AMC 10 · 2011 · #19

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

perfect-squaresdifference-of-squaresfactors convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: perfect-squares

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1991년에 어느 마을의 인구는 완전제곱수였다. 10년 뒤인 2001년, 인구가 150명 늘어난 다음에는 인구가 어떤 완전제곱수보다 9만큼 큰 수였다. 그리고 2011년 현재 다시 150명이 늘어나 인구는 또다시 완전제곱수가 되었다. 이 20년 동안 마을 인구의 증가율에 가장 가까운 값은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제는 150씩 고정으로 뛰는 세 개의 미지의 인구를 다룬다. 각 완전제곱수에 문자를 붙여 조건마다 식을 세우면, 두 제곱수의 차가 작은 수와 같아진다. 제곱수의 차는 인수분해되므로, 몇 안 되는 인수쌍을 나열해 2011년 조건까지 만족하는 경우를 골라내면 된다.

1STEP 1

완전제곱수에 문자 붙이기

1991년 인구를 n²이라 하면 2001년은 n² + 150 = m² + 9, 2011년은 n² + 300 = k²이다.

1991: n² 2001: n²+150=m²+9 2011: n²+300=k²

2STEP 2

2001년 조건을 식으로 바꾸기

n² + 150 = m² + 9에서 숫자를 모으면 m² - n² = 141, 즉 두 제곱수의 차이다.

n² + 150 = m² + 9 → m² - n² = 141

3STEP 3

제곱수의 차를 인수분해하기

(m-n)(m+n) = 141이고 141 = 3 × 47이므로 인수쌍은 1 × 141과 3 × 47뿐이다.

(m-n)(m+n)=141=1×141=3×47

4STEP 4

각 경우에서 n 구하기

m+n=b에서 m-n=a를 빼면 2n=b-a이므로 1 × 141에서 n = 70, 3 × 47에서 n = 22.

1×141: n=(141-1)/2=70 3×47: n=(47-3)/2=22

5STEP 5

2011년 조건에 맞는 경우 남기기

70² + 300 = 5200은 제곱수가 아니라 탈락. n = 22면 1991년 484, 2011년 784 = 28².

70²+300=5200 (완전제곱수 아님) 22²+300=784=28² (완전제곱수)

6STEP 6

인구 증가율 계산하기

증가율은 증가량을 처음 값과 견준다: 300/484 ≈ 0.620, 약 62퍼센트로 (E)이다.

(784-484)/484=300/484≈0.620=62%

정답

n=22로 세 조건을 모두 확인한다: 1991년은 484=22²(완전제곱수), 2001년은 634 = 625 + 9 = 25² + 9(완전제곱수보다 9 큼), 2011년은 784=28²(완전제곱수). 모두 맞는다. 증가율 300/484은 2/3보다 조금 작고, 그에 가까운 선택지는 62%뿐이므로 (E)가 타당하다.

💡핵심 정리

두 완전제곱수의 차가 작은 수일 때는 그 수를 (m-n)(m+n)으로 인수분해해 제곱수를 찾고, 증가는 시작한 값과 견주어 재라.

완전제곱수에 문자 붙이기
2001년 조건을 식으로 바꾸기
제곱수의 차를 인수분해하기
각 경우에서 n 구하기
2011년 조건에 맞는 경우 남기기
인구 증가율 계산하기