AMC 10 · 2011 · #15

학년 7 rate-ratio
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
rateratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rate
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
하이브리드 자동차가 처음 40마일은 배터리로 달리고, 그 뒤 나머지 구간은 휘발유로 달린다. 휘발유 구간에서는 1마일마다 0.02갤런을 쓴다. 전체 여행의 평균 연비가 갤런당 55마일일 때, 여행의 총 거리를 마일 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 140$
(B)
$\ 240$
(C)
$\ 440$
(D)
$\ 640$
(E)
$\ 840$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

여행은 배터리 구간과 휘발유 구간으로 나뉘고, 연료를 쓰는 쪽은 휘발유 구간뿐이다. 그래서 이름 붙일 값은 휘발유로 달린 거리 하나면 충분하다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 미지수 x를 정하면 나머지 양을 모두 x로 나타낼 수 있다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 문제의 핵심이다. '갤런당 55마일'은 총 마일을 총 갤런으로 나눈 비율이므로 마일과 갤런을 따로 추적하는 것이 열쇠다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 '평균이 55였다'는 문장을 하나의 방정식으로 바꾼다. 도구 #3(가능성 지우기)은 보조 방법으로, 선택지가 주어져 있으니 각각을 55 규칙에 넣어 확인하면 된다.

1STEP 1

평균의 단위 읽기

'갤런당 마일'은 마일을 갤런으로 나눈 값이니, 55는 여행 전체 거리를 쓴 휘발유 전체 양으로 나눈 값이다.

55 = (총 마일)/(총 휘발유 갤런)
2STEP 2

휘발유 거리에 이름 붙이기

휘발유로 달린 마일을 x라 하면, 총 거리는 40 + x마일이고 쓴 휘발유는 0.02x갤런이다.

총 마일 = 40 + x, 총 갤런 = 0.02x
3STEP 3

평균을 방정식으로 쓰기

두 총량을 1단계의 비율에 넣으면, 평균 55는 40 + x를 0.02x로 나눈 값과 같다.

(40 + x)/0.02x = 55
4STEP 4

휘발유 마일 구하기

분수를 없애면 40 + x = 1.1x, x를 빼면 40 = 0.1x이므로 x = 400마일이다.

40 + x = 1.1x → 40 = 0.1x → x = 400
5STEP 5

두 구간을 더하기

배터리 40마일에 휘발유 400마일을 더하면 총 거리는 440마일, 선택지 (C)이다.

40 + 400 = 440 → (C) 440
정답
440
440마일 여행으로 확인하자. 그중 400마일이 휘발유 구간이고 1마일마다 0.02갤런을 쓰므로 400 × 0.02 = 8갤런을 쓴다. 평균은 440 ÷ 8 = 55마일로 주어진 값과 정확히 같으니 (C)가 맞다. 또한 공짜인 배터리 40마일이 평균을 끌어올리므로 전체 평균은 휘발유만 쓸 때의 연비 1 ÷ 0.02 = 50마일보다 커야 하는데, 55 ＞ 50이라 앞뒤가 맞는다.
💡핵심 정리

갤런당 마일은 총 마일을 총 갤런으로 나눈 값이니, 연료를 쓰는 마일에 이름을 붙여 그 분수를 평균과 같다고 놓으면 된다.

  • 평균의 단위 읽기
  • 휘발유 거리에 이름 붙이기
  • 평균을 방정식으로 쓰기
  • 휘발유 마일 구하기
  • 두 구간을 더하기

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