AMC 10 · 2011 · #17

학년 6 patternalgebra
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
recursive-sequencesystems-of-equations pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pattern-recognition
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
여덟 개의 항이 한 줄로 놓여 있다: A, B, C, D, E, F, G, H. 세 번째 항은 C=5이고, 서로 이웃한 세 항의 합은 항상 30이다. 첫째 항과 마지막 항의 합 A+H를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
17
(B)
18
(C)
25
(D)
26
(E)
43

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

'이웃한 세 항의 합이 30'이라는 규칙은 겹치는 묶음끼리를 연결해 준다. 겹치는 두 묶음을 식으로 써서 비교하면, 수열이 세 항마다 반복되는 패턴이 드러난다. 이 반복을 알면 각 항을 일일이 구하지 않고도 C와 합 규칙만으로 곧장 A+H를 얻을 수 있다.

1STEP 1

합 규칙을 문자로 쓰기

각 항에 문자를 붙이고, 처음 묶음과 한 칸 민 묶음에 대해 합이 30이라는 식을 쓴다.

A+B+C = 30 B+C+D = 30
2STEP 2

겹치는 두 묶음 비교하기

두 묶음 모두 30이고 B+C를 공유하니 남은 부분끼리 같다: A=D. 계속 밀면 B=E, C=F도 나온다.

A + (B+C) = D + (B+C) → A = D
3STEP 3

세 항마다 반복되는 패턴 찾기

각 항이 세 칸 뒤 항과 같으니 수열은 A, B, C를 반복하고, 여덟째 자리인 H는 B가 된다.

A, B, C, A, B, C, A, B → H = B
4STEP 4

A+H를 A+B로 바꿔 마무리하기

H=B이므로 A+H는 A+B와 같고, A+B+C=30에 C=5를 넣으면 A+H = 25이다.

A+H = A+B = 30 - C = 30 - 5 = 25
정답
25
구체적인 수열로 패턴을 확인해 보자. A=10, B=15로 잡으면 C=5일 때 A+B+C=30이 되고, 반복 규칙에 따라 10,15,5,10,15,5,10,15가 된다. 이웃한 세 항은 모두 합이 30이고 A+H = 10+15 = 25로 (C)와 맞는다. 시작값을 다르게 잡아도(예: A=0, B=25) A+H=25가 그대로 나와, 답이 어떤 항 값을 골랐는지에 의존하지 않음을 확인할 수 있다.
💡핵심 정리

겹치는 묶음들이 모두 같은 합이 되면 수열이 반복되므로, 멀리 있는 항도 사실은 가까운 항이 모습만 바꾼 것이다.

  • 합 규칙을 문자로 쓰기
  • 겹치는 두 묶음 비교하기
  • 세 항마다 반복되는 패턴 찾기
  • A+H를 A+B로 바꿔 마무리하기

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