AMC 10 · 2011 · #4

학년 4 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

sequences-arithmetictelescoping-sum pattern-recognitioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

X와 Y를 다음과 같은 등차수열의 합이라고 하자.

\begin{eqnarray*}X &=& 10+12+14+\cdots+100,\ Y &=& 12+14+16+\cdots+102.\end{eqnarray*}

$Y - X?$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

102

(E)

112

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 짝수 목록을 각각 더한다: $X = 10+12+14+\cdots+100$ 과 $Y = 12+14+16+\cdots+102$. 두 번째 합이 첫 번째 합보다 얼마나 큰지, 즉 $Y-X$ 를 구하라.

주어진 것: $X$ 는 $10$ 부터 $100$ 까지의 짝수를 더한다: $X = 10+12+14+\cdots+100$; $Y$ 는 $12$ 부터 $102$ 까지의 짝수를 더한다: $Y = 12+14+16+\cdots+102$; 선택지: (A) $92$, (B) $98$, (C) $100$, (D) $102$, (E) $112$

구하는 것: 차 $Y-X$ 의 값

이해

문제 재정리: 두 짝수 목록을 각각 더한다: $X = 10+12+14+\cdots+100$ 과 $Y = 12+14+16+\cdots+102$. 두 번째 합이 첫 번째 합보다 얼마나 큰지, 즉 $Y-X$ 를 구하라.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

$46$ 개의 수를 두 번 더하는 것은 느리고 실수하기 쉽다. 도구 #5 (패턴 찾기) 는 진짜 구조를 본다: $Y$ 의 각 수는 $X$ 의 짝이 되는 수보다 정확히 $2$ 만큼 크다. 그래서 전체 차이는 (항의 개수) 곱하기 $2$ 일 뿐이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 은 항의 개수를 세는 보조 작업을 맡는다. 도구 #16 (관점 바꾸기) 은 두 합을 나란히 놓고 공통 부분을 지워 빠르게 검산한다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

두 목록을 항끼리 짝짓기

두 합의 항이 맞물리도록 적는다: $X = 10,12,14,\dots,100$ 과 $Y = 12,14,16,\dots,102$.
$X$ 의 첫째 항과 $Y$ 의 첫째 항을, 둘째와 둘째를, 이런 식으로 짝짓는다.
$Y$ 의 모든 항은 짝이 되는 $X$ 의 항보다 정확히 $2$ 만큼 크다: $12-10=2$, $14-12=2$, $16-14=2$, 계속 이렇게 된다.

$$12-10 = 2,\quad 14-12 = 2,\quad 16-14 = 2,\ \dots$$

💡 두 목록이 같은 간격으로 커지므로, 시작점을 한 칸 옮기면 짝지은 모든 수가 정확히 그 간격만큼 차이 난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

항이 몇 개인지 세기

$X$ 는 $10$ 부터 $100$ 까지의 짝수를 나열한다.
개수를 세자: 폭은 $100-10 = 90$, 간격으로 나누면 $90 \div 2 = 45$, 시작한 수를 위해 $1$ 을 더하면 $45+1 = 46$ 개다.
$Y$ 도 $46$ 개이므로 짝은 $46$ 쌍이다.

$$\dfrac{100-10}{2} + 1 = 45 + 1 = 46 \text{ 개}$$

💡 일정한 간격의 수를 셀 때는 양 끝 사이에 간격이 몇 번 들어가는지 보고, 시작한 수를 위해 하나를 더한다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.5 단계 3

차이를 모두 더하기

$46$ 쌍이 각각 $2$ 만큼 차이 나고, $Y-X$ 는 이 작은 차이들의 총합일 뿐이다.
따라서 $Y-X = 46 \times 2 = 92$.
이것은 선택지 (A) 와 같다.

$$Y-X = 46 \times 2 = 92 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 모든 쌍이 같은 만큼 앞서 있으면, 목록 전체는 그 만큼 곱하기 쌍의 개수만큼 앞서 있다.

[1] #5 4.OA.C.5 두 합의 항이 맞물리도록 적는다: $X = 10,12,14,\dots,100$ 과 $Y = 12,14,16,\dots,102$. $X$ 의 첫째

[2] #7 4.OA.A.3 $X$ 는 $10$ 부터 $100$ 까지의 짝수를 나열한다. 개수를 세자: 폭은 $100-10 = 90$, 간격으로 나누면 $90 \div 2

[3] #5 4.NBT.B.5 $46$ 쌍이 각각 $2$ 만큼 차이 나고, $Y-X$ 는 이 작은 차이들의 총합일 뿐이다. 따라서 $Y-X = 46 \times 2 = 92$

검토

합리성 확인: 두 목록은 양 끝만 다르고 거의 같으므로, 차이는 두 합에 비해 작아야 한다. 항마다 $2$ 씩 벌어진 것이 $46$ 항에 걸쳐 쌓이면 $92$ 가 되고, 이는 선택지 (A) 다. 더 큰 선택지들 ($98, 100, 102, 112$) 은 항마다 $2$ 보다 큰 차이나 $46$ 개보다 많은 항이 필요한데, 둘 다 사실이 아니다.

대안 접근: 두 합을 나란히 놓고 지우자 (관점 바꾸기, 도구 #16): $12+14+\cdots+100$ 덩어리는 $X$ 와 $Y$ 양쪽에 다 있으므로 $Y-X$ 에서 지워진다. 남는 것은 $Y$ 에만 있는 $102$ 에서 $X$ 에만 있는 $10$ 을 뺀 것이다: $Y-X = 102-10 = 92$, (A) 를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule ($Y$ 의 각 항이 $X$ 의 짝이 되는 항보다 $2$ 만큼 크다는 것을 알아채기.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ($(100-10) \div 2 + 1 = 46$ 으로 항의 개수 세기.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (쌍마다의 차이를 합산하려고 $46 \times 2 = 92$ 계산하기.)

⭐ 두 목록이 옆으로 밀린 것만 빼면 똑같을 때는 더하지 말고, 각 수가 얼마나 움직였는지에 수의 개수를 곱하면 된다.