AMC 10 · 2011 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitionoptimizationprinciple-of-inclusion-exclusion extremal-construction ↑ 선수 지식: set-partition

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문제

집합 $A$ 는 원소가 $20$ 개이고, 집합 $B$ 는 원소가 $15$ 개이다. $A \cup B$ 의 원소 개수로 가능한 최솟값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

300

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 집합 $A$의 원소는 $20$개, 집합 $B$의 원소는 $15$개이다. 두 집합을 잘 배치해서 합집합 $A \cup B$의 원소 개수를 가능한 한 작게 만들 때, 그 최소 개수를 구하여라.

주어진 것: $|A| = 20$ (집합 $A$의 원소는 $20$개); $|B| = 15$ (집합 $B$의 원소는 $15$개); 두 집합이 서로 떨어져 있어야 한다는 조건은 없다 — 원소를 공유해도 된다; 선택지: (A) $5$, (B) $15$, (C) $20$, (D) $35$, (E) $300$

구하는 것: $|A \cup B|$가 가질 수 있는 가장 작은 값

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

합집합을 '가장 작게' 만들라는 질문은 최소/최대를 묻는 문제이고, 이것이 바로 도구 #14 극단의 원리가 쓰이는 상황이다. 모든 배치를 하나씩 시도하는 대신, 극단으로 곧장 간다. 합집합을 줄이는 유일한 방법은 원소를 공유하는 것뿐이므로 겹치는 부분을 최대로 밀어붙인다. 벤 다이어그램(도구 #12)을 그리면 그 극단이 한눈에 보인다 — $B$의 원을 $A$의 원 안으로 완전히 밀어 넣어 밖으로 삐져나오지 않게 한다. 그다음은 세기만 하면 된다.

실행 — 정답: C

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 1

겹침을 최대로 노리기

합집합은 $A$에 있거나 $B$에 있거나 둘 다에 있는 원소를 모두 세되, 각 원소는 한 번만 센다.
개수가 커지지 않게 막아 주는 것은 오직 공유된 원소뿐이다.
그러므로 $A \cup B$를 최대한 작게 만들려면 교집합 $A \cap B$를 최대한 크게 만들어야 한다.
이것이 확인해 볼 극단의 경우이다.

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 이므로, $|A \cap B|$가 클수록 합집합은 작아진다.

💡 겹침은 합집합에 주어지는 유일한 할인이니, 가장 큰 할인을 잡아라.

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 2

B를 A 안으로 밀어 넣기

겹침은 얼마나 커질 수 있을까?
$B$의 원소는 $15$개뿐이므로 공유되는 원소는 많아야 $15$개이다.
극단의 배치는 $B$의 원소 $15$개가 모두 $A$에도 속하게 하는 것 — 즉 $B$의 원을 $A$의 원 안에 완전히 그려 넣는 것이다.
그러면 $B$는 새 원소를 하나도 더하지 않고, $B$의 모든 원소는 이미 $A$에서 세어졌다.

$$B \subseteq A \;\Rightarrow\; A \cap B = B \;\Rightarrow\; |A \cap B| = 15$$

💡 작은 원이 큰 원 안에 통째로 들어가면, 합집합 그림은 그냥 큰 원 하나이다.

#14 극단의 원리 2.NBT.B.5 단계 3

합집합 세기

$B$가 $A$ 안에 들어가 있으면 합집합은 그냥 $A$ 전체이다.
세기 공식으로 확인해 보자.
두 집합의 크기를 더하고 겹침을 뺀다.
두 방법 모두 같은 수를 주며, 그것은 선택지 (C)와 일치한다.

$$|A \cup B| = 20 + 15 - 15 = 20 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 작은 집합이 새로 더하는 것이 없으면, 합집합은 정확히 큰 집합의 크기이다.

[1] #14 4.OA.A.3 합집합은 $A$에 있거나 $B$에 있거나 둘 다에 있는 원소를 모두 세되, 각 원소는 한 번만 센다. 개수가 커지지 않게 막아 주는 것은 오직

[2] #12 4.OA.A.3 겹침은 얼마나 커질 수 있을까? $B$의 원소는 $15$개뿐이므로 공유되는 원소는 많아야 $15$개이다. 극단의 배치는 $B$의 원소 $15$개

[3] #14 2.NBT.B.5 $B$가 $A$ 안에 들어가 있으면 합집합은 그냥 $A$ 전체이다. 세기 공식으로 확인해 보자. 두 집합의 크기를 더하고 겹침을 뺀다. 두 방법

검토

합리성 확인: 합집합은 적어도 $20$이어야 한다. $A$의 원소 $20$개가 항상 그 안에 들어 있기 때문이다 — 그래서 (A) $5$와 (B) $15$는 너무 작아 제외된다. 두 집합이 완전히 떨어져 있을 때 합집합은 최대 $20 + 15 = 35$가 되는데, 이것이 선택지 (D)로 가장 '큰' 합집합이지 가장 작은 것이 아니다. 따라서 최소는 그 범위의 맨 아래인 $20$이고, (E) $300$은 어떤 경우에도 불가능하다. 선택지 (C) $20$만이 맞아떨어진다.

대안 접근: 극단 하나 대신 범위 전체를 생각해도 된다. 합집합은 항상 $\max(|A|,|B|) \le |A \cup B| \le |A| + |B|$, 즉 $20 \le |A \cup B| \le 35$를 만족한다. 허용되는 가장 작은 값은 왼쪽 끝인 $\max(20,15) = 20$이므로 곧바로 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (겹침이 합집합을 줄이는 유일한 방법이며, 공유되는 부분은 작은 집합의 크기($15$)를 넘을 수 없음을 추론하는 데 사용.)
2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (최대 겹침이 정해진 뒤 합집합 크기 $20 + 15 - 15 = 20$을 계산하는 데 사용.)

⭐ 합집합은 두 집합이 가장 많이 겹칠 때 가장 작아지므로, 가능한 최소 합집합은 그냥 더 큰 집합의 크기이다.