AMC 10 · 2011 · #4

학년 7 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

linear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

르로이와 베르나르도는 일주일 동안 함께 여행을 갔고 비용을 똑같이 나누어 부담하기로 했다. 여행 기간 동안 두 사람은 각각 기름값과 자동차 렌트비 같은 여러 공동 경비를 지불했다. 여행이 끝난 후 르로이는 $A$ 달러를 지불했고 베르나르도는 $B$ 달러를 지불했으며, 여기서 $A < B$ 이다. 비용을 똑같이 나누어 부담하려면 르로이는 베르나르도에게 몇 달러를 주어야 하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{A + B}{2}$

(B)

$\dfrac{A - B}{2}$

(C)

$\dfrac{B - A}{2}$

(D)

B - A

(E)

A + B

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 르로이와 베르나르도가 여행 비용을 똑같이 나눠 내기로 했습니다. 르로이는 $A$ 달러, 베르나르도는 $B$ 달러를 냈고 $A < B$ 입니다. 두 사람이 낸 금액이 같아지려면 르로이가 베르나르도에게 몇 달러를 줘야 하는지 구하세요.

주어진 것: 르로이는 $A$ 달러, 베르나르도는 $B$ 달러를 냈음; 두 사람은 모든 비용을 똑같이 나눠 내기로 약속함; $A < B$ 이므로 르로이가 더 적게 냈음; 선택지: (A) $\dfrac{A+B}{2}$, (B) $\dfrac{A-B}{2}$, (C) $\dfrac{B-A}{2}$, (D) $B-A$, (E) $A+B$

구하는 것: 두 사람이 낸 금액을 같게 만들기 위해 르로이가 베르나르도에게 줘야 하는 달러 수

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #6 추측하고 확인하기

선택지가 모두 $A$ 와 $B$ 에 대한 식이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 말을 식으로 옮깁니다. 공평한 몫은 전체의 절반인 $\dfrac{A+B}{2}$ 입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 건네는 금액을 $x$ 라 두고 $A+x=\dfrac{A+B}{2}$ 를 세우며, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $A=30,\;B=60$ 같은 실제 수를 넣어 정리한 답을 확인합니다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 1

공평한 몫 쓰기

두 사람이 합쳐서 $A+B$ 달러를 썼습니다.
똑같이 나눈다는 것은 각자 그 전체의 정확히 절반을 낸 상태가 되어야 한다는 뜻입니다.
그래서 한 사람의 공평한 몫은 $\dfrac{A+B}{2}$ 달러입니다.

$$\text{전체}=A+B \;\Rightarrow\; \text{공평한 몫}=\dfrac{A+B}{2}$$

💡 함께 쓴 비용 하나를 똑같이 나누면 각자는 전체의 정확히 절반만큼 부담합니다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 2

건네는 금액 세우기

르로이는 더 적은 금액인 $A$ 를 냈으므로 아직 낼 돈이 남아 있습니다.
그가 베르나르도에게 주는 금액을 $x$ 라 합시다.
$x$ 를 준 뒤 르로이가 자기 몫으로 낸 금액은 $A+x$ 가 되고, 이것이 공평한 몫과 같아야 합니다.
그러면 식 $A+x=\dfrac{A+B}{2}$ 이 나옵니다.

$$A + x = \dfrac{A+B}{2}$$

💡 적게 낸 사람은 절반 금액까지 부족한 만큼만 더 보태면 됩니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 3

건네는 금액 풀기

양변에서 $A$ 를 빼서 $x$ 를 남깁니다: $x=\dfrac{A+B}{2}-A$.
$A$ 를 $\dfrac{2A}{2}$ 로 써서 분모 $2$ 를 맞춘 뒤 합치면 $\dfrac{A+B-2A}{2}=\dfrac{B-A}{2}$ 입니다.
$A<B$ 이므로 이 금액은 양수이며, 그래야 맞습니다.
이는 선택지 (C)와 일치합니다.

$$x=\dfrac{A+B}{2}-A=\dfrac{A+B-2A}{2}=\dfrac{B-A}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 르로이가 더 내야 하는 금액은 두 사람이 낸 금액 차이의 정확히 절반입니다.

[1] #13 6.EE.A.2 두 사람이 합쳐서 $A+B$ 달러를 썼습니다. 똑같이 나눈다는 것은 각자 그 전체의 정확히 절반을 낸 상태가 되어야 한다는 뜻입니다. 그래서 한

[2] #4 7.EE.B.4 르로이는 더 적은 금액인 $A$ 를 냈으므로 아직 낼 돈이 남아 있습니다. 그가 베르나르도에게 주는 금액을 $x$ 라 합시다. $x$ 를 준 뒤

[3] #13 7.EE.A.1 양변에서 $A$ 를 빼서 $x$ 를 남깁니다: $x=\dfrac{A+B}{2}-A$. $A$ 를 $\dfrac{2A}{2}$ 로 써서 분모 $2

검토

합리성 확인: 건네는 금액은 양수여야 하고(르로이가 적게 냈으므로) 전체 차이 $B-A$ 보다 작아야 합니다. 차이 전부를 넘겨주면 지나쳐서 누가 더 냈는지가 뒤바뀌기 때문입니다. 답 $\dfrac{B-A}{2}$ 은 차이의 절반이라 정확히 가운데에 놓이며 양수이고 $B-A$ 보다 작습니다. 수로 확인해 봅니다: $A=30$, $B=60$ 이면 전체는 $90$, 각자 몫은 $45$ 입니다. 르로이가 $\dfrac{60-30}{2}=15$ 를 주면 그의 부담은 $45$, 베르나르도는 $60-15=45$ 로 같아집니다.

대안 접근: 식을 풀지 않고 차이로 직접 생각할 수도 있습니다. 베르나르도는 르로이보다 $B-A$ 만큼 더 냈습니다. 르로이에서 베르나르도로 1달러를 옮기면 차이가 더 벌어지고, 반대로 옮기면 좁아집니다. 둘을 같게 만들려면 르로이가 그 $B-A$ 차이의 절반을 메워야 하고, 그 값은 $\dfrac{B-A}{2}$ — 역시 선택지 (C)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구한다 (문자 $A$ 와 $B$ 로 전체 $A+B$ 와 공평한 몫 $\dfrac{A+B}{2}$ 를 쓰는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세운다 (건네는 금액 $x$ 를 두고 방정식 $A+x=\dfrac{A+B}{2}$ 을 세우는 데 사용.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 적용해 일차식을 더하고, 빼고, 인수분해하고, 전개한다 ($\dfrac{A+B}{2}-A$ 를 공통 분모로 $\dfrac{B-A}{2}$ 로 정리하는 데 사용.)

⭐ 누가 얼마를 냈는지 맞추려면, 적게 낸 사람이 두 사람이 낸 금액 차이의 절반을 건네면 됩니다.