AMC 10 · 2011 · #19

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

perfect-squaresdifference-of-squaresfactors convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: perfect-squares

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1991년에 어떤 마을의 인구는 완전제곱수였다. 10년 후, 인구가 150명 늘어난 뒤에는 인구가 어떤 완전제곱수보다 9만큼 컸다. 그리고 2011년 현재, 다시 150명이 늘어나면서 인구는 또다시 완전제곱수가 되었다. 이 20년 동안 마을 인구의 증가율에 가장 가까운 것은 다음 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 마을의 인구가 1991년에는 완전제곱수이다. 여기에 150을 더하면 어떤 완전제곱수보다 9 큰 수가 된다(2001년). 다시 150을 더하면 또다시 완전제곱수가 된다(2011년). 이 20년 동안의 인구 증가율에 가장 가까운 값을 고르는 문제이다.

주어진 것: 1991년 인구는 완전제곱수이다; 2001년 인구(150 증가)는 어떤 완전제곱수보다 9 크다; 2011년 인구(다시 150 증가)는 또다시 완전제곱수이다; 1991년부터 2011년까지 총 증가량은 $150 + 150 = 300$명이다

구하는 것: 1991년 인구, 그리고 그로부터 구하는 1991년→2011년 인구 증가율

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 150씩 고정으로 뛰는 세 개의 미지의 인구를 다룬다. 각 완전제곱수에 문자를 붙여 조건마다 식을 세우면, 두 제곱수의 차가 작은 수와 같아진다. 제곱수의 차는 인수분해되므로, 몇 안 되는 인수쌍을 나열해 2011년 조건까지 만족하는 경우를 골라내면 된다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

완전제곱수에 문자 붙이기

1991년 인구를 $n^2$이라 하자.
2001년 인구는 $n^2 + 150$이고 이는 어떤 완전제곱수보다 $9$ 크므로 $m^2 + 9$로 쓴다.
2011년 인구는 $n^2 + 300$이고 다시 완전제곱수이므로 $k^2$이라 하자.

$$1991:\ n^2 \qquad 2001:\ n^2+150=m^2+9 \qquad 2011:\ n^2+300=k^2$$

💡 미지의 제곱수마다 문자를 붙이면 말로 된 이야기가 다룰 수 있는 식으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 2

2001년 조건을 식으로 바꾸기

$n^2 + 150 = m^2 + 9$에서 숫자를 한쪽으로 옮기면 $m^2 - n^2 = 150 - 9 = 141$이 된다.
즉 두 완전제곱수 $m^2$과 $n^2$의 차는 정확히 $141$이다.

$$n^2 + 150 = m^2 + 9 \ \Rightarrow\ m^2 - n^2 = 141$$

💡 숫자만 한쪽으로 모으면 두 제곱수 사이의 깔끔한 관계식이 남는다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

제곱수의 차를 인수분해하기

두 제곱수의 차는 $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$으로 인수분해된다.
따라서 $(m-n)(m+n) = 141$이다.
$141 = 3 \times 47$이므로 인수쌍은 $1 \times 141$과 $3 \times 47$뿐이다.
$m$과 $n$이 양수이므로 $m-n$이 작은 인수, $m+n$이 큰 인수이다.

$$(m-n)(m+n)=141=1\times141=3\times47$$

💡 곱을 인수쌍으로 다시 쪼개면 확인할 경우의 수가 몇 개로 줄어든다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 4

각 경우에서 n 구하기

한 쌍에 대해 두 식 $m-n=a$와 $m+n=b$를 더하면 $2m=a+b$, 빼면 $2n=b-a$이다.
$1\times141$쌍: $2n = 141-1 = 140$이므로 $n = 70$.
$3\times47$쌍: $2n = 47-3 = 44$이므로 $n = 22$.

$$1\times141:\ n=\tfrac{141-1}{2}=70 \qquad 3\times47:\ n=\tfrac{47-3}{2}=22$$

💡 두 간단한 식을 더하고 빼면 $m$과 $n$을 하나씩 분리해 낼 수 있다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 5

2011년 조건에 맞는 경우 남기기

2011년 인구 $n^2 + 300$도 완전제곱수여야 한다.
$n = 70$ 확인: $70^2 + 300 = 4900 + 300 = 5200$인데 $72^2 = 5184$, $73^2 = 5329$이므로 $5200$은 완전제곱수가 아니다 — 제외.
$n = 22$ 확인: $22^2 + 300 = 484 + 300 = 784 = 28^2$로 완전제곱수이다.
따라서 $n = 22$가 답이며, 1991년 인구는 $484$, 2011년 인구는 $784$이다.

70^2+300=5200\ (\text{완전제곱수 아님}) \qquad 22^2+300=784=28^2\ (\text{완전제곱수})

💡 두 완전제곱 조건을 동시에 만족하는 경우만이 실제 마을이 될 수 있다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 6

인구 증가율 계산하기

인구는 1991년 $484$에서 2011년 $784$로, $300$만큼 늘었다.
증가율은 증가량을 처음 값으로 나눈 값이다: $\dfrac{300}{484} \approx 0.620 = 62\%$.
가장 가까운 선택지는 $62$, 즉 (E)이다.

$$\frac{784-484}{484}=\frac{300}{484}\approx0.620=62\%$$

💡 증가율은 늘어난 양을 도착한 값이 아니라 시작한 값과 비교한다.

[1] #4 6.EE.A.2 1991년 인구를 $n^2$이라 하자. 2001년 인구는 $n^2 + 150$이고 이는 어떤 완전제곱수보다 $9$ 크므로 $m^2 + 9$로 쓴

[2] #4 7.EE.B.4 $n^2 + 150 = m^2 + 9$에서 숫자를 한쪽으로 옮기면 $m^2 - n^2 = 150 - 9 = 141$이 된다. 즉 두 완전제곱수

[3] #2 4.OA.B.4 두 제곱수의 차는 $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$으로 인수분해된다. 따라서 $(m-n)(m+n) = 141$이다. $141 = 3

[4] #4 8.EE.C.7 한 쌍에 대해 두 식 $m-n=a$와 $m+n=b$를 더하면 $2m=a+b$, 빼면 $2n=b-a$이다. $1\times141$쌍: $2n =

[5] #3 8.EE.A.2 2011년 인구 $n^2 + 300$도 완전제곱수여야 한다. $n = 70$ 확인: $70^2 + 300 = 4900 + 300 = 5200$인

[6] #4 7.RP.A.3 인구는 1991년 $484$에서 2011년 $784$로, $300$만큼 늘었다. 증가율은 증가량을 처음 값으로 나눈 값이다: $\dfrac{30

검토

합리성 확인: $n=22$로 세 조건을 모두 확인한다: 1991년은 $484=22^2$(완전제곱수), 2001년은 $634 = 625 + 9 = 25^2 + 9$(완전제곱수보다 9 큼), 2011년은 $784=28^2$(완전제곱수). 모두 맞는다. 증가율 $300/484$은 $\tfrac{2}{3}$보다 조금 작고, 그에 가까운 선택지는 $62\%$뿐이므로 (E)가 타당하다.

대안 접근: 선택지들이 $60\%$ 근처이므로 1991년 인구는 $300 / 0.6 \approx 500$ 부근이어야 한다. $500$ 근처의 완전제곱수를 훑어보면 $22^2 = 484$와 $28^2 = 784$이 정확히 $300$ 차이 나고, $484 + 150 = 634 = 25^2 + 9$로 가운데 조건도 맞는다. 인수분해 없이도 같은 마을에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (세 개의 미지의 인구를 $n^2$, $m^2+9$, $k^2$으로 이름 붙이는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (2001년 조건을 $m^2 - n^2 = 141$이라는 식으로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($(m-n)(m+n)$으로 쓴 뒤 $141$의 인수쌍을 나열하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($m-n=a$와 $m+n=b$를 더하고 빼서 각 경우의 $n$을 구하는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($n^2+300$이 완전제곱수인지 확인해 옳은 경우를 고르는 데 사용.)
7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems (증가량 300을 시작 인구 484로 나누어 증가율을 구하는 데 사용.)

⭐ 두 완전제곱수의 차가 작은 수일 때는 그 수를 $(m-n)(m+n)$으로 인수분해해 제곱수를 찾고, 증가는 시작한 값과 견주어 재라.