AMC 10 · 2011 · #16

학년 8 geometry-2dprobability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Area-Proportional Region Probability

geometric-probabilityarea-rectanglesarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정팔각형 다트판의 아무 곳에나 다트가 똑같은 확률로 꽂힌다. 판은 네 개의 선으로 잘려 가운데 정사각형, 네 개의 직사각형, 네 개의 모서리 삼각형으로 나뉜다. 다트가 가운데 정사각형 안에 꽂힐 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

(D)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

(E)

$2 - \sqrt{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

다트가 고르게 꽂히므로 확률은 한 넓이를 다른 넓이로 나눈 비일 뿐이라, 실제 치수가 아니라 비만 있으면 된다. 팔각형은 다루기 어려우니 잴 수 있는 조각들로 쪼갠다: 가운데 정사각형 하나, 직사각형 넷, 모서리 삼각형 넷. 비는 크기에 영향받지 않으니 조각의 크기를 편하게 정하고, 팔각형 넓이를 모두 더한 뒤 정사각형 넓이를 그 값으로 나눈다.

1STEP 1

확률을 넓이의 비로 바꾸기

다트가 고르게 꽂히므로 확률은 정사각형 넓이를 팔각형 넓이로 나눈 값이다. 두 넓이만 구하면 된다.

P = (가운데 정사각형의 넓이)/(팔각형의 넓이)

2STEP 2

팔각형을 간단한 조각으로 자르기

네 선이 판을 아홉 영역으로 나눈다. 비는 크기와 무관하니 모서리 삼각형의 다리를 $1$ 로 잡는다.

팔각형 = 1 정사각형 + 4 직사각형 + 4 모서리 삼각형

3STEP 3

모서리 삼각형과 공유하는 길이 재기

다리가 $1$ , $1$ 이니 빗변은 $\sqrt{2}$ — 팔각형의 변이자 정사각형의 변. 삼각형 넷의 넓이 합은 $2$ .

빗변 = √(1² + 1²) = √(2); 4 × 1/2(1)(1) = 2

4STEP 4

정사각형과 직사각형 넓이 재기

정사각형은 한 변이 $\sqrt{2}$ 라 넓이 $2$ , 직사각형 하나는 $1 \times \sqrt{2}$ 라 넷이 $4\sqrt{2}$ .

정사각형 = (√(2))² = 2; 4 직사각형 = 4(1 · √(2)) = 4√(2)

5STEP 5

모두 더하고 나누기

전체 넓이는 $4+4\sqrt{2}$ , 확률 $\frac{2}{4+4\sqrt{2}}$ 의 분모를 유리화하면 $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ , 보기 (A).

P = 2/(4 + 4√(2)) = 1/(2(1+√(2))) = (√(2)-1)/2

정답

(√(2) - 1)/2

가운데 정사각형은 아홉 영역 중 하나이고 판에서 가장 큰 부분이 결코 아니므로, 확률이 1/3보다 훨씬 작게 나오는 것이 자연스럽다. 수치로 (루트 2 빼기 1) 나누기 2는 약 0.207, 대략 1/5로 그림에서 가운데 사각형이 작아 보이는 것과 맞는다. 다른 보기들은 더 크거나, 1/4처럼 정확한 넓이 계산을 통과하지 못한다.

💡핵심 정리

고른 과녁에서 확률은 목표의 넓이를 전체 넓이로 나눈 값일 뿐이니, 어려운 도형은 잴 수 있는 정사각형, 직사각형, 삼각형으로 쪼개라.

확률을 넓이의 비로 바꾸기
팔각형을 간단한 조각으로 자르기
모서리 삼각형과 공유하는 길이 재기
정사각형과 직사각형 넓이 재기
모두 더하고 나누기

확률을 넓이의 비로 바꾸기

팔각형을 간단한 조각으로 자르기

모서리 삼각형과 공유하는 길이 재기

정사각형과 직사각형 넓이 재기

모두 더하고 나누기

비슷한 유형 더 풀어보기