AMC 10 · 2011 · #5
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AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 그룹의 인원수가 다르므로 12, 15, 10을 그냥 평균 내면 안 된다. 5학년 수를 하나의 변수로 두면 나머지 그룹의 인원수를 모두 그 변수로 나타낼 수 있다. 그리고 그 변수는 약분되어 사라지므로, 5학년이 딱 한 명 있다고 생각하고 계산을 가볍게 해도 된다.
각 그룹의 인원수 정하기
5학년을 f명이라 하면 4학년은 2f명, 3학년은 4f명이다.
가장 작은 그룹을 변수 하나로 두면, 비례 관계를 따라 나머지 인원수가 모두 그로부터 만들어진다.
6.RP.A.3Introduce A Variable전체 평균 식 세우기
총 시간은 (인원수)×(평균)의 합인 4f×12 + 2f×15 + f×10, 학생 수는 4f + 2f + f이다.
섞인 것의 평균은 세 그룹의 평균을 다시 평균 내는 게 아니라, 모든 시간과 모든 사람을 한데 모아 나누는 것이다.
섞인 것의 평균은 모든 시간과 모든 사람을 한데 모으는 것이지, 세 평균을 다시 평균 내는 것이 아니다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 두 총합을 먼저 다시 세워야 한다.
▸ 왜?
무리가 클수록 총합을 더 많이 짊어지므로, 각 평균은 그 무리의 크기만큼 무겁게 세어진다.
총합 계산하기
더하면 48f + 30f + 10f = 88f분, 학생 수는 4f + 2f + f = 7f명이다.
각 평균에 그 그룹의 인원수만큼 가중치를 주는 것은, 그룹마다 인원수 곱하기 시간을 구해 더하는 것과 같다.
5.NBT.B.5Analyze The Units나누고 f 약분하기
88f/7f에서 f가 약분되므로 인원수와 무관하게 평균은 88/7, 즉 (C)이다.
분자와 분모가 같은 f에 비례하므로 그 비는 고정되고, 따라서 실제 인원수는 상관이 없다.
5.NF.B.3Solve An Easier Related Problem크기가 다른 그룹의 평균을 낼 때는 세 평균이 아니라, 모두의 시간을 더해서 모두의 인원수로 나눈다.
- 각 그룹의 인원수 정하기
- 전체 평균 식 세우기
- 총합 계산하기
- 나누고 f 약분하기