AMC 10 · 2011 · #5

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

weighted-averageratio-proportionmean-median-mode-range convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 초등학교에서 $3$ 학년, $4$ 학년, $5$ 학년 학생들이 하루에 각각 평균 $12$ 분, $15$ 분, $10$ 분씩 달린다. $3$ 학년 학생 수는 $4$ 학년 학생 수의 두 배이고, $4$ 학년 학생 수는 $5$ 학년 학생 수의 두 배이다. 이 학생들이 하루에 달리는 평균 시간은 몇 분인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{37}{3}$

(C)

$\frac{88}{7}$

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 3학년, 4학년, 5학년 학생들이 하루에 각각 평균 12분, 15분, 10분씩 달린다. 3학년은 4학년의 두 배이고, 4학년은 5학년의 두 배이다. 이 학생들 전체가 하루에 달리는 평균 시간을 구하여라.

주어진 것: 3학년은 하루 평균 12분 달림; 4학년은 하루 평균 15분 달림; 5학년은 하루 평균 10분 달림; 3학년 수 = 2 \times 4학년 수; 4학년 수 = 2 \times 5학년 수

구하는 것: 전체 학생이 하루에 달리는 평균 시간(분)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #8 단위 살펴보기

세 그룹의 인원수가 다르므로 12, 15, 10을 그냥 평균 내면 안 된다. 5학년 수를 하나의 변수로 두면 나머지 그룹의 인원수를 모두 그 변수로 나타낼 수 있다. 그리고 그 변수는 약분되어 사라지므로, 5학년이 딱 한 명 있다고 생각하고 계산을 가볍게 해도 된다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

각 그룹의 인원수 정하기

5학년 수를 f라고 하자.
4학년은 5학년의 두 배이므로 4학년은 2f명이다.
3학년은 4학년의 두 배이므로 3학년은 2 \times 2f = 4f명이다.

\text{5학년} = f,\quad \text{4학년} = 2f,\quad \text{3학년} = 4f

💡 가장 작은 그룹을 변수 하나로 두면, 비례 관계를 따라 나머지 인원수가 모두 그로부터 만들어진다.

#8 단위 살펴보기 6.SP.B.5 단계 2

전체 평균 식 세우기

전체 평균은 모두가 달린 총 시간을 총 학생 수로 나눈 값이다.
각 그룹은 (인원수) \times (평균 시간)만큼 기여하므로, 총 시간 = 4f \times 12 + 2f \times 15 + f \times 10이고, 총 학생 수 = 4f + 2f + f이다.

\text{평균} = \dfrac{4f \times 12 + 2f \times 15 + f \times 10}{4f + 2f + f}

💡 섞인 것의 평균은 세 그룹의 평균을 다시 평균 내는 게 아니라, 모든 시간과 모든 사람을 한데 모아 나누는 것이다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.5 단계 3

총합 계산하기

각 그룹의 인원수에 평균을 곱해 더한다: 4f \times 12 = 48f, 2f \times 15 = 30f, f \times 10 = 10f이므로 총 시간은 88f이다.
학생 수는 4f + 2f + f = 7f이다.

$$48f + 30f + 10f = 88f,\qquad 4f + 2f + f = 7f$$

💡 각 평균에 그 그룹의 인원수만큼 가중치를 주는 것은, 그룹마다 인원수 곱하기 시간을 구해 더하는 것과 같다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.3 단계 4

나누고 f 약분하기

평균은 \dfrac{88f}{7f}이다.
분자와 분모의 f가 약분되므로, 답은 실제 학생 수가 몇 명인지에 상관없다.
이는 5학년이 정확히 한 명(f = 1) 있다고 생각하는 것과 같다.
평균은 \dfrac{88}{7}이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$\dfrac{88f}{7f} = \dfrac{88}{7}$$

💡 분자와 분모가 같은 f에 비례하므로 그 비는 고정되고, 따라서 실제 인원수는 상관이 없다.

[1] #4 6.RP.A.3 5학년 수를 f라고 하자. 4학년은 5학년의 두 배이므로 4학년은 2f명이다. 3학년은 4학년의 두 배이므로 3학년은 2 \times 2f =

[2] #8 6.SP.B.5 전체 평균은 모두가 달린 총 시간을 총 학생 수로 나눈 값이다. 각 그룹은 (인원수) \times (평균 시간)만큼 기여하므로, 총 시간 = 4

[3] #8 5.NBT.B.5 각 그룹의 인원수에 평균을 곱해 더한다: 4f \times 12 = 48f, 2f \times 15 = 30f, f \times 10 = 10f

[4] #9 5.NF.B.3 평균은 \dfrac{88f}{7f}이다. 분자와 분모의 f가 약분되므로, 답은 실제 학생 수가 몇 명인지에 상관없다. 이는 5학년이 정확히 한

검토

합리성 확인: 전체 평균 \frac{88}{7} \approx 12.57은 가장 작은 그룹 평균(10)과 가장 큰 그룹 평균(15) 사이에 있는데, 참된 평균은 반드시 그래야 한다. 인원이 가장 많은 그룹(3학년, 4f명)이 12분을 달리므로 평균이 12 쪽으로 당겨진다. 이는 선택지 (C)와 맞고, 정확히 12(A)나 13 이상(D, E)을 배제한다.

대안 접근: 변수 대신 비례에 맞는 가장 작은 자연수 인원을 쓴다: 5학년 1명, 4학년 2명, 3학년 4명. 그러면 총 시간 = 4(12) + 2(15) + 1(10) = 88분을 7명으로 나누어 곧바로 \frac{88}{7}이 된다. 이것이 '5학년 한 명이라고 가정하기' 지름길이며, 같은 값에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ('두 배'라는 조건을 f, 2f, 4f라는 그룹 인원수로 바꾸기)
6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (전체(가중) 평균을 총 시간 나누기 총 학생 수로 세우기)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (각 그룹의 총 시간을 계산하고 더해 88f 대 7f로 만들기)
5.NF.B.3 Interpret a fraction as division of the numerator by the denominator (f가 약분된 뒤 88f 나누기 7f를 분수 88/7로 읽기)

⭐ 크기가 다른 그룹의 평균을 낼 때는 세 평균이 아니라, 모두의 시간을 더해서 모두의 인원수로 나눈다.