 하므로($c > n$) $c = 11$, $n = 7$ 입니다.
- 확인하면 $n = 7 > 1$, $c = 11 > 7$ 로 모든 규칙이 성립합니다.
- 따라서 연필 한 자루는 $11$ 센트이고 보기 (B)입니다.
💡 각 부등식이 인수 하나씩을 제자리로 밀어 넣어, 추측 없이 역할이 확정돼요.
4.MD.A.2 값을 센트로 물었으니 전체를 센트로 바꿔 단위를 하나로 맞춥니다. $\$1 = 100$ 센트이므로 $\$17.71$ 은 $1771$ 센트가 됩니 6.EE.B.6 연필을 산 학생 수를 $s$, 학생당 산 개수를 $n$, 연필 한 자루의 값(센트)을 $c$ 라 합시다. 전체 값은 이 셋을 곱한 것이므로 $s 4.OA.B.4 $s$, $n$, $c$ 는 곱이 $1771$ 인 자연수이므로, 각각은 $1771$ 의 소인수로 이루어져야 합니다. 인수분해하면 $1771 = 6.EE.B.5 소인수 세 개와 미지수 세 개가 있으니 각 미지수는 $7$, $11$, $23$ 중 하나입니다. 산 학생 수는 $30$ 의 과반수, 즉 $15$ 검토
합리성 확인: $s = 23$, $n = 7$, $c = 11$ 로 전체를 확인하면 $23 \times 7 \times 11 = 1771$ 센트 $= \$17.71$ 로 전체 값과 일치합니다. 모든 조건도 맞습니다 — $23$ 은 $30$ 의 과반수, 각 학생은 $7 > 1$ 자루를 샀고, 한 자루는 $11 > 7$ 센트입니다. 값 $11$ 센트는 보기 $\textbf{(B)}$ 입니다. 보기 (C) $17$ 은 $17$ 이 $1771$ 을 나누지 못해 처음부터 불가능했고, (A) $7$ 은 값이 아니라 학생당 개수, (D) $23$ 은 산 학생 수, (E) $77$ 은 $7 \times 11$ 로 한 자루 값이 아닙니다.
대안 접근: 변수를 세우지 않고 보기를 직접 검사해도 됩니다(도구 #3, 가능성 지우기): 올바른 값은 $1771 = 7 \times 11 \times 23$ 을 나눠야 하므로 (C) $17$ 은 바로 탈락입니다. 값으로 $1771$ 을 나눴을 때 과반수 크기의 학생 수가 나오려면 몫에 $23$ 이 들어가야 합니다. $11$ 만 맞습니다: $1771 \div 11 = 161 = 23 \times 7$ 로 학생 $23$ 명이 각각 $7$ 자루를 사고 값 $11 > 7$ 이므로 $\textbf{(B)}$ 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.MD.A.2거리, 시간 간격, 돈이 포함된 문장제를 사칙연산으로 풀기 (전체 $\$17.71$ 을 $1771$ 센트로 바꿔 모든 양을 자연수 센트로 만드는 데 사용.)6.EE.B.6변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 풀기 (세 미지수 $s$, $n$, $c$ 에 이름을 붙이고 곱셈식 $s \cdot n \cdot c = 1771$ 을 세우는 데 사용.)4.OA.B.4인수의 쌍을 모두 찾고 배수를 알며 소수인지 합성수인지 판별하기 ($1771 = 7 \times 11 \times 23$ 으로 인수분해해 전체에 곱해질 수 있는 자연수를 찾는 데 사용.)6.EE.B.5방정식이나 부등식 풀기를 참이 되는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (부등식 $s > 15$, $n > 1$, $c > n$ 을 써서 어느 인수가 학생 수, 연필 개수, 값인지 정하는 데 사용.)
⭐ 자연수들을 곱해 정해진 값이 나올 때는 먼저 그 값을 소인수로 쪼개세요 — 그러면 남은 단서가 어느 인수가 어떤 역할인지 알려 줍니다.
⭐ 자연수들을 곱해 정해진 값이 나올 때는 먼저 그 값을 소인수로 쪼개세요 — 그러면 남은 단서가 어느 인수가 어떤 역할인지 알려 줍니다.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.