AMC 10 · 2011 · #15

학년 7 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

rateratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

로이는 배터리와 휘발유를 함께 쓰는 새 하이브리드 자동차를 샀다. 어떤 여행에서 이 자동차는 처음 $40$ 마일 동안은 오직 배터리로만 달렸고, 나머지 구간에서는 오직 휘발유로만 마일당 $0.02$ 갤런의 비율로 휘발유를 쓰며 달렸다. 여행 전체에서 평균 연비는 갤런당 $55$ 마일이었다. 이 여행의 거리는 몇 마일이었는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 140$

(B)

$\ 240$

(C)

$\ 440$

(D)

$\ 640$

(E)

$\ 840$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 하이브리드 자동차가 처음 $40$마일은 배터리로 달리고, 그 뒤 나머지 구간은 휘발유로 달린다. 휘발유 구간에서는 $1$마일마다 $0.02$갤런을 쓴다. 전체 여행의 평균 연비가 갤런당 $55$마일일 때, 여행의 총 거리를 마일 단위로 구하여라.

주어진 것: 처음 $40$마일은 배터리로 달리며 휘발유를 쓰지 않는다; 그 뒤로는 $1$마일마다 휘발유 $0.02$갤런을 쓴다; 전체 여행의 평균은 갤런당 $55$마일이다; 선택지: (A) $140$, (B) $240$, (C) $440$, (D) $640$, (E) $840$

구하는 것: 여행의 총 거리 (마일)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

여행은 배터리 구간과 휘발유 구간으로 나뉘고, 연료를 쓰는 쪽은 휘발유 구간뿐이다. 그래서 이름 붙일 값은 휘발유로 달린 거리 하나면 충분하다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 미지수 $x$를 정하면 나머지 양을 모두 $x$로 나타낼 수 있다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 문제의 핵심이다. '갤런당 $55$마일'은 총 마일을 총 갤런으로 나눈 비율이므로 마일과 갤런을 따로 추적하는 것이 열쇠다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 '평균이 $55$였다'는 문장을 하나의 방정식으로 바꾼다. 도구 #3(가능성 지우기)은 보조 방법으로, 선택지가 주어져 있으니 각각을 $55$ 규칙에 넣어 확인하면 된다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

평균의 단위 읽기

'갤런당 마일'은 마일을 갤런으로 나눈 값이다.
그래서 전체 평균 $55$는 여행 전체 거리를 쓴 휘발유 전체 양으로 나눈 값이다.
연료를 쓰는 구간은 휘발유 구간뿐이므로, 추적할 두 총량은 총 마일과 총 갤런이다.

$$55 = \dfrac{\text{총 마일}}{\text{총 휘발유 갤런}}$$

💡 '당'이라는 말은 나눗셈 기호이므로, 비율은 어떤 두 총량을 위아래로 놓을지 알려준다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

휘발유 거리에 이름 붙이기

휘발유로 달린 마일 수를 $x$라 하자.
처음 $40$마일은 배터리 구간이므로 총 거리는 $40 + x$마일이다.
그 $x$마일에서 $1$마일마다 $0.02$갤런을 쓰므로, 쓴 휘발유는 $0.02x$갤런이다.

$$\text{총 마일} = 40 + x, \qquad \text{총 갤런} = 0.02x$$

💡 휘발유 마일 하나만 이름 붙이면 두 총량을 모두 그 문자로 쓸 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 7.RP.A.3 단계 3

평균을 방정식으로 쓰기

두 총량을 1단계의 비율에 넣는다.
전체 평균 $55$는 총 마일 $40 + x$를 총 갤런 $0.02x$로 나눈 값과 같다.

$$\dfrac{40 + x}{0.02x} = 55$$

💡 두 총량을 $x$로 나타내면 비율 문장이 하나의 참인 방정식이 된다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

휘발유 마일 구하기

양변에 $0.02x$를 곱해 분수를 없앤다: $40 + x = 55 \times 0.02x$.
$55 \times 0.02 = 1.1$이므로 $40 + x = 1.1x$가 된다.
양변에서 $x$를 빼면 $40 = 0.1x$, 이를 $0.1$로 나누면 $x = 400$이다.

$$40 + x = 1.1x \;\Rightarrow\; 40 = 0.1x \;\Rightarrow\; x = 400$$

💡 분수를 없애면 비율 방정식이 한 번에 풀리는 소수 방정식으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.3 단계 5

두 구간을 더하기

휘발유 구간은 $x = 400$마일, 배터리 구간은 $40$마일이므로 총 거리는 $40 + 400 = 440$마일이다.
이는 선택지 (C)와 일치한다.

$$40 + 400 = 440 \Rightarrow \textbf{(C)}\ 440$$

💡 답은 배터리 마일과 휘발유 마일을 다시 더한 것일 뿐이다.

[1] #8 6.RP.A.3 '갤런당 마일'은 마일을 갤런으로 나눈 값이다. 그래서 전체 평균 $55$는 여행 전체 거리를 쓴 휘발유 전체 양으로 나눈 값이다. 연료를 쓰는

[2] #4 6.EE.B.6 휘발유로 달린 마일 수를 $x$라 하자. 처음 $40$마일은 배터리 구간이므로 총 거리는 $40 + x$마일이다. 그 $x$마일에서 $1$마일마

[3] #13 7.RP.A.3 두 총량을 1단계의 비율에 넣는다. 전체 평균 $55$는 총 마일 $40 + x$를 총 갤런 $0.02x$로 나눈 값과 같다.

[4] #4 7.EE.B.4 양변에 $0.02x$를 곱해 분수를 없앤다: $40 + x = 55 \times 0.02x$. $55 \times 0.02 = 1.1$이므로 $

[5] #4 7.NS.A.3 휘발유 구간은 $x = 400$마일, 배터리 구간은 $40$마일이므로 총 거리는 $40 + 400 = 440$마일이다. 이는 선택지 (C)와 일

검토

합리성 확인: $440$마일 여행으로 확인하자. 그중 $400$마일이 휘발유 구간이고 $1$마일마다 $0.02$갤런을 쓰므로 $400 \times 0.02 = 8$갤런을 쓴다. 평균은 $440 \div 8 = 55$마일로 주어진 값과 정확히 같으니 $\textbf{(C)}$가 맞다. 또한 공짜인 배터리 $40$마일이 평균을 끌어올리므로 전체 평균은 휘발유만 쓸 때의 연비 $1 \div 0.02 = 50$마일보다 커야 하는데, $55 > 50$이라 앞뒤가 맞는다.

대안 접근: 선택지를 직접 대입한다(도구 #3, 가능성 지우기). 각 선택지에서 배터리 $40$마일을 빼 휘발유 마일을 구하고, $0.02$를 곱해 갤런을 구한 뒤, 총 거리를 그 값으로 나눈다. (A) $140$: 휘발유 $100$마일, $2$갤런, $140 \div 2 = 70$ — 너무 크다. (B) $240$: 휘발유 $200$마일, $4$갤런, $240 \div 4 = 60$ — 여전히 크다. (C) $440$: 휘발유 $400$마일, $8$갤런, $440 \div 8 = 55$ — 일치하므로 $\textbf{(C)}$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 문제 해결하기 ('갤런당 $55$마일'을 총 마일을 총 휘발유 갤런으로 나눈 값으로 읽기.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (휘발유 거리 $x$에 이름을 붙이고 총 마일 $40 + x$와 총 갤런 $0.02x$를 나타내기.)
7.RP.A.3 비례 관계로 여러 단계의 비율 문제 해결하기 (전체 평균 $55$를 방정식 $(40 + x) / (0.02x) = 55$로 바꾸기.)
7.EE.B.4 px + q = r 꼴의 방정식으로 이어지는 문장제 풀기 ($40 + x = 1.1x$를 풀어 휘발유 마일 $x = 400$ 구하기.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산으로 실생활 문제 해결하기 (소수 $0.02$와 $1.1$을 다루고 $40 + 400 = 440$을 더하기.)

⭐ 갤런당 마일은 총 마일을 총 갤런으로 나눈 값이니, 연료를 쓰는 마일에 이름을 붙여 그 분수를 평균과 같다고 놓으면 된다.