AMC 10 · 2011 · #25

학년 8 geometry-2dpattern
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
recursive-sequencesequences-geometricpolygon-inequality pattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-geometric
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
변의 길이가 2011, 2012, 2013인 삼각형 T₁에서 시작한다. 임의의 삼각형 Tₙ = △ABC에 대해, 그 내접원이 변 AB, BC, AC에 접하는 점을 각각 D, E, F라 하면, 다음 삼각형 Tₙ₊₁은 변의 길이가 AD, BE, CF인 삼각형이다 — 단, 이 세 길이가 실제로 삼각형을 이룰 때만 존재한다. 이 수열은 존재하는 마지막 삼각형에서 멈춘다. 그 마지막 삼각형의 둘레를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1509}{8}$
(B)
$\frac{1509}{32}$
(C)
$\frac{1509}{64}$
(D)
$\frac{1509}{128}$
(E)
$\frac{1509}{256}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

삼각형을 하나하나 손으로 나열하면 느리므로 Tool #5 (패턴 찾기)가 기준점이다: 한 삼각형이 다음 삼각형으로 어떻게 바뀌는지 알아내고 반복되는 규칙을 찾는다. Tool #4 (변수 도입하기)로 가운데 변의 길이를 이름 붙이면 그 규칙이 깔끔해지고, 둘레가 매 단계 절반이 되며 변의 모양이 그대로 유지됨이 드러난다. 그러면 남는 질문은 줄어드는 변이 언제 너무 치우쳐 삼각형을 못 이루는가뿐이며, Tool #14 (극단의 원리)로 삼각형 부등식을 한계까지 밀어붙여 마지막으로 살아남는 단계를 짚어낸다.

1STEP 1

접점을 새 변의 길이로 바꾸기

꼭짓점에서 내접원에 그은 두 접선은 길이가 같아, 반둘레를 ss라 하면 다음 삼각형의 변은 s−as-a, s−bs-b, s−cs-c.

AD = s-a, BE = s-b, CF = s-c
2STEP 2

모양이 그대로이고 절반이 됨을 보기

변 m−1m-1, mm, m+1m+1은 m2−1\frac{m}{2}-1, m2\frac{m}{2}, m2+1\frac{m}{2}+1이 되어, 여전히 1씩 차이 나고 가운데와 둘레는 정확히 절반.

m-1, m, m+1 ⟶ m/2-1, m/2, m/2+1
3STEP 3

n 단계 뒤의 가운데 변 쓰기

m1=2012m_1=2012에서 매번 절반이 되어 mn=20122n−1m_n=\frac{2012}{2^{n-1}}이므로, 둘레는 Pn=60362n−1P_n=\frac{6036}{2^{n-1}}.

m_n = 2012/(2^ n-1), P_n = 6036/(2^ n-1)
4STEP 4

삼각형이 언제 존재를 멈추는지 찾기

두 짧은 변이 가장 긴 변을 이겨야 하므로 (m−1)+m>m+1(m-1)+m \gt m+1, 곧 m>2m \gt 2일 때만 존재한다.

(m-1)+m ＞ m+1 ⟹ m ＞ 2
5STEP 5

마지막으로 살아남는 삼각형 풀기

mn>2m_n \gt 2는 2n−1<10062^{n-1} \lt 1006이니 n=10n=10이 마지막이고 P10=1509128P_{10}=\frac{1509}{128} — 선택지 (D).

2^ n-1 ＜ 1006 → n = 10; P₁₀ = 6036/512 = 1509/128
정답
1509/128
둘레는 깔끔하게 절반이 된다: 6036, 3018, 1509, … 로 내려가 P₁₀ = 1509/128 ≈ 11.79에 이른다. 바로 다음 값 P₁₁ ≈ 5.89는 변이 대략 0.96, 1.96, 2.96이 되어 0.96 + 1.96 = 2.92 ＜ 2.96 — 두 짧은 변이 가로지르지 못해 삼각형이 안 되므로, T₁₀ 에서 멈춤이 확인된다. 모든 선택지가 분자 1509 = 3 × 503을 가지고 오직 2의 거듭제곱만 다르므로, 문제 전체는 올바른 지수를 찾는 것으로 귀결된다; 128 = 2⁷이 (D)와 맞는다.
💡핵심 정리

새 삼각형의 둘레는 언제나 직전 삼각형의 정확히 절반이므로, 세 변이 너무 치우쳐 닫히지 못할 때까지 계속 반으로 줄여 나가면 — 아직 닫히는 마지막 삼각형이 답이다.

  • 접점을 새 변의 길이로 바꾸기
  • 모양이 그대로이고 절반이 됨을 보기
  • n 단계 뒤의 가운데 변 쓰기
  • 삼각형이 언제 존재를 멈추는지 찾기
  • 마지막으로 살아남는 삼각형 풀기

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