AMC 10 · 2011 · #7

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
absolute-valuesign-analysissigned-square-root logical-deduction ↑ 선수 지식: absolute-value
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
미지수 x 에 대한 방정식 다섯 개가 아래에 있고, 그중 정확히 하나만 해가 없습니다 — 어떤 실수 x 를 넣어도 참이 될 수 없는 방정식을 찾으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$(x+7)^2=0$
(B)
|-3x|+5=0
(C)
$\sqrt{-x}-2=0$
(D)
$\sqrt{x}-8=0$
(E)
|-3x|-4=0

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 가능성 지우기

선택지가 다섯 개뿐이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 잘 맞습니다: 각 방정식을 풀어 보고, 실수 x 가 나오는 방정식은 지웁니다. 끝까지 남는 것이 답입니다. 도구 #14(극단의 원리)가 확인을 더 날카롭게 해 줍니다 — 추측 대신, 각 방정식의 좌변이 가질 수 있는 가장 작은 값과 비교합니다. 제곱, 제곱근, 절댓값은 모두 0이 바닥이므로, 이 중 하나를 음수와 같게 만들라고 요구하는 방정식은 즉시 불가능합니다.

1STEP 1

방정식이 풀리는 조건 정하기

어떤 실수 x 가 양변을 같게 만들면 해가 있는 것이니, 각 선택지를 풀어 그런 x 가 나오면 지웁니다.

해가 존재 ⇔ 어떤 실수 x 가 양변을 같게 만듦
2STEP 2

제곱과 제곱근 선택지 풀기

(x+7)2=0(x+7)^2=0 은 x=−7x=-7, x=8\sqrt{x}=8 은 x=64x=64, −x=2\sqrt{-x}=2 는 x=−4x=-4 이므로 (A), (C), (D)는 지워집니다.

(x+7)²=0→ x=-7; √(x)=8→ x=64; √(-x)=2→ x=-4
3STEP 3

나머지 절댓값 선택지 풀기

(E)는 ∣−3x∣=4|-3x|=4 를 요구하는데 4는 양수이므로 x=43x=\frac{4}{3} 또는 x=−43x=-\frac{4}{3} — (E)도 지워집니다.

|-3x|=4→ -3x=± 4→ x=∓4/3
4STEP 4

마지막 선택지를 가장 작은 값과 견주기

남은 (B)는 ∣−3x∣=−5|-3x|=-5 를 요구하지만 절댓값은 음수가 못 되므로 (B)에는 해가 없습니다.

|-3x| ≥ 0→ |-3x|+5 ≥ 5 ＞ 0 → (B)
정답
|-3x|+5=0
지워진 네 선택지는 각각 구체적인 x (-7, 64, -4, ±4/3)를 냈으므로 실제로 해가 있습니다. (B)는 계산 실수가 아니라 구조적인 이유로 실패합니다: 이미 ≥ 0 인 값에 5를 더하면 결코 0에 닿을 수 없습니다. (E)와의 대비가 핵심입니다 — |-3x|=4 (양수)는 되지만 |-3x|=-5 (음수)는 불가능합니다. 이로써 (B)가 유일하게 해가 없는 방정식임이 확인됩니다.
💡핵심 정리

절댓값은 절대 음수가 될 수 없으므로, 절댓값을 0보다 아래로 강요하는 방정식은 해가 없습니다.

  • 방정식이 풀리는 조건 정하기
  • 제곱과 제곱근 선택지 풀기
  • 나머지 절댓값 선택지 풀기
  • 마지막 선택지를 가장 작은 값과 견주기

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