AMC 10 · 2011 · #16

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

difference-of-squaressigned-square-rootexponents convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 겹근호를 더한다:

\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}

. 두 근호 안의 수는

6\sqrt{2}

의 부호만 다르고 둘 다 양수이므로 합은 양의 실수다. 이 합과 같은 보기를 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\sqrt2$

(B)

$2\sqrt6$

(C)

$\frac{7\sqrt2}{2}$

(D)

$3\sqrt3$

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

복잡하게 겹친 제곱근의 합은 정면으로 풀기 어렵지만, 제곱근은 제곱하는 순간 쉬워진다. 도구 #4(변수 도입하기)로 식 전체를 S 라 이름 붙이면 한 번 제곱해서 두 개의 지저분한 근을 평범한 수로 바꿀 수 있다. 합을 제곱하면 교차항 하나가 남는데, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 교차항을 따로 떼어 곱으로 보면 합·차 곱 패턴으로 깔끔하게 정리된다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 번째 길을 준다. 각 근호 안이 사실은 완전제곱이라 근이 바로 나온다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치인데, 보기들이 서로 가깝지만 다르므로 소수 어림값 하나로 구분된다.

1STEP 1

합에 이름 붙이고 제곱하기

양수인 식 전체를 $S$ 라 하고 $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$ 로 제곱한다. 각 근의 제곱은 안의 수를 그대로 돌려준다.

S²=(9-6√(2))+(9+6√(2))+2√((9-6√(2))(9+6√(2)))

2STEP 2

평범한 두 항 더하기

$(9-6\sqrt{2})+(9+6\sqrt{2})$ 에서 $6\sqrt{2}$ 항이 서로 상쇄되어 $18$ 만 남는다.

(9-6√(2))+(9+6√(2))=18

3STEP 3

교차항 정리하기

남은 근호 안의 곱은 합·차 공식 꼴이라 $9^2-(6\sqrt{2})^2=81-72=9$ 이고, 교차항은 $2\sqrt{9}=6$ 이다.

(9-6√(2))(9+6√(2))=81-72=9, 2√(9)=6

4STEP 4

양의 제곱근 취하기

이제 $S^2=18+6=24$ 이고 $S$ 가 양수이므로 $S=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}$ , 즉 $2\sqrt{6}$ , 보기 (B)이다.

S²=24 → S=√(24)=2√(6) → (B) 2√(6)

정답

2√6

소수로 어림하면 6√(2)≈ 8.49 이므로 √(9-8.49)=√(0.51)≈ 0.72, √(9+8.49)=√(17.49)≈ 4.18이고 합은 약 4.90이다. 한편 2√(6)≈ 2(2.449)=4.90으로 정확히 일치한다. 가까운 다른 보기들은 다른 값에 놓인다. 3√(2)≈ 4.24, 7√(2)/2≈ 4.95, 3√(3)≈ 5.20, 6. 오직 (B)만 4.90에 맞는다.

💡핵심 정리

제곱근의 합이 무섭게 보이면 이름을 붙여 제곱하라. 근은 평범한 수로 바뀌고, 남는 교차항은 대개 합·차 곱으로 정리된다.

합에 이름 붙이고 제곱하기
평범한 두 항 더하기
교차항 정리하기
양의 제곱근 취하기

합에 이름 붙이고 제곱하기

평범한 두 항 더하기

교차항 정리하기

양의 제곱근 취하기

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