AMC 10 · 2011 · #22

학년 8 geometry-3d

spatial-visualizationsimilar-trianglespythagorean-theoremvolume-rectangular-prism identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 각뿔의 밑면은 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형이고 옆면은 모두 정삼각형이다. 정육면체를 이 각뿔 안에 넣어 한 면은 각뿔의 밑면 위에 놓이고, 그 반대쪽 면의 모든 모서리는 각뿔의 옆면 위에 놓이도록 한다. 이 정육면체의 부피는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\sqrt{2} - 7$

(B)

$7 - 4\sqrt{3}$

(C)

$\frac{2\sqrt{2}}{27}$

(D)

$\frac{\sqrt{2}}{9}$

(E)

$\frac{\sqrt{3}}{9}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 밑면이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이고, 옆면인 삼각형이 모두 정삼각형인 피라미드가 있다. 정육면체 하나를 그 안에 넣는데, 아랫면은 피라미드 밑면에 딱 붙어 있고 윗면의 네 모서리는 각각 피라미드의 옆면 위에 놓인다. 이 정육면체의 부피를 구하여라.

주어진 것: 밑면은 한 변이 $1$인 정사각형이다.; 옆면이 모두 정삼각형이므로 피라미드의 빗변(옆모서리)도 모두 길이가 $1$이다.; 정육면체의 아랫면은 밑면에 붙어 있고, 정육면체는 밑면의 중심과 중심이 같다.; 정육면체 윗면의 네 모서리는 각각 피라미드의 옆면 위에 놓인다.; 선택지: (A) $5\sqrt{2}-7$, (B) $7-4\sqrt{3}$, (C) $\frac{2\sqrt{2}}{27}$, (D) $\frac{\sqrt{2}}{9}$, (E) $\frac{\sqrt{3}}{9}$.

구하는 것: 정육면체의 한 모서리 길이, 그리고 그로부터 구하는 정육면체의 부피.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #4 변수 도입하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

3차원 피라미드와 정육면체를 그대로 다루기는 어렵다. 그래서 핵심 전략은(도구 #1, 도구 #9의 도움) 입체를 평면 하나로 잘라 문제를 2차원 삼각형 그림으로 바꾸는 것이다. 알맞은 절단면은 꼭짓점과 밑면의 마주 보는 두 꼭짓점을 지난다. 그 평면에서는 피라미드가 깔끔한 삼각형이 되고 정육면체는 직사각형이 된다. 공간 상상(도구 #17)으로 어느 면을 잘라야 하는지, 왜 정육면체의 높은 모서리가 피라미드의 빗변에 닿는지를 알 수 있다. 그다음 정육면체의 모서리를 $s$로 놓으면(도구 #4) '모서리가 빗변에 닿는다'는 조건이 풀 수 있는 식 하나가 된다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

피라미드의 높이 구하기

옆면이 모두 정삼각형이므로 네 빗변(옆모서리)의 길이는 모두 $1$이다.
밑면이 $1\times 1$ 정사각형이므로 대각선은 $\sqrt{2}$이고, 밑면 중심은 각 꼭짓점에서 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 떨어져 있다.
꼭짓점은 중심 바로 위에 있으므로, 꼭짓점·중심·밑면 꼭짓점은 직각삼각형을 이룬다.
빗변 $1$이 빗변이고 수평 다리가 $\frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 높이는 $H=\sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.

$$H=\sqrt{1-\tfrac12}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

💡 옆모서리가 직각삼각형의 빗변이므로 높이는 피타고라스 정리에서 바로 나온다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.G.B.7 단계 2

꼭짓점과 마주 보는 두 꼭짓점으로 자르기

피라미드를 꼭짓점과 밑면의 마주 보는 두 꼭짓점을 지나는 수직 평면으로 자른다.
이 평면에서 밑면은 대각선, 즉 길이 $\sqrt{2}$인 선분이 되고, 잘린 두 모서리는 길이 $1$인 빗변이다.
세 변이 $1$, $1$, $\sqrt{2}$인 삼각형은 $1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$을 만족하므로 직각이등변삼각형이다.
꼭지각은 $90^\circ$, 두 밑각은 각각 $45^\circ$이다.

$$1^2+1^2=(\sqrt{2})^2\ \Rightarrow\ \text{직각이등변, 밑각 }45^\circ$$

💡 평면 하나로 자르면 어려운 3차원 입체가 다루기 쉬운 2차원 삼각형으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 3

2차원 그림에 정육면체 놓기

대각선을 $x$축 위 $(0,0)$부터 $(\sqrt{2},0)$까지 놓고, 꼭짓점을 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$에 둔다.
왼쪽 빗변은 직선 $y=x$를 따라간다.
정육면체의 모서리를 $s$라 하자.
정육면체가 중앙에 있고 이 절단면이 정육면체 밑면의 대각선을 따라 지나가므로, 정육면체는 가로 $s\sqrt{2}$(면 대각선), 세로 $s$인 직사각형으로 보인다.
그 왼쪽 위 꼭짓점은 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{s\sqrt{2}}{2},\; s\right)$이고, 이 점이 빗변 $y=x$ 위에 놓여야 한다.

$$\text{왼쪽 위 꼭짓점}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{s\sqrt{2}}{2},\,s\right)\ \text{가}\ y=x\ \text{위}$$

💡 빗변을 타고 올라가는 그 꼭짓점 하나가 정육면체 크기를 정해 준다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 4

정육면체 모서리 구하기

꼭짓점의 $y$와 $x$가 같다고 놓으면 $s=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{s\sqrt{2}}{2}$이다.
$s$ 항을 모으면 $s+\frac{s\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 즉 $s\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 $s=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$이다.
분모와 분자에 $2-\sqrt{2}$를 곱하면 $s=\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$이다.

$$s=\dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$

💡 한 꼭짓점이 한 직선 위에 있으면 식이 하나 나오고, 식 하나면 미지수 하나가 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 5

모서리를 세제곱해 부피 구하기

부피는 $s^3=(\sqrt{2}-1)^3$이다.
차례로 전개하면 $(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$이고, $(3-2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}-3-4+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}-7$이다.
따라서 정육면체의 부피는 $5\sqrt{2}-7$이고, 이는 선택지 (A)이다.

$$V=(\sqrt{2}-1)^3=5\sqrt{2}-7\ \Rightarrow\ \textbf{(A)}$$

💡 정육면체 부피는 모서리를 세 번 곱한 값일 뿐이다.

[1] #1 8.G.B.7 옆면이 모두 정삼각형이므로 네 빗변(옆모서리)의 길이는 모두 $1$이다. 밑면이 $1\times 1$ 정사각형이므로 대각선은 $\sqrt{2}$

[2] #9 8.G.B.7 피라미드를 꼭짓점과 밑면의 마주 보는 두 꼭짓점을 지나는 수직 평면으로 자른다. 이 평면에서 밑면은 대각선, 즉 길이 $\sqrt{2}$인 선분

[3] #4 8.G.A.4 대각선을 $x$축 위 $(0,0)$부터 $(\sqrt{2},0)$까지 놓고, 꼭짓점을 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt

[4] #4 8.EE.C.7 꼭짓점의 $y$와 $x$가 같다고 놓으면 $s=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{s\sqrt{2}}{2}$이다. $s$ 항을 모으면

[5] #7 6.EE.A.1 부피는 $s^3=(\sqrt{2}-1)^3$이다. 차례로 전개하면 $(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$이

검토

합리성 확인: 크기를 어림해 보자. $\sqrt{2}\approx1.414$이므로 모서리 $s=\sqrt{2}-1\approx0.414$이고 부피는 $\approx0.414^3\approx0.071$이다. 이는 $1$보다 한참 작은데, 정육면체가 밑면이 $1\times1$뿐인 피라미드 안에 들어가야 하므로 당연하다. 선택지를 보면 $5\sqrt{2}-7\approx5(1.414)-7\approx0.071$이 맞고, (C), (D), (E)는 $0.10$~$0.19$ 근처라 모서리 $0.414$인 정육면체치고 너무 크며, (B) $7-4\sqrt{3}\approx0.072$는 값은 비슷해도 $30^\circ$ 계열 설정에서 나오는 값이지 우리가 실제로 얻은 $45^\circ$ 삼각형과는 맞지 않는다.

대안 접근: 대각선 절단 대신 닮은 피라미드를 써도 된다. 모서리 $s$인 정육면체 위에는 전체 피라미드(높이 $H=\frac{\sqrt{2}}{2}$)와 닮은, 높이 $H-s$인 작은 피라미드가 남는다. 정육면체 윗면은 그 작은 피라미드의 정사각형 단면과 맞아야 하고, 그 단면의 한 변은 $\frac{H-s}{H}$이다. 정육면체 윗변을 이 줄어든 정사각형과 같다고 놓으면 $s=1\cdot\frac{H-s}{H}$, 즉 $sH=H-s$이므로 $s=\frac{H}{H+1}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2+1}=\sqrt{2}-1$로 같은 모서리, 같은 부피 $5\sqrt{2}-7$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (피라미드 높이 $H=\frac{\sqrt{2}}{2}$를 구하고, $1,1,\sqrt{2}$ 단면이 직각이등변삼각형임을 알아내는 데 사용.)
8.G.A.4 Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations (닮음으로 줄어드는 삼각형 안에 정육면체 직사각형을 읽고, 그 위 꼭짓점을 빗변 위에 놓는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($s=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{s\sqrt{2}}{2}$를 풀어 모서리 $s=\sqrt{2}-1$을 구하는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (모서리를 세제곱해 $(\sqrt{2}-1)^3=5\sqrt{2}-7$로 부피를 구하는 데 사용.)
8.NS.A.2 Use rational approximations of irrational numbers to compare their size ($\sqrt{2}-1\approx0.414$와 $5\sqrt{2}-7\approx0.071$을 어림해 선택지와 대조하며 답을 점검하는 데 사용.)

⭐ 어려운 3차원 도형도 평면 하나로 잘라 보면 실제로 풀 수 있는 간단한 2차원 삼각형이 되는 경우가 많다.