AMC 10 · 2011 · #9

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesarea-trianglesinteger-pythagorean-triples identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

$\triangle$ $EBD$ 의 넓이는 $\triangle$ $ABC$ 의 넓이의 $\frac{1}{3}$ 이다. 선분 $DE$ 는 선분 $AB$ 에 수직이다. $BD$ 의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{3}$

(B)

$\sqrt{5}$

(C)

$\frac{9}{4}$

(D)

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(E)

$\frac{5}{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 그림에서 삼각형 $ABC$의 변의 길이는 $AC=3$, $CB=4$, $AB=5$이다. 점 $D$는 $AB$ 위에 있고, 점 $E$는 선분 $DE$가 $AB$에 수직이 되도록 잡는다. $\triangle EBD$의 넓이가 $\triangle ABC$ 넓이의 정확히 $\tfrac13$일 때, $BD$의 길이를 구하라.

주어진 것: $\triangle ABC$에서 $AC=3$, $CB=4$, $AB=5$; $DE \perp AB$이고 $D$는 선분 $AB$ 위에 있다(직각이 $D$에 표시됨); $[\triangle EBD] = \tfrac13\,[\triangle ABC]$; 선택지: (A) $\tfrac{4}{3}$, (B) $\sqrt5$, (C) $\tfrac{9}{4}$, (D) $\tfrac{4\sqrt3}{3}$, (E) $\tfrac{5}{2}$

구하는 것: 선분 $BD$의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 그림을 읽으면 $\triangle EBD$와 $\triangle ABC$가 $B$ 꼭짓점을 공유하고 각각 직각($D$와 $C$)을 하나씩 가진다는 것이 보이는데, 이것이 바로 닮은 삼각형의 조건이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 풀이를 세 조각으로 나눈다 — $\triangle ABC$의 넓이 구하기, 넓이 조건을 변의 비로 바꾸기, 그리고 $BD$ 읽어내기. 도구 #4(변수 도입하기)로 공통 축소 비율 $k$에 이름을 붙이면 넓이와 변의 관계가 짧은 식이 된다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

3-4-5 직각삼각형 알아보기

$\triangle ABC$의 세 변은 $3$, $4$, $5$이다.
피타고라스 관계를 확인하면 $3^2+4^2 = 9+16 = 25 = 5^2$이므로 이 삼각형은 직각삼각형이고, 직각은 가장 긴 변 $AB=5$의 맞은편인 $C$에 있다.

$$3^2 + 4^2 = 25 = 5^2 \;\Rightarrow\; \angle C = 90^\circ$$

💡 세 변이 $a^2+b^2=c^2$를 만족하면 가장 긴 변의 맞은편 꼭짓점이 정확히 직각이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

큰 삼각형의 넓이

직각이 $C$에 있으므로 두 변 $CA=3$과 $CB=4$는 서로 수직이어서 밑변과 높이가 된다.
따라서 $\triangle ABC$의 넓이는 $\tfrac12\cdot 3\cdot 4 = 6$이다.
목표인 $\triangle EBD$는 그 넓이의 $\tfrac13$이므로 $\tfrac13\cdot 6 = 2$이다.

$$[\triangle ABC] = \tfrac12\cdot 3\cdot 4 = 6, \quad [\triangle EBD] = \tfrac13\cdot 6 = 2$$

💡 직각삼각형에서는 두 직각변이 이미 밑변과 높이 역할을 하므로 넓이는 그 곱의 절반이다.

#1 그림 그리기 8.G.A.4 단계 3

닮은 삼각형 찾기

$DE\perp AB$이므로 $\triangle BDE$에서 $D$의 각은 $90^\circ$이고, 이는 $\triangle BCA$에서 $C$의 직각과 같다.
또 두 삼각형은 $B$의 각을 공유한다.
두 쌍의 각이 같으므로 AA 닮음으로 $\triangle BDE \sim \triangle BCA$이다.
꼭짓점을 맞추면 $BD$는 $BC$에, $DE$는 $CA$에 대응한다.

$$\angle BDE = \angle BCA = 90^\circ,\; \angle B \text{ 공유} \;\Rightarrow\; \triangle BDE \sim \triangle BCA$$

💡 공유하는 각 하나에 직각 하나가 더해지면 세 번째 각도 자동으로 같아져 두 삼각형은 같은 모양이 된다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 4

넓이의 비로 축소 비율 구하기

닮은 삼각형에서 넓이의 비는 대응하는 변의 비의 제곱과 같다.
그 변의 비를 $k = \tfrac{BD}{BC}$라 하면, $k^2$은 넓이의 비 $\tfrac{[\triangle EBD]}{[\triangle ABC]} = \tfrac{2}{6} = \tfrac13$과 같다.

$$k^2 = \dfrac{[\triangle EBD]}{[\triangle ABC]} = \dfrac{2}{6} = \dfrac13$$

💡 모든 변을 $k$배로 줄이면 넓이는 $k^2$배로 줄어들므로 넓이의 비는 변의 비의 제곱이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

BD 구하기

제곱근을 취하면 $k = \tfrac{1}{\sqrt3}$이다.
$k = \tfrac{BD}{BC}$이고 $BC=4$이므로 곱하면 $BD = 4\cdot\tfrac{1}{\sqrt3} = \tfrac{4}{\sqrt3}$이다.
분모를 유리화하면 $\tfrac{4\sqrt3}{3}$이 되고, 이는 선택지 (D)이다.

$$k = \dfrac{1}{\sqrt3},\quad BD = 4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{4}{\sqrt3} = \dfrac{4\sqrt3}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 제곱을 제곱근으로 되돌린 뒤 그 비율로 $BC$를 다시 조정하면 $BD$에 이른다.

[1] #1 8.G.B.7 $\triangle ABC$의 세 변은 $3$, $4$, $5$이다. 피타고라스 관계를 확인하면 $3^2+4^2 = 9+16 = 25 = 5^2

[2] #7 6.G.A.1 직각이 $C$에 있으므로 두 변 $CA=3$과 $CB=4$는 서로 수직이어서 밑변과 높이가 된다. 따라서 $\triangle ABC$의 넓이는

[3] #1 8.G.A.4 $DE\perp AB$이므로 $\triangle BDE$에서 $D$의 각은 $90^\circ$이고, 이는 $\triangle BCA$에서 $C$

[4] #4 8.G.A.4 닮은 삼각형에서 넓이의 비는 대응하는 변의 비의 제곱과 같다. 그 변의 비를 $k = \tfrac{BD}{BC}$라 하면, $k^2$은 넓이의

[5] #4 8.EE.A.2 제곱근을 취하면 $k = \tfrac{1}{\sqrt3}$이다. $k = \tfrac{BD}{BC}$이고 $BC=4$이므로 곱하면 $BD = 4

검토

합리성 확인: $BD = \tfrac{4\sqrt3}{3}\approx 2.31$로 $BC=4$보다도, $AB=5$보다도 작으므로 $D$는 $A$와 $B$ 사이에 자연스럽게 놓인다. 넓이로 직접 확인하면 $DE = CA\cdot k = 3\cdot\tfrac{1}{\sqrt3} = \sqrt3$이므로 $[\triangle EBD] = \tfrac12\cdot BD\cdot DE = \tfrac12\cdot\tfrac{4}{\sqrt3}\cdot\sqrt3 = 2$로, $6$의 정확히 $\tfrac13$이다. 선택지 (D)가 확인된다.

대안 접근: 넓이 비 규칙을 쓰지 않고 모양을 직접 이용할 수도 있다. $\triangle BDE$의 두 변은 $\tfrac{DE}{BD} = \tfrac{CA}{CB} = \tfrac34$을 만족하므로 $DE = \tfrac34\,BD$이다. 넓이를 $2$로 두면 $\tfrac12\cdot BD\cdot\tfrac34 BD = \tfrac{3}{8}BD^2 = 2$이고, $BD^2 = \tfrac{16}{3}$, $BD = \tfrac{4}{\sqrt3} = \tfrac{4\sqrt3}{3}$으로 같은 답 (D)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 실생활 및 수학 문제에서 직각삼각형의 미지 변 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리를 적용하기 ($3$-$4$-$5$ 삼각형 $ABC$가 $C$에서 직각임을 확인하는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분할·합성으로 구하기 ($[\triangle ABC] = \tfrac12\cdot 3\cdot 4 = 6$과 목표 넓이 $2$를 계산하는 데 사용.)
8.G.A.4 한 평면도형이 회전·반사·평행이동·확대축소의 연속으로 다른 도형으로 옮겨지면 두 도형이 닮음임을 이해하기 (AA로 $\triangle BDE \sim \triangle BCA$를 세우고 넓이 비 $=$ (변의 비)$^2$을 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해를 나타내고 작은 완전제곱수의 제곱근을 계산하기 ($k=\sqrt{1/3}=\tfrac{1}{\sqrt3}$을 취하고 유리화하여 $BD=\tfrac{4\sqrt3}{3}$을 얻는 데 사용.)

⭐ 모양이 같은 삼각형은 넓이가 변의 비의 제곱만큼 커지니, 넓이를 맞추고 제곱근을 취한 뒤 아는 변에 곱하면 된다.