AMC 10 · 2011 · #22

학년 8 geometry-3d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
spatial-visualizationsimilar-trianglespythagorean-theoremvolume-rectangular-prism identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
밑면이 한 변의 길이가 1인 정사각형이고, 옆면인 삼각형이 모두 정삼각형인 피라미드가 있다. 정육면체 하나를 그 안에 넣는데, 아랫면은 피라미드 밑면에 딱 붙어 있고 윗면의 네 모서리는 각각 피라미드의 옆면 위에 놓인다. 이 정육면체의 부피를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$5\sqrt{2} - 7$
(B)
$7 - 4\sqrt{3}$
(C)
$\frac{2\sqrt{2}}{27}$
(D)
$\frac{\sqrt{2}}{9}$
(E)
$\frac{\sqrt{3}}{9}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

3차원 피라미드와 정육면체를 그대로 다루기는 어렵다. 그래서 핵심 전략은(도구 #1, 도구 #9의 도움) 입체를 평면 하나로 잘라 문제를 2차원 삼각형 그림으로 바꾸는 것이다. 알맞은 절단면은 꼭짓점과 밑면의 마주 보는 두 꼭짓점을 지난다. 그 평면에서는 피라미드가 깔끔한 삼각형이 되고 정육면체는 직사각형이 된다. 공간 상상(도구 #17)으로 어느 면을 잘라야 하는지, 왜 정육면체의 높은 모서리가 피라미드의 빗변에 닿는지를 알 수 있다. 그다음 정육면체의 모서리를 s로 놓으면(도구 #4) '모서리가 빗변에 닿는다'는 조건이 풀 수 있는 식 하나가 된다.

1STEP 1

피라미드의 높이 구하기

옆모서리가 모두 11이고 중심은 꼭짓점에서 22\frac{\sqrt{2}}{2} 떨어져 있으니, 피타고라스로 높이는 H=22H=\frac{\sqrt{2}}{2}.

H=√(1-1/2)=√(2)/2
2STEP 2

꼭짓점과 마주 보는 두 꼭짓점으로 자르기

꼭짓점과 마주 보는 두 꼭짓점으로 자르면 세 변이 11, 11, 2\sqrt{2}인 직각이등변삼각형이 나오고, 밑각은 45∘45^\circ.

1²+1²=(√(2))² → 직각이등변, 밑각 45°
3STEP 3

2차원 그림에 정육면체 놓기

대각선을 xx축에 놓으면 왼쪽 빗변은 y=xy=x. 가운데 놓인 정육면체는 가로 s2s\sqrt{2}, 세로 ss인 직사각형이고 윗 꼭짓점이 그 직선 위에 있다.

왼쪽 위 꼭짓점=(√(2)/2-s√(2)/2, s) 가 y=x 위
4STEP 4

정육면체 모서리 구하기

그 꼭짓점은 높이와 가로 좌표가 같으므로 2s+s2=22s+s\sqrt{2}=\sqrt{2}, 분모를 유리화하면 s=2−1s=\sqrt{2}-1.

s=√(2)/(2+√(2))=√(2)-1
5STEP 5

모서리를 세제곱해 부피 구하기

세제곱하자. (2−1)2=3−22(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}이고 여기에 2−1\sqrt{2}-1을 한 번 더 곱하면 52−75\sqrt{2}-7, 보기 (A).

V=(√(2)-1)³=5√(2)-7 → (A)
정답
5√(2) - 7
크기를 어림해 보자. √(2)≈1.414이므로 모서리 s=√(2)-1≈0.414이고 부피는 ≈0.414³≈0.071이다. 이는 1보다 한참 작은데, 정육면체가 밑면이 1×1뿐인 피라미드 안에 들어가야 하므로 당연하다. 선택지를 보면 5√(2)-7≈5(1.414)-7≈0.071이 맞고, (C), (D), (E)는 0.10~0.19 근처라 모서리 0.414인 정육면체치고 너무 크며, (B) 7-4√(3)≈0.072는 값은 비슷해도 30° 계열 설정에서 나오는 값이지 우리가 실제로 얻은 45° 삼각형과는 맞지 않는다.
💡핵심 정리

어려운 3차원 도형도 평면 하나로 잘라 보면 실제로 풀 수 있는 간단한 2차원 삼각형이 되는 경우가 많다.

  • 피라미드의 높이 구하기
  • 꼭짓점과 마주 보는 두 꼭짓점으로 자르기
  • 2차원 그림에 정육면체 놓기
  • 정육면체 모서리 구하기
  • 모서리를 세제곱해 부피 구하기

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