AMC 10 · 2011 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangefraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

[ $a$ $b$ ]는 $a$ 와 $b$ 의 평균을 나타내고, { $a$ $b$ $c$ }는 $a$ , $b$ , $c$ 의 평균을 나타낸다고 하자. $\{\{\text{1 1 0}\} \text{ [0 1] } 0\}?$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{9}$

(B)

$\frac{5}{18}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{7}{18}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 새로 만든 두 기호가 정의됩니다: $[a\ b]$ 는 $a$ 와 $b$ 의 평균, $\{a\ b\ c\}$ 는 $a$, $b$, $c$ 의 평균을 뜻합니다. 중첩된 식 $\{\{1\ 1\ 0\}\ [0\ 1]\ 0\}$ 의 값을 구해 보기와 맞추세요.

주어진 것: $[a\ b] = \dfrac{a+b}{2}$ (두 수의 평균); $\{a\ b\ c\} = \dfrac{a+b+c}{3}$ (세 수의 평균); 계산할 식: $\{\{1\ 1\ 0\}\ [0\ 1]\ 0\}$; 보기: (A) $\frac{2}{9}$, (B) $\frac{5}{18}$, (C) $\frac{1}{3}$, (D) $\frac{7}{18}$, (E) $\frac{2}{3}$

구하는 것: 중첩된 식 전체가 나타내는 하나의 분수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

무서운 건 계산이 아니라 기호예요. 도구 #7 은 한 번에 다 하려 하지 말고, 복잡한 식을 독립된 작은 조각으로 쪼개라고 말합니다. 여기서 안쪽 괄호 $\{1\ 1\ 0\}$ 과 $[0\ 1]$ 은 각각 자기 완결적인 미니 문제예요. 먼저 이 둘을 평범한 분수로 구한 다음, 그 두 수를 바깥 $\{\ \ \}$ 에 넣으면 마지막은 평균 한 번만 더 구하면 됩니다. 안쪽부터 바깥으로 풀면 모든 단계가 '더하고 나누기'로 단순해집니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1

안쪽 세 수의 평균

가장 안쪽 묶음 $\{1\ 1\ 0\}$ 부터 시작합니다.
이것은 $1$, $1$, $0$ 의 평균이에요: 모두 더한 뒤 $3$ 으로 나눕니다.

$$\{1\ 1\ 0\} = \dfrac{1+1+0}{3} = \dfrac{2}{3}$$

💡 세 수의 평균은 그 합을 세 몫으로 똑같이 나눈 것일 뿐이에요.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

안쪽 두 수의 평균

다음으로 $[0\ 1]$, 즉 두 수 $0$ 과 $1$ 의 평균을 구합니다: 더한 뒤 $2$ 로 나눕니다.

$$[0\ 1] = \dfrac{0+1}{2} = \dfrac{1}{2}$$

💡 두 수의 평균은 두 수 사이 정확히 한가운데에 놓입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

바깥 세 수 더하기

이제 바깥 식은 $\{\tfrac{2}{3}\ \tfrac{1}{2}\ 0\}$ 입니다.
먼저 세 수를 더합니다.
$\tfrac{2}{3}$ 과 $\tfrac{1}{2}$ 을 공통분모 $6$ 으로 바꿔 씁니다.

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} + 0 = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6}$$

💡 분수는 조각의 크기가 같아야만 더할 수 있으니 둘 다 육분의 몇으로 바꿉니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.A.1 단계 4

합을 셋으로 나누기

바깥 평균은 그 합을 $3$ 으로 나눕니다.
$3$ 으로 나누는 것은 $\tfrac{1}{3}$ 을 곱하는 것과 같고, 이는 분모에 $3$ 을 곱하는 것입니다.

$$\{\tfrac{2}{3}\ \tfrac{1}{2}\ 0\} = \dfrac{7/6}{3} = \dfrac{7}{6} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{18} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 분수를 세 몫으로 똑같이 쪼개면 전체를 자른 조각 수가 세 배가 되어 분모가 $6$ 에서 $18$ 로 커집니다.

[1] #7 6.SP.B.5 가장 안쪽 묶음 $\{1\ 1\ 0\}$ 부터 시작합니다. 이것은 $1$, $1$, $0$ 의 평균이에요: 모두 더한 뒤 $3$ 으로 나눕니다.

[2] #7 6.SP.B.5 다음으로 $[0\ 1]$, 즉 두 수 $0$ 과 $1$ 의 평균을 구합니다: 더한 뒤 $2$ 로 나눕니다.

[3] #7 5.NF.A.1 이제 바깥 식은 $\{\tfrac{2}{3}\ \tfrac{1}{2}\ 0\}$ 입니다. 먼저 세 수를 더합니다. $\tfrac{2}{3}$ 과

[4] #7 6.NS.A.1 바깥 평균은 그 합을 $3$ 으로 나눕니다. $3$ 으로 나누는 것은 $\tfrac{1}{3}$ 을 곱하는 것과 같고, 이는 분모에 $3$ 을

검토

합리성 확인: 바깥 세 수는 $\tfrac{2}{3}\approx 0.67$, $\tfrac{1}{2}=0.5$, $0$ 이므로 그 평균은 $0$ 과 $\tfrac{2}{3}$ 사이, 중간값 근처에 있어야 합니다. $\tfrac{7}{18}\approx 0.39$ 가 이 범위에 딱 맞습니다. 보기 (E) $\tfrac{2}{3}$ 은 너무 크고(그건 평균이 아니라 입력 하나예요), (A) $\tfrac{2}{9}\approx 0.22$ 는 너무 작으므로 (D) 가 일관된 답입니다.

대안 접근: 처음부터 모두 십팔분의 몇으로 바꿔도 됩니다: $\tfrac{2}{3}=\tfrac{12}{18}$, $\tfrac{1}{2}=\tfrac{9}{18}$, $0=\tfrac{0}{18}$. 합은 $\tfrac{21}{18}$ 이고 $3$ 으로 나누면 곧바로 $\tfrac{7}{18}$ 이 나옵니다 — 공통분모를 미리 잡은 같은 답이에요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 수치 자료를 관측 개수와 대푯값으로 요약하기 (각 괄호 기호를 평균으로 읽고 $\{1\ 1\ 0\}=\tfrac{2}{3}$, $[0\ 1]=\tfrac{1}{2}$ 을 합을 개수로 나누어 계산하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (바깥 세 값 $\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{2}+0$ 을 공통분모 $6$ 으로 바꿔 더해 $\tfrac{7}{6}$ 을 얻는 데 사용.)
6.NS.A.1 분수의 몫을 이해하고 계산하며 문장제 해결하기 (합 $\tfrac{7}{6}$ 을 $3$ 으로 나누어 바깥 평균 $\tfrac{7}{18}$ 을 완성하는 데 사용.)

⭐ 문제가 낯선 괄호를 만들어내면, 아는 단어로 번역하세요 — 여기서는 '평균'이에요 — 그런 다음 안쪽부터 바깥으로 작은 조각 하나씩 풀어 나가면 됩니다.