AMC 10 · 2011 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Area-Proportional Region Probability

geometric-probabilityarea-rectanglesarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

다트판은 그림과 같이 여러 영역으로 나누어진 정팔각형이다. 판에 던진 다트가 판 위 어느 곳에나 똑같은 확률로 떨어진다고 하자. 다트가 가운데 정사각형 안에 떨어질 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

(D)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

(E)

$2 - \sqrt{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정팔각형 다트판의 아무 곳에나 다트가 똑같은 확률로 꽂힌다. 판은 네 개의 선으로 잘려 가운데 정사각형, 네 개의 직사각형, 네 개의 모서리 삼각형으로 나뉜다. 다트가 가운데 정사각형 안에 꽂힐 확률을 구하라.

주어진 것: 판은 정팔각형이다 (모든 변의 길이가 같고 모든 각이 같다).; 마주 보는 변을 잇는 네 선분이 그려져 가운데에 정사각형을 만든다.; 다트는 판 위 어느 점에나 똑같은 확률로 꽂힌다.

구하는 것: 다트가 가운데 정사각형 안에 꽂힐 확률.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

다트가 고르게 꽂히므로 확률은 한 넓이를 다른 넓이로 나눈 비일 뿐이라, 실제 치수가 아니라 비만 있으면 된다. 팔각형은 다루기 어려우니 잴 수 있는 조각들로 쪼갠다: 가운데 정사각형 하나, 직사각형 넷, 모서리 삼각형 넷. 비는 크기에 영향받지 않으니 조각의 크기를 편하게 정하고, 팔각형 넓이를 모두 더한 뒤 정사각형 넓이를 그 값으로 나눈다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 1

확률을 넓이의 비로 바꾸기

다트가 어디에나 똑같은 확률로 꽂히므로, 가운데 정사각형에 꽂힐 확률은 정사각형의 넓이를 팔각형 전체의 넓이로 나눈 값이다.
따라서 문제는 이 두 넓이를 구하는 것으로 바뀐다.

P = \dfrac{\text{가운데 정사각형의 넓이}}{\text{팔각형의 넓이}}

💡 고르게 퍼진 과녁에서 확률은 겨냥하는 부분이 전체에서 차지하는 비율일 뿐이다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 2

팔각형을 간단한 조각으로 자르기

그려진 네 선이 팔각형을 아홉 영역으로 나눈다: 가운데 정사각형, 변을 따라 있는 직사각형 넷, 직각삼각형 모서리 넷.
비는 크기에 상관없으니 모서리 삼각형의 두 변(다리)의 길이를 1로 정한다.
각 모서리 삼각형은 두 다리가 모두 1인 직각이등변삼각형이다.

\text{팔각형} = 1\ \text{정사각형} + 4\ \text{직사각형} + 4\ \text{모서리 삼각형}

💡 어려운 도형도 이미 넓이를 아는 정사각형, 직사각형, 삼각형으로 쪼개면 쉬워진다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

모서리 삼각형과 공유하는 길이 재기

각 모서리 삼각형은 두 다리가 1과 1이므로 피타고라스 정리로 빗변은 1의 제곱과 1의 제곱을 더한 값의 제곱근, 즉 루트 2이다.
이 빗변은 팔각형의 한 변이자 가운데 정사각형의 한 변이기도 하다.
삼각형 하나의 넓이는 1/2 곱하기 1 곱하기 1이므로, 삼각형 넷을 합치면 넓이는 2이다.

\text{빗변} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}; \quad 4 \times \tfrac{1}{2}(1)(1) = 2

💡 모서리의 비스듬한 절단선은 직각삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리가 그 길이를 알려 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

정사각형과 직사각형 넓이 재기

가운데 정사각형은 한 변이 루트 2이므로 넓이는 루트 2의 제곱, 즉 2이다.
각 직사각형은 한 변이 1(삼각형 다리와 맞닿음)이고 다른 한 변이 루트 2(팔각형의 변)이므로 넓이는 루트 2이다.
직사각형 넷을 합치면 넓이는 4 곱하기 루트 2이다.

\text{정사각형} = (\sqrt{2})^2 = 2; \quad 4\ \text{직사각형} = 4(1 \cdot \sqrt{2}) = 4\sqrt{2}

💡 각 조각의 변의 길이만 알면 넓이는 가로 곱하기 세로일 뿐이다.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.1 단계 5

모두 더하고 나누기

팔각형의 전체 넓이는 정사각형 더하기 직사각형 더하기 삼각형, 즉 2 더하기 4 곱하기 루트 2 더하기 2로 4 더하기 4 곱하기 루트 2이다.
확률은 2를 그 값으로 나눈 것이다.
4를 밖으로 빼고 분모와 분자에 (루트 2 빼기 1)을 곱하면, (루트 2 더하기 1)(루트 2 빼기 1)이 1이므로 분수는 (루트 2 빼기 1) 나누기 2로 깔끔해진다.
이것은 보기 (A)이다.

$$P = \dfrac{2}{4 + 4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2(1+\sqrt{2})} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$$

💡 분모의 제곱근을 없애면 지저분한 분수가 보기 중 하나로 정리된다.

[1] #7 7.SP.C.7 다트가 어디에나 똑같은 확률로 꽂히므로, 가운데 정사각형에 꽂힐 확률은 정사각형의 넓이를 팔각형 전체의 넓이로 나눈 값이다. 따라서 문제는 이

[2] #1 6.G.A.1 그려진 네 선이 팔각형을 아홉 영역으로 나눈다: 가운데 정사각형, 변을 따라 있는 직사각형 넷, 직각삼각형 모서리 넷. 비는 크기에 상관없으니

[3] #4 8.G.B.7 각 모서리 삼각형은 두 다리가 1과 1이므로 피타고라스 정리로 빗변은 1의 제곱과 1의 제곱을 더한 값의 제곱근, 즉 루트 2이다. 이 빗변은

[4] #7 6.G.A.1 가운데 정사각형은 한 변이 루트 2이므로 넓이는 루트 2의 제곱, 즉 2이다. 각 직사각형은 한 변이 1(삼각형 다리와 맞닿음)이고 다른 한 변

[5] #3 8.NS.A.1 팔각형의 전체 넓이는 정사각형 더하기 직사각형 더하기 삼각형, 즉 2 더하기 4 곱하기 루트 2 더하기 2로 4 더하기 4 곱하기 루트 2이다.

검토

합리성 확인: 가운데 정사각형은 아홉 영역 중 하나이고 판에서 가장 큰 부분이 결코 아니므로, 확률이 1/3보다 훨씬 작게 나오는 것이 자연스럽다. 수치로 (루트 2 빼기 1) 나누기 2는 약 0.207, 대략 1/5로 그림에서 가운데 사각형이 작아 보이는 것과 맞는다. 다른 보기들은 더 크거나, 1/4처럼 정확한 넓이 계산을 통과하지 못한다.

대안 접근: 삼각형 다리를 1로 잡는 대신, 한 변이 s인 정팔각형의 넓이 공식 2(1 더하기 루트 2) 곱하기 s의 제곱을 쓴다. s를 팔각형의 변으로 두면 가운데 정사각형의 변도 s이므로 정사각형 넓이는 s의 제곱이고, 나누면 1 나누기 2(1 더하기 루트 2), 즉 같은 값 (루트 2 빼기 1) 나누기 2가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.SP.C.7 확률 모델을 세워 사건의 확률 구하기 ('어디에나 똑같은 확률'을 확률 = 목표 넓이 ÷ 전체 넓이로 바꾸기.)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 쪼개고 합쳐 구하기 (팔각형을 정사각형 하나, 직사각형 넷, 삼각형 넷으로 쪼개어 넓이 더하기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지의 변의 길이 구하기 (직각이등변 모서리 삼각형의 빗변(루트 2)을 구하기, 이 값이 정사각형의 변이 됨.)
8.NS.A.1 유리수가 아닌 수를 무리수라 부름을 알기 (루트 2를 다루고 마지막 분수의 분모를 유리화하기.)

⭐ 고른 과녁에서 확률은 목표의 넓이를 전체 넓이로 나눈 값일 뿐이니, 어려운 도형은 잴 수 있는 정사각형, 직사각형, 삼각형으로 쪼개라.