AMC 10 · 2011 · #7

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

absolute-valuesign-analysissigned-square-root logical-deduction ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

다음 방정식 중 해가 존재하지 않는 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$(x+7)^2=0$

(B)

|-3x|+5=0

(C)

$\sqrt{-x}-2=0$

(D)

$\sqrt{x}-8=0$

(E)

|-3x|-4=0

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 방정식이 있습니다. 어떤 실수 $x$ 를 넣어도 참이 될 수 없는 방정식 하나를 찾으세요.

주어진 것: (A) $(x+7)^2=0$; (B) $|-3x|+5=0$; (C) $\sqrt{-x}-2=0$; (D) $\sqrt{x}-8=0$; (E) $|-3x|-4=0$

구하는 것: 해가 없는 방정식 — 만족시키는 $x$ 값이 하나도 없는 방정식은 어느 것인가

이해

문제 재정리: 다섯 개의 방정식이 있습니다. 어떤 실수 $x$ 를 넣어도 참이 될 수 없는 방정식 하나를 찾으세요.

주어진 것: (A) $(x+7)^2=0$; (B) $|-3x|+5=0$; (C) $\sqrt{-x}-2=0$; (D) $\sqrt{x}-8=0$; (E) $|-3x|-4=0$

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #14 극단의 원리

선택지가 다섯 개뿐이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 잘 맞습니다: 각 방정식을 풀어 보고, 실수 $x$ 가 나오는 방정식은 지웁니다. 끝까지 남는 것이 답입니다. 도구 #14(극단의 원리)가 확인을 더 날카롭게 해 줍니다 — 추측 대신, 각 방정식의 좌변이 가질 수 있는 가장 작은 값과 비교합니다. 제곱, 제곱근, 절댓값은 모두 $0$ 이 바닥이므로, 이 중 하나를 음수와 같게 만들라고 요구하는 방정식은 즉시 불가능합니다.

실행 — 정답: B

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 1

방정식이 풀리는 조건 정하기

방정식에 해가 있다는 것은 어떤 실수 $x$ 가 좌변과 우변을 같게 만든다는 뜻입니다.
그래서 계획은 간단합니다: 각 선택지를 풀어 봅니다.
맞는 실수 $x$ 를 찾는 순간 그 선택지는 안전하므로 지웁니다.
끝내 만족시킬 수 없는 선택지가 답입니다.

$$\text{해가 존재} \iff \text{어떤 실수 } x \text{ 가 양변을 같게 만듦}$$

💡 방정식을 푼다는 것은 결국 "맞는 수가 있는가?"를 묻는 것이며, 맞는 수가 하나도 없으면 해가 없습니다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 2

제곱과 제곱근 선택지 풀기

(A): $(x+7)^2=0$ 은 안이 $0$ 이어야 하므로 $x=-7$ 이 됩니다.
(D): $\sqrt{x}=8$ 이면 $x=64$.
(C): $\sqrt{-x}=2$ 이면 $-x=4$, 즉 $x=-4$.
각각 실수 $x$ 가 나오므로 (A), (C), (D)는 모두 해가 있고 지워집니다.

$$(x+7)^2=0\Rightarrow x=-7;\quad \sqrt{x}=8\Rightarrow x=64;\quad \sqrt{-x}=2\Rightarrow x=-4$$

💡 음이 아닌 수와 같게 놓인 제곱근이나 제곱은 언제나 되돌려 $x$ 를 찾을 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 3

나머지 절댓값 선택지 풀기

(E): $|-3x|-4=0$ 은 $|-3x|=4$ 를 뜻합니다.
$4$ 는 양수이므로 도달 가능합니다: $-3x=4$ 또는 $-3x=-4$, 즉 $x=-\tfrac{4}{3}$ 또는 $x=\tfrac{4}{3}$.
그래서 (E)도 해가 있고 지워집니다.

$$|-3x|=4\Rightarrow -3x=\pm 4\Rightarrow x=\mp\tfrac{4}{3}$$

💡 절댓값은 음이 아닌 어떤 수와도 같아질 수 있으므로, 양수와 같게 놓으면 항상 답이 있습니다.

#14 극단의 원리 6.NS.C.7 단계 4

마지막 선택지를 가장 작은 값과 견주기

이제 (B)만 남았습니다: $|-3x|+5=0$ 은 $|-3x|=-5$ 로 정리됩니다.
그런데 절댓값은 절대 음수가 되지 않으며 — 가장 작은 값이 $0$ 입니다 — 따라서 $|-3x|+5$ 는 항상 $5$ 이상이라 $0$ 에 도달할 수 없습니다.
어떤 $x$ 도 맞지 않습니다.
(A), (C), (D), (E)가 모두 해를 가졌으므로 해가 없는 방정식은 (B)입니다.

$$|-3x|\ge 0\Rightarrow |-3x|+5\ge 5>0\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 어떤 양이 가질 수 있는 가장 작은 값이 이미 $0$ 보다 크다면, 그 양은 결코 $0$ 이 될 수 없습니다.

[1] #3 6.EE.B.5 방정식에 해가 있다는 것은 어떤 실수 $x$ 가 좌변과 우변을 같게 만든다는 뜻입니다. 그래서 계획은 간단합니다: 각 선택지를 풀어 봅니다. 맞

[2] #3 8.EE.A.2 (A): $(x+7)^2=0$ 은 안이 $0$ 이어야 하므로 $x=-7$ 이 됩니다. (D): $\sqrt{x}=8$ 이면 $x=64$. (C)

[3] #3 6.NS.C.7 (E): $|-3x|-4=0$ 은 $|-3x|=4$ 를 뜻합니다. $4$ 는 양수이므로 도달 가능합니다: $-3x=4$ 또는 $-3x=-4$,

[4] #14 6.NS.C.7 이제 (B)만 남았습니다: $|-3x|+5=0$ 은 $|-3x|=-5$ 로 정리됩니다. 그런데 절댓값은 절대 음수가 되지 않으며 — 가장 작은

검토

합리성 확인: 지워진 네 선택지는 각각 구체적인 $x$ ($-7$, $64$, $-4$, $\pm\tfrac43$)를 냈으므로 실제로 해가 있습니다. (B)는 계산 실수가 아니라 구조적인 이유로 실패합니다: 이미 $\ge 0$ 인 값에 $5$ 를 더하면 결코 $0$ 에 닿을 수 없습니다. (E)와의 대비가 핵심입니다 — $|-3x|=4$ (양수)는 되지만 $|-3x|=-5$ (음수)는 불가능합니다. 이로써 (B)가 유일하게 해가 없는 방정식임이 확인됩니다.

대안 접근: 대수 계산을 건너뛰고 각 음이 아닌 식이 요구받는 값만 읽어 봅니다. (A) 제곱 $=0$: 가능. (C),(D) 제곱근 $=2$, $=8$: 가능. (E) 절댓값 $=4$: 가능. (B) 절댓값 $=-5$: 불가능, 절댓값은 절대 음수가 될 수 없기 때문입니다. 오직 (B)만 음수가 될 수 없는 식에 음수 값을 요구하므로 답은 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 푸는 것을 값을 찾는 과정으로 이해한다 ("해가 없다"를 어떤 실수 $x$ 도 양변을 같게 만들 수 없다는 뜻으로 규정하여 소거 전략을 세우는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호를 사용하여 해를 나타낸다 (제곱과 제곱근 선택지 (A) $x=-7$, (C) $x=-4$, (D) $x=64$ 를 풀어 해가 있음을 확인하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값을 이해한다 ((E) $|-3x|=4$ 를 풀고, $|-3x|\ge 0$ 이므로 $|-3x|+5=0$ 이 불가능함을 인식하는 데 사용.)

⭐ 절댓값은 절대 음수가 될 수 없으므로, 절댓값을 0보다 아래로 강요하는 방정식은 해가 없습니다.