AMC 10 · 2011 · #15

학년 6 arithmetic

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function-evaluationformula-substitutionlogical-deduction casework ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

새로운 연산 @ 는 "평균 내기"를 뜻한다: 모든 수 a, b 에 대해

a @ b = \frac{a+b}{2}

이다. 분배법칙 후보 세 개가 주어진다: I.

x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)

; II.

x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)

; III.

x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)

. 모든 수 x, y, z 에 대해 성립하는 것이 어느 것인지 판별하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

I only

(B)

II only

(C)

III only

(D)

I and III only

(E)

II and III only

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

기호 @ 는 약속일 뿐이므로, Tool #13 (대수로 바꾸기)으로 모든 @ 를 정의 (a+b)/2로 바꾸면 각 법칙이 평범한 대수식이 된다. Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)로 세 법칙을 각각 따로 검사한다. 법칙마다 양변을 정리해 같은 식이 되는지 비교하고, Tool #3 (가능성 지우기)으로 양변이 다른 법칙을 지워 참인 것만 남긴다.

1STEP 1

연산을 다시 쓰기

@ 를 정의 $a @ b = \frac{a+b}{2}$ 로 바꾼 뒤, 각 법칙의 양변을 하나의 분수로 정리해 비교한다.

a @ b = (a+b)/2

2STEP 2

법칙 I 검사

법칙 I: 좌변은 $\frac{x+y+z}{2}$ , 우변은 $\frac{2x+y+z}{2}$ — x 가 하나 더 붙으므로 탈락.

(x+y+z)/2 ≠ (2x+y+z)/2

3STEP 3

법칙 II 검사

법칙 II: $x + \frac{y+z}{2}$ 와 $\frac{(x+y)+(x+z)}{2}$ 가 모두 $\frac{2x+y+z}{2}$ 로 정리되므로 성립.

(2x+y+z)/2 = (2x+y+z)/2

4STEP 4

법칙 III 검사

법칙 III: 어느 쪽으로 평균을 겹쳐도 양변이 $\frac{2x+y+z}{4}$ 로 같아지므로 성립.

(2x+y+z)/4 = (2x+y+z)/4

5STEP 5

살아남은 법칙 모으기

법칙 I 을 지우면 양변이 일치한 두 법칙만 남고, 이는 선택지 (E) 이다.

I: 탈락, II: 성립, III: 성립 → (E)

정답

II와 III만

쉬운 수를 넣어 확인한다. x=2, y=4, z=6으로 잡자. 법칙 I: 2 @ 10 = 6 이지만 (2@4)+(2@6)=3+4=7 — 다르므로 I 은 정말 탈락. 법칙 II: 2 + (4@6) = 2+5 = 7이고 (2+4)@(2+6)=6@8=7 — 같음. 법칙 III: 2 @ (4@6) = 2@5 = 3.5이고 (2@4)@(2@6)=3@4=3.5 — 같음. 수치가 대수 결과와 일치한다: II 와 III 만 성립하므로 (E) 가 맞다.

💡핵심 정리

낯선 기호가 나오면 정의로 바꿔 정리하라 — 양변이 완전히 같은 식이 되는 법칙만 참이다.

연산을 다시 쓰기
법칙 I 검사
법칙 II 검사
법칙 III 검사
살아남은 법칙 모으기

연산을 다시 쓰기

법칙 I 검사

법칙 II 검사

법칙 III 검사

살아남은 법칙 모으기

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