AMC 10 · 2011 · #16

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

difference-of-squaressigned-square-rootexponents convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음 중 $\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ 와 같은 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\,3\sqrt2$

(B)

$\,2\sqrt6$

(C)

$\,\frac{7\sqrt2}{2}$

(D)

$\,3\sqrt3$

(E)

$\,6$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ 의 값을 구해서 보기 중 하나와 맞춰라.

주어진 것: 식은 $\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ 이다; 거의 똑같은 두 제곱근의 합으로, 하나는 안에 $-6\sqrt{2}$, 다른 하나는 $+6\sqrt{2}$ 가 들어 있다; 보기: (A) $3\sqrt{2}$, (B) $2\sqrt{6}$, (C) $\frac{7\sqrt{2}}{2}$, (D) $3\sqrt{3}$, (E) $6$

구하는 것: 식 전체를 하나로 간단히 한 값

이해

문제 재정리: $\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ 의 값을 구해서 보기 중 하나와 맞춰라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

복잡하게 겹친 제곱근의 합은 정면으로 풀기 어렵지만, 제곱근은 제곱하는 순간 쉬워진다. 도구 #4(변수 도입하기)로 식 전체를 $S$ 라 이름 붙이면 한 번 제곱해서 두 개의 지저분한 근을 평범한 수로 바꿀 수 있다. 합을 제곱하면 교차항 하나가 남는데, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 교차항을 따로 떼어 곱으로 보면 합·차 곱 패턴으로 깔끔하게 정리된다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 번째 길을 준다. 각 근호 안이 사실은 완전제곱이라 근이 바로 나온다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치인데, 보기들이 서로 가깝지만 다르므로 소수 어림값 하나로 구분된다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 1

합에 이름 붙이고 제곱하기

식 전체를 $S$ 라 하자.
두 근이 모두 양수이므로 $S>0$ 이다.
합의 제곱은 $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$ 를 쓰며, 여기서 $p=\sqrt{9-6\sqrt{2}}$, $q=\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ 이다.
각 근을 제곱하면 근호가 사라지고 안의 수만 남는다.

$$S^2=\left(9-6\sqrt{2}\right)+\left(9+6\sqrt{2}\right)+2\sqrt{\left(9-6\sqrt{2}\right)\left(9+6\sqrt{2}\right)}$$

💡 제곱은 제곱근을 되돌리는 자연스러운 취소 버튼이라, 합을 제곱하면 근이 평범한 수로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.3 단계 2

평범한 두 항 더하기

앞의 두 조각은 $9-6\sqrt{2}$ 와 $9+6\sqrt{2}$ 이다.
$-6\sqrt{2}$ 와 $+6\sqrt{2}$ 가 상쇄되어 $9+9=18$ 만 남는다.

$$\left(9-6\sqrt{2}\right)+\left(9+6\sqrt{2}\right)=18$$

💡 두 근호 안이 서로 거울상이라 무리수 부분이 깨끗이 지워진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 3

교차항 정리하기

남은 근호 안의 곱은 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 꼴이고, $a=9$, $b=6\sqrt{2}$ 이다.
따라서 $9^2-\left(6\sqrt{2}\right)^2=81-72=9$ 이고, 교차항 안에는 깔끔한 $\sqrt{9}=3$ 이 남는다.

$$\left(9-6\sqrt{2}\right)\left(9+6\sqrt{2}\right)=81-72=9,\qquad 2\sqrt{9}=6$$

💡 같은 두 수의 차와 합의 곱은 항상 가운데를 없애고 $a^2-b^2$ 만 남긴다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 4

양의 제곱근 취하기

이제 $S^2=18+6=24$ 이다.
$S$ 가 양수이므로 $S=\sqrt{24}$ 이다.
완전제곱을 밖으로 빼면 $\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$ 이다.
이것이 보기 (B) 이다.

$$S^2=24\;\Rightarrow\; S=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}\ 2\sqrt{6}$$

💡 가장 큰 완전제곱 인수를 밖으로 빼내는 것이 어떤 제곱근이든 가장 간단한 꼴로 만드는 방법이다.

[1] #4 8.EE.A.2 식 전체를 $S$ 라 하자. 두 근이 모두 양수이므로 $S>0$ 이다. 합의 제곱은 $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$ 를 쓰며, 여기서 $

[2] #4 7.NS.A.3 앞의 두 조각은 $9-6\sqrt{2}$ 와 $9+6\sqrt{2}$ 이다. $-6\sqrt{2}$ 와 $+6\sqrt{2}$ 가 상쇄되어 $9

[3] #7 7.EE.A.1 남은 근호 안의 곱은 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 꼴이고, $a=9$, $b=6\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $9^2-\left(6\

[4] #4 8.EE.A.2 이제 $S^2=18+6=24$ 이다. $S$ 가 양수이므로 $S=\sqrt{24}$ 이다. 완전제곱을 밖으로 빼면 $\sqrt{24}=\sqrt

검토

합리성 확인: 소수로 어림하면 $6\sqrt{2}\approx 8.49$ 이므로 $\sqrt{9-8.49}=\sqrt{0.51}\approx 0.72$, $\sqrt{9+8.49}=\sqrt{17.49}\approx 4.18$ 이고 합은 약 $4.90$ 이다. 한편 $2\sqrt{6}\approx 2(2.449)=4.90$ 으로 정확히 일치한다. 가까운 다른 보기들은 다른 값에 놓인다. $3\sqrt{2}\approx 4.24$, $\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx 4.95$, $3\sqrt{3}\approx 5.20$, $6$. 오직 (B) 만 $4.90$ 에 맞는다.

대안 접근: 숨은 완전제곱을 알아채는 방법(도구 #5)도 있다. $\left(\sqrt{6}\mp\sqrt{3}\right)^2=6+3\mp 2\sqrt{18}=9\mp 6\sqrt{2}$ 이므로 $\sqrt{9-6\sqrt{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$, $\sqrt{9+6\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{3}$ 이다($\sqrt{6}>\sqrt{3}$ 이라 둘 다 양수). 이를 더하면 $\sqrt{3}$ 항이 상쇄되어 $2\sqrt{6}$ 가 남고, 다시 $\textbf{(B)}$ 이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (근을 제곱해 없애고, $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ 로 양의 제곱근을 취해 간단히 하기.)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers ($9-6\sqrt{2}$ 와 $9+6\sqrt{2}$ 를 더해 반대 부호의 무리수 부분을 $18$ 로 상쇄하기.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (켤레 곱 $(9-6\sqrt{2})(9+6\sqrt{2})$ 를 합·차 곱 $81-72=9$ 로 전개하기.)
8.NS.A.2 Use rational approximations of irrational numbers to compare their size (각 근을 소수로 어림해 합이 약 $4.90$ 임을 확인하고 다른 보기를 배제하기.)

⭐ 제곱근의 합이 무섭게 보이면 이름을 붙여 제곱하라. 근은 평범한 수로 바뀌고, 남는 교차항은 대개 합·차 곱으로 정리된다.