AMC 10 · 2011 · #15
학년 6 arithmetic@를 "평균 연산"이라고 하자: a@b=2a+b. 다음 분배 법칙 중 모든 수 x,y, 그리고 z에 대해 성립하는 것은 무엇인가? I. x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z) II. x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z) III. x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)
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AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 새로운 연산 $@$ 는 "평균 내기"를 뜻한다: $a @ b = \dfrac{a+b}{2}$. 세 개의 분배법칙 후보가 주어졌을 때, 모든 수 $x$, $y$, $z$ 에 대해 성립하는 것이 어느 것인지 판별하라.
주어진 것: 모든 수 $a$, $b$ 에 대해 $a @ b = \dfrac{a+b}{2}$; 법칙 I: $x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)$; 법칙 II: $x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)$; 법칙 III: $x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)$; 선택지는 $\{\text{I}, \text{II}, \text{III}\}$ 의 부분집합을 가리킨다
구하는 것: 모든 수 $x$, $y$, $z$ 에 대해 참인 법칙이 어느 것인지
이해
문제 재정리: 새로운 연산 $@$ 는 "평균 내기"를 뜻한다: $a @ b = \dfrac{a+b}{2}$. 세 개의 분배법칙 후보가 주어졌을 때, 모든 수 $x$, $y$, $z$ 에 대해 성립하는 것이 어느 것인지 판별하라.
주어진 것: 모든 수 $a$, $b$ 에 대해 $a @ b = \dfrac{a+b}{2}$; 법칙 I: $x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)$; 법칙 II: $x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)$; 법칙 III: $x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)$; 선택지는 $\{\text{I}, \text{II}, \text{III}\}$ 의 부분집합을 가리킨다
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
기호 $@$ 는 약속일 뿐이므로, Tool #13 (대수로 바꾸기)으로 모든 $@$ 를 정의 $\dfrac{a+b}{2}$ 로 바꾸면 각 법칙이 평범한 대수식이 된다. Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)로 세 법칙을 각각 따로 검사한다. 법칙마다 양변을 정리해 같은 식이 되는지 비교하고, Tool #3 (가능성 지우기)으로 양변이 다른 법칙을 지워 참인 것만 남긴다.
실행 — 정답: E
6.EE.A.2 단계 1 연산을 다시 쓰기
- $@$ 가 보일 때마다 정의로 바꾼다: $a @ b$ 는 $\dfrac{a+b}{2}$ 가 된다.
- 어떤 법칙을 검사하려면 좌변과 우변을 각각 하나의 분수로 정리한 뒤 비교한다.
- $x$, $y$, $z$ 가 무엇이든 두 식이 같으면 법칙이 성립하고, 달라질 수 있으면 성립하지 않는다.
💡 새로 만든 기호에 마법은 없다 — 뜻으로 바꿔 놓으면 그냥 평범한 대수 문제가 된다.
6.EE.A.4 단계 2 법칙 I 검사
- 좌변: $x @ (y+z) = \dfrac{x + (y+z)}{2} = \dfrac{x+y+z}{2}$.
- 우변: $(x @ y) + (x @ z) = \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x+z}{2} = \dfrac{2x+y+z}{2}$.
- 두 분자는 $x+y+z$ 와 $2x+y+z$ 로, $x \neq 0$ 이면 서로 다르다.
- 따라서 법칙 I 은 성립하지 않는다.
💡 $x$ 를 평균에 한 번 넣는 것과 두 평균에 각각 나눠 넣는 것은 다르다 — 후자는 $x$ 가 한 번 더 끼어든다.
6.EE.A.3 단계 3 법칙 II 검사
- 좌변: $x + (y @ z) = x + \dfrac{y+z}{2} = \dfrac{2x + y + z}{2}$.
- 우변: $(x+y) @ (x+z) = \dfrac{(x+y) + (x+z)}{2} = \dfrac{2x+y+z}{2}$.
- 양변이 정확히 같은 분수로 정리되므로, 법칙 II 는 모든 $x$, $y$, $z$ 에서 성립한다.
💡 두 수에 먼저 $x$ 를 더한 뒤 평균 내면 평균이 딱 $x$ 만큼 올라간다 — 평균을 낸 뒤 $x$ 를 더하는 것과 같다.
6.EE.A.3 단계 4 법칙 III 검사
- 좌변: $x @ (y @ z) = x @ \dfrac{y+z}{2} = \dfrac{x + \frac{y+z}{2}}{2} = \dfrac{2x + y + z}{4}$.
- 우변: $(x @ y) @ (x @ z) = \dfrac{x+y}{2} @ \dfrac{x+z}{2} = \dfrac{\frac{x+y}{2} + \frac{x+z}{2}}{2} = \dfrac{2x+y+z}{4}$.
- 양변 모두 $\dfrac{2x+y+z}{4}$ 이므로 법칙 III 은 성립한다.
💡 평균을 펼쳐 놓으면 $x$, $y$, $z$ 에 대해 대칭이라, 어느 쪽으로 평균을 겹쳐도 결과가 같다.
6.EE.A.4 단계 5 살아남은 법칙 모으기
- 법칙 I 은 탈락했고, 법칙 II 와 III 은 각각 양변이 같은 식으로 정리되었다.
- 법칙 I 을 지우면 "II 와 III 만" 이 남으며, 이는 선택지 (E) 이다.
💡 양변이 진짜로 같은 식이 되는 법칙만 남기면, 정답이 바로 그것들을 가리킨다.
6.EE.A.2 $@$ 가 보일 때마다 정의로 바꾼다: $a @ b$ 는 $\dfrac{a+b}{2}$ 가 된다. 어떤 법칙을 검사하려면 좌변과 우변을 각각 하 6.EE.A.4 좌변: $x @ (y+z) = \dfrac{x + (y+z)}{2} = \dfrac{x+y+z}{2}$. 우변: $(x @ y) + (x @ z 6.EE.A.3 좌변: $x + (y @ z) = x + \dfrac{y+z}{2} = \dfrac{2x + y + z}{2}$. 우변: $(x+y) @ (x+ 6.EE.A.3 좌변: $x @ (y @ z) = x @ \dfrac{y+z}{2} = \dfrac{x + \frac{y+z}{2}}{2} = \dfrac{2x 6.EE.A.4 법칙 I 은 탈락했고, 법칙 II 와 III 은 각각 양변이 같은 식으로 정리되었다. 법칙 I 을 지우면 "II 와 III 만" 이 남으며, 이 검토
합리성 확인: 쉬운 수를 넣어 확인한다. $x=2$, $y=4$, $z=6$ 으로 잡자. 법칙 I: $2 @ 10 = 6$ 이지만 $(2@4)+(2@6)=3+4=7$ — 다르므로 I 은 정말 탈락. 법칙 II: $2 + (4@6) = 2+5 = 7$ 이고 $(2+4)@(2+6)=6@8=7$ — 같음. 법칙 III: $2 @ (4@6) = 2@5 = 3.5$ 이고 $(2@4)@(2@6)=3@4=3.5$ — 같음. 수치가 대수 결과와 일치한다: II 와 III 만 성립하므로 (E) 가 맞다.
대안 접근: 일반 대수를 생략하고 $x=2,\;y=4,\;z=6$ (또는 $x=1,\;y=0,\;z=0$) 처럼 서로 다른 값 하나로 곧장 대입해 볼 수도 있다. 각 법칙을 한 번씩만 확인해도 법칙 I 은 제거되고 II, III 은 살아남는다. 이 연산들이 모두 일차식이라 양변을 갈라놓는 잘 고른 대입 하나면 판별이 끝나며, 역시 (E) 를 가리킨다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (기호 $@$ 를 실제 식 $\dfrac{a+b}{2}$ 로 바꿔 각 법칙을 대수식으로 만드는 데 사용.)6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (법칙 II 와 III 의 양변을 같은 하나의 분수로 정리해 서로 같음을 확인하는 데 사용.)6.EE.A.4Identify when two expressions are equivalent (정리한 좌변과 우변을 비교해 각 법칙을 판정하는 데 사용 — 같으면 참, 다르면 거짓.)
⭐ 낯선 기호가 나오면 정의로 바꿔 정리하라 — 양변이 완전히 같은 식이 되는 법칙만 참이다.
⭐ 낯선 기호가 나오면 정의로 바꿔 정리하라 — 양변이 완전히 같은 식이 되는 법칙만 참이다.
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