AMC 10 · 2011 · #17

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

recursive-sequencesystems-of-equations pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

항이 $8$ 개인 수열 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ 에서 $C$ 의 값은 $5$ 이고, 연속하는 세 항의 합은 항상 $30$ 이다. $A+H$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여덟 개의 항이 한 줄로 놓여 있다: $A, B, C, D, E, F, G, H$. 세 번째 항은 $C=5$이고, 서로 이웃한 세 항의 합은 항상 $30$이다. 첫째 항과 마지막 항의 합 $A+H$를 구하라.

주어진 것: 수열은 여덟 개의 항 $A, B, C, D, E, F, G, H$로 이루어진다; $C = 5$; 이웃한 세 항의 합은 언제나 $30$이다

구하는 것: $A + H$의 값

이해

주어진 것: 수열은 여덟 개의 항 $A, B, C, D, E, F, G, H$로 이루어진다; $C = 5$; 이웃한 세 항의 합은 언제나 $30$이다

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #15 다르게 정리하기

'이웃한 세 항의 합이 30'이라는 규칙은 겹치는 묶음끼리를 연결해 준다. 겹치는 두 묶음을 식으로 써서 비교하면, 수열이 세 항마다 반복되는 패턴이 드러난다. 이 반복을 알면 각 항을 일일이 구하지 않고도 $C$와 합 규칙만으로 곧장 $A+H$를 얻을 수 있다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

합 규칙을 문자로 쓰기

각 항에 문자를 붙이고, '이웃한 세 항의 합이 30'을 겹치는 두 묶음에 대해 식으로 쓴다.
처음 세 항이 한 식을 주고, 한 칸 밀면 다음 식이 나온다.

$$A+B+C = 30 \qquad B+C+D = 30$$

💡 항에 문자를 붙이면 말로 된 규칙이 나란히 놓고 비교할 수 있는 식으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.4 단계 2

겹치는 두 묶음 비교하기

두 묶음 모두 $30$이고, 둘 다 공통 부분 $B+C$를 품고 있다.
$A+B+C$와 $B+C+D$가 같은 수를 나타내면서 $B+C$를 공유하므로, 남은 부분끼리 같아야 한다: $A=D$.
다음 묶음 쌍에 같은 비교를 하면 $B=E$, 그다음 $C=F$가 되고, 계속 이어진다.

$$A + (B+C) = D + (B+C) \;\Rightarrow\; A = D$$

💡 같은 합이 공통 부분을 나눠 가지면, 남은 부분도 서로 같을 수밖에 없다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

세 항마다 반복되는 패턴 찾기

각 항이 세 칸 뒤의 항과 같으므로, 수열은 $A, B, C$를 계속 돌면서 반복된다.
여덟 항을 자리 순서대로 모두 써 보면 패턴이 뚜렷해지고, $H$가 어디에 놓이는지 보인다.

$$A,\ B,\ C,\ A,\ B,\ C,\ A,\ B \;\Rightarrow\; H = B$$

💡 모든 항을 세 칸 앞의 항과 묶는 규칙은 수열을 세 개씩 반복되도록 만든다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

A+H를 A+B로 바꿔 마무리하기

$H=B$이므로 구하려는 $A+H$는 $A+B$와 같다.
그런데 $A+B+C=30$이고 $C=5$이므로 $A+B = 30-5 = 25$이다.
따라서 $A+H = 25$이고, 이는 보기 (C)이다.

$$A+H = A+B = 30 - C = 30 - 5 = 25$$

💡 $H$가 사실은 $B$와 같다는 걸 알면, 맨 앞 묶음의 합 규칙이 곧바로 $A+B$를 알려 준다.

[1] #4 6.EE.B.6 각 항에 문자를 붙이고, '이웃한 세 항의 합이 30'을 겹치는 두 묶음에 대해 식으로 쓴다. 처음 세 항이 한 식을 주고, 한 칸 밀면 다음

[2] #4 6.EE.A.4 두 묶음 모두 $30$이고, 둘 다 공통 부분 $B+C$를 품고 있다. $A+B+C$와 $B+C+D$가 같은 수를 나타내면서 $B+C$를 공유하

[3] #5 4.OA.C.5 각 항이 세 칸 뒤의 항과 같으므로, 수열은 $A, B, C$를 계속 돌면서 반복된다. 여덟 항을 자리 순서대로 모두 써 보면 패턴이 뚜렷해지고

[4] #4 6.EE.B.7 $H=B$이므로 구하려는 $A+H$는 $A+B$와 같다. 그런데 $A+B+C=30$이고 $C=5$이므로 $A+B = 30-5 = 25$이다. 따

검토

합리성 확인: 구체적인 수열로 패턴을 확인해 보자. $A=10, B=15$로 잡으면 $C=5$일 때 $A+B+C=30$이 되고, 반복 규칙에 따라 $10,15,5,10,15,5,10,15$가 된다. 이웃한 세 항은 모두 합이 $30$이고 $A+H = 10+15 = 25$로 (C)와 맞는다. 시작값을 다르게 잡아도(예: $A=0, B=25$) $A+H=25$가 그대로 나와, 답이 어떤 항 값을 골랐는지에 의존하지 않음을 확인할 수 있다.

대안 접근: 패턴을 건너뛰고 첫 묶음만 써도 된다. $A+B+C=30$에 $C=5$를 넣으면 $A+B=25$이다. 수열이 세 항마다 반복되므로 여덟째 항(3의 배수보다 $2$ 큰 자리)은 둘째 항 $B$와 같아 $H=B$이고 $A+H=A+B=25$이다. 이미 답을 품고 있는 한 식에 집중해 같은 결과를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (여덟 항에 문자를 붙이고 '합이 30' 규칙을 식으로 쓰는 데 사용.)
6.EE.A.4 Identify when two expressions are equivalent (둘 다 30인 겹치는 두 묶음을 비교해 $A=D$를 이끌어내는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (세 항마다 반복되는 순환을 이어 $H$의 자리를 찾고 $H=B$임을 보는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($A+B+C=30$에 $C=5$를 넣어 $A+B=25$를 구하고 이것이 $A+H$임을 확인하는 데 사용.)

⭐ 겹치는 묶음들이 모두 같은 합이 되면 수열이 반복되므로, 멀리 있는 항도 사실은 가까운 항이 모습만 바꾼 것이다.