AMC 10 · 2011 · #9

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesarea-trianglesinteger-pythagorean-triples identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에서 삼각형 ABC의 변의 길이는 AC=3, CB=4, AB=5이다. 점 D는 AB 위에, 점 E는 CB 위에 있고, 선분 DE는 AB에 수직이다. △ EBD의 넓이가 △ ABC 넓이의 정확히 1/3일 때, BD의 길이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{3}$

(B)

$\sqrt{5}$

(C)

$\frac{9}{4}$

(D)

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(E)

$\frac{5}{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 그림을 읽으면 △ EBD와 △ ABC가 B 꼭짓점을 공유하고 각각 직각(D와 C)을 하나씩 가진다는 것이 보이는데, 이것이 바로 닮은 삼각형의 조건이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 풀이를 세 조각으로 나눈다 — △ ABC의 넓이 구하기, 넓이 조건을 변의 비로 바꾸기, 그리고 BD 읽어내기. 도구 #4(변수 도입하기)로 공통 축소 비율 k에 이름을 붙이면 넓이와 변의 관계가 짧은 식이 된다.

1STEP 1

3-4-5 직각삼각형 알아보기

3, 4, 5는 3²+4² = 25 = 5²를 만족하므로 △ ABC는 가장 긴 변 AB=5의 맞은편 C에서 직각이다.

3² + 4² = 25 = 5² → ∠ C = 90°

2STEP 2

큰 삼각형의 넓이

직각변 CA=3, CB=4로 [△ ABC] = 1/2·3·4 = 6이므로 [△ EBD] = 1/3·6 = 2이다.

[△ ABC] = 1/2 · 3 · 4 = 6, [△ EBD] = 1/3 · 6 = 2

3STEP 3

닮은 삼각형 찾기

DE ⊥ AB에서 ∠ BDE = 90° = ∠ BCA이고 ∠ B는 공유하므로 AA로 △ BDE ∼ △ BCA, BD는 BC에 대응.

∠ BDE = ∠ BCA = 90°, ∠ B 공유 → △ BDE ∼ △ BCA

4STEP 4

넓이의 비로 축소 비율 구하기

넓이는 변의 비 k = BD/BC의 제곱으로 변하므로 k² = 2/6 = 1/3이다.

k² = ([△ EBD])/([△ ABC]) = 2/6 = 1/3

5STEP 5

BD 구하기

제곱근을 취하면 k = 1/√3이므로 BD = 4·1/√3 = 4√3/3, 선택지 (D).

k = 1/√3, BD = 4·1/√3 = 4/√3 = 4√3/3 → (D)

정답

4√(3)/3

BD = 4√3/3≈ 2.31로 BC=4보다도, AB=5보다도 작으므로 D는 A와 B 사이에 자연스럽게 놓인다. 넓이로 직접 확인하면 DE = CA · k = 3·1/√3 = √3이므로 [△ EBD] = 1/2 · BD · DE = 1/2·4/√3·√3 = 2로, 6의 정확히 1/3이다. 선택지 (D)가 확인된다.

💡핵심 정리

모양이 같은 삼각형은 넓이가 변의 비의 제곱만큼 커지니, 넓이를 맞추고 제곱근을 취한 뒤 아는 변에 곱하면 된다.

3-4-5 직각삼각형 알아보기
큰 삼각형의 넓이
닮은 삼각형 찾기
넓이의 비로 축소 비율 구하기
BD 구하기

3-4-5 직각삼각형 알아보기

큰 삼각형의 넓이

닮은 삼각형 찾기

넓이의 비로 축소 비율 구하기

BD 구하기

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