AMC 10 · 2011 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

recursive-sequencesequences-geometricpolygon-inequality pattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$T_1$ 을 세 변의 길이가 $2011, 2012,$ 그리고 $2013$ 인 삼각형이라고 하자. $n \ge 1$ 에 대해, $T_n = \triangle ABC$ 이고 $D, E,$ 그리고 $F$ 가 각각 $\triangle ABC$ 의 내접원이 변 $AB, BC$ , 그리고 $AC$ 와 접하는 점이라고 하면, $T_{n+1}$ 은 (존재한다면) 세 변의 길이가 $AD, BE,$ 그리고 $CF$ 인 삼각형이다. 수열 $( T_n )$ 에서 마지막 삼각형의 둘레의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1509}{8}$

(B)

$\frac{1509}{32}$

(C)

$\frac{1509}{64}$

(D)

$\frac{1509}{128}$

(E)

$\frac{1509}{256}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 변의 길이가 $2011$, $2012$, $2013$ 인 삼각형 $T_1$ 에서 시작한다. 임의의 삼각형 $T_n = \triangle ABC$ 에 대해, 그 내접원이 변 $AB$, $BC$, $AC$ 에 접하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$ 라 하면, 다음 삼각형 $T_{n+1}$ 은 변의 길이가 $AD$, $BE$, $CF$ 인 삼각형이다 — 단, 이 세 길이가 실제로 삼각형을 이룰 때만. 이 수열은 존재하는 마지막 삼각형에서 멈춘다. 그 마지막 삼각형의 둘레를 구하라.

주어진 것: $T_1$ 의 변의 길이는 $2011$, $2012$, $2013$; $D$, $E$, $F$ 는 내접원이 변 $AB$, $BC$, $AC$ 에 접하는 점; $T_{n+1}$ 은 세 길이 $AD$, $BE$, $CF$ 가 삼각형을 이룰 때 그 변의 길이를 가진다; 선택지: $\dfrac{1509}{8},\ \dfrac{1509}{32},\ \dfrac{1509}{64},\ \dfrac{1509}{128},\ \dfrac{1509}{256}$

구하는 것: 수열 $(T_n)$ 의 마지막 삼각형의 둘레

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리

삼각형을 하나하나 손으로 나열하면 느리므로 Tool #5 (패턴 찾기)가 기준점이다: 한 삼각형이 다음 삼각형으로 어떻게 바뀌는지 알아내고 반복되는 규칙을 찾는다. Tool #4 (변수 도입하기)로 가운데 변의 길이를 이름 붙이면 그 규칙이 깔끔해지고, 둘레가 매 단계 절반이 되며 변의 모양이 그대로 유지됨이 드러난다. 그러면 남는 질문은 줄어드는 변이 언제 너무 치우쳐 삼각형을 못 이루는가뿐이며, Tool #14 (극단의 원리)로 삼각형 부등식을 한계까지 밀어붙여 마지막으로 살아남는 단계를 짚어낸다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 1

접점을 새 변의 길이로 바꾸기

어떤 삼각형에서든 한 꼭짓점에서 내접원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로, 각 꼭짓점은 하나의 접선 길이를 가진다.
변을 $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ 로 두고 반둘레를 $s = \tfrac{a+b+c}{2}$ 라 하자.
그러면 $A$ 에서의 접선 길이는 $s-a$, $B$ 에서는 $s-b$, $C$ 에서는 $s-c$ 이다.
$D$, $E$, $F$ 가 각각 $AB$, $BC$, $AC$ 위에 있으므로 잘려 나오는 조각은 $AD = s-a$, $BE = s-b$, $CF = s-c$ 이다.
따라서 $T_{n+1}$ 의 변의 길이는 $s-a$, $s-b$, $s-c$ 이다.

$$AD = s-a,\quad BE = s-b,\quad CF = s-c$$

💡 각 꼭짓점은 하나의 접선 길이를 가지므로, 새 변은 옛 반둘레에서 옛 변을 뺀 값이다.

#5 패턴 찾기 7.EE.A.1 단계 2

모양이 그대로이고 절반이 됨을 보기

$T_1$ 의 변은 $2011$, $2012$, $2013$ — $1$ 씩 떨어진 세 수다.
가운데를 $m$ 이라 하면 변은 $m-1$, $m$, $m+1$ 이고 $s = \tfrac{3m}{2}$ 이다.
새 변은 $s-(m+1) = \tfrac{m}{2}-1$, $s-m = \tfrac{m}{2}$, $s-(m-1) = \tfrac{m}{2}+1$ 이 된다.
이 역시 $1$ 씩 떨어진 세 수이며, 새 가운데 값은 $\tfrac{m}{2}$ 이다.
그래서 둘레는 $3m$ 에서 $\tfrac{3m}{2}$ 로 — 매 단계 정확히 절반이 된다.

$$m-1,\ m,\ m+1 \;\longrightarrow\; \tfrac{m}{2}-1,\ \tfrac{m}{2},\ \tfrac{m}{2}+1$$

💡 변은 항상 $1$ 씩 차이 나고, 가운데 값은 계속 절반으로 줄어든다.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 3

n 단계 뒤의 가운데 변 쓰기

가운데 변은 $m_1 = 2012$ 에서 시작해 매번 절반이 되므로, $n-1$ 번 반으로 나눈 뒤 $m_n = \dfrac{2012}{2^{\,n-1}}$ 이다.
변이 항상 $m_n-1$, $m_n$, $m_n+1$ 이므로 둘레는 $P_n = 3m_n = \dfrac{6036}{2^{\,n-1}}$ 이다.
수열의 모든 삼각형이 이 하나의 식으로 담긴다.

$$m_n = \dfrac{2012}{2^{\,n-1}},\qquad P_n = \dfrac{6036}{2^{\,n-1}}$$

💡 반복해서 절반으로 나누는 것은 $2$ 의 거듭제곱으로 나누는 것과 같다.

#14 극단의 원리 7.G.A.2 단계 4

삼각형이 언제 존재를 멈추는지 찾기

변 $m-1$, $m$, $m+1$ 이 삼각형을 이루려면 두 짧은 변이 가장 긴 변을 이겨야 한다: $(m-1)+m > m+1$, 이는 $m > 2$ 로 간단해진다.
(가장 긴 변은 $m+1$ 이고, 이것이 세 부등식 중 가장 빡빡하다.) 따라서 $T_n$ 은 가운데 변이 $m_n > 2$ 일 때에만 존재하며, $m_n$ 이 $2$ 이하로 떨어지는 순간 세 길이는 더 이상 삼각형으로 닫히지 못한다.

$$(m-1)+m > m+1 \;\Longrightarrow\; m > 2$$

💡 두 짧은 변이 가장 긴 변을 겨우 가로지를 수 있을 때가 삼각형의 한계점이다.

#14 극단의 원리 7.EE.B.4 단계 5

마지막으로 살아남는 삼각형 풀기

$m_n = \dfrac{2012}{2^{\,n-1}} > 2$, 즉 $2^{\,n-1} < 1006$ 이 필요하다.
$2^{9} = 512 < 1006 < 1024 = 2^{10}$ 이므로 허용되는 가장 큰 지수는 $n-1 = 9$, 곧 $n = 10$ 이 마지막 삼각형이다.
다음 것을 확인하면 $m_{11} = \dfrac{2012}{1024} \approx 1.965 \le 2$ 이므로 $T_{11}$ 은 실제로 실패한다.
마지막 삼각형은 $T_{10}$ 이고 둘레는 $P_{10} = \dfrac{6036}{2^{9}} = \dfrac{6036}{512} = \dfrac{1509}{128}$ 로, 선택지 $\textbf{(D)}$ 이다.

$$2^{\,n-1} < 1006 \Rightarrow n = 10;\quad P_{10} = \dfrac{6036}{512} = \dfrac{1509}{128}$$

💡 $1006$ 아래의 마지막 $2$ 의 거듭제곱을 찾으면, 그 단계가 줄어드는 삼각형이 겨우 살아남는 곳이다.

[1] #4 8.G.A.5 어떤 삼각형에서든 한 꼭짓점에서 내접원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로, 각 꼭짓점은 하나의 접선 길이를 가진다. 변을 $a = BC$, $b

[2] #5 7.EE.A.1 $T_1$ 의 변은 $2011$, $2012$, $2013$ — $1$ 씩 떨어진 세 수다. 가운데를 $m$ 이라 하면 변은 $m-1$, $m$

[3] #5 8.EE.A.1 가운데 변은 $m_1 = 2012$ 에서 시작해 매번 절반이 되므로, $n-1$ 번 반으로 나눈 뒤 $m_n = \dfrac{2012}{2^{\

[4] #14 7.G.A.2 변 $m-1$, $m$, $m+1$ 이 삼각형을 이루려면 두 짧은 변이 가장 긴 변을 이겨야 한다: $(m-1)+m > m+1$, 이는 $m >

[5] #14 7.EE.B.4 $m_n = \dfrac{2012}{2^{\,n-1}} > 2$, 즉 $2^{\,n-1} < 1006$ 이 필요하다. $2^{9} = 512 <

검토

합리성 확인: 둘레는 깔끔하게 절반이 된다: $6036, 3018, 1509, \dots$ 로 내려가 $P_{10} = \tfrac{1509}{128} \approx 11.79$ 에 이른다. 바로 다음 값 $P_{11} \approx 5.89$ 는 변이 대략 $0.96, 1.96, 2.96$ 이 되어 $0.96 + 1.96 = 2.92 < 2.96$ — 두 짧은 변이 가로지르지 못해 삼각형이 안 되므로, $T_{10}$ 에서 멈춤이 확인된다. 모든 선택지가 분자 $1509 = 3 \times 503$ 을 가지고 오직 $2$ 의 거듭제곱만 다르므로, 문제 전체는 올바른 지수를 찾는 것으로 귀결된다; $128 = 2^{7}$ 이 $\textbf{(D)}$ 와 맞는다.

대안 접근: 둘레만 추적하자. 새 둘레가 옛 반둘레와 같으므로 $P_{n+1} = \tfrac{1}{2}P_n$ 이고, 따라서 $P_n = \dfrac{6036}{2^{\,n-1}}$ 이다. 변이 $1$ 씩 차이 나는 삼각형은 가운데 변이 $\tfrac{P}{3}$ 이며, $\tfrac{P}{3} > 2$, 즉 $P > 6$ 일 때에만 삼각형 부등식을 만족한다. $6$ 을 넘는 가장 작은 $P_n$ 은 $P_{10} = \dfrac{6036}{512} = \dfrac{1509}{128} \approx 11.79$ 이며 (다음 값 $\approx 5.89$ 는 $6$ 아래로 떨어진다), 삼각형을 하나하나 나열하지 않고도 $\textbf{(D)}$ 를 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (내접원의 두 접선 길이가 같다는 사실로 각 새 변을 반둘레에서 옛 변을 뺀 값으로 쓰는 데 사용.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ($s-(m\pm1)$ 을 정리해 새 변이 $\tfrac{m}{2}-1, \tfrac{m}{2}, \tfrac{m}{2}+1$ 이고 둘레가 절반이 됨을 보이는 데 사용.)
8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents (가운데 변과 둘레가 반복해서 절반이 되는 것을 $2^{\,n-1}$ 로 나누는 것으로 표현하는 데 사용.)
7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles ($1$ 씩 차이 나는 세 변에 삼각형 부등식을 적용해 존재 조건 $m > 2$ 를 얻는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($2^{\,n-1} < 1006$ 을 풀어 마지막으로 살아남는 삼각형을 찾고 그 둘레 $\tfrac{1509}{128}$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 새 삼각형의 둘레는 언제나 직전 삼각형의 정확히 절반이므로, 세 변이 너무 치우쳐 닫히지 못할 때까지 계속 반으로 줄여 나가면 — 아직 닫히는 마지막 삼각형이 답이다.