AMC 10 · 2012 · #11

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
tangent-circlessimilar-trianglesratio-proportion physical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 원이 밖에서 서로 맞닿아 있습니다. 하나는 중심이 A이고 반지름이 5, 다른 하나는 중심이 B이고 반지름이 3입니다. 한 직선이 두 원에 모두 바깥쪽에서 접하고 반직선 AB와 점 C에서 만납니다. 길이 BC를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
4.8
(C)
10.2
(D)
12
(E)
14.4

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

접선과 원이 나오는 문제는 그림을 그리면 쉬워집니다. 두 접점으로 반지름을 그으면 점 C를 공유하는 두 직각삼각형이 드러납니다. 이 두 삼각형은 모양이 같으므로, 대응하는 변의 비가 전체 그림을 BC에 대한 하나의 작은 식으로 바꿔 줍니다.

1STEP 1

그림 그리기

접선이 원 A에 닿는 점을 P, 원 B에 닿는 점을 Q라 하면 AP = 5, BQ = 3은 접선과 수직이고 AB = 8입니다.

AP = 5, BQ = 3, AP ⊥ PC, BQ ⊥ QC, AB = 8
2STEP 2

두 삼각형 찾기

삼각형 CAP와 CBQ는 C에서 각을 공유하고 P와 Q에서 직각을 가지므로 서로 닮음입니다.

∠ C = ∠ C, ∠ APC = ∠ BQC = 90° → △ CBQ ∼ △ CAP
3STEP 3

비 읽어 내기

닮은 삼각형의 대응변은 비가 같으므로 CB : CA = BQ : AP = 3 : 5입니다.

CB/CA = BQ/AP = 3/5
4STEP 4

BC에 이름 붙이고 C의 위치 정하기

BC = x라 하면 접선은 작은 원 쪽으로 기울어 C가 B 너머에 놓이므로 CA = 8 + x입니다.

BC = x, CA = AB + BC = 8 + x
5STEP 5

식 풀기

x / (8 + x) = 3 / 5에서 교차 곱셈하면 5x = 24 + 3x, 즉 2x = 24이므로 x = 12입니다.

x/(8 + x) = 3/5 → 5x = 24 + 3x → 2x = 24 → x = 12
정답
12
비를 확인해 봅시다. BC = 12이면 CA = 8 + 12 = 20이고, 12/20 = 3/5로 정확히 반지름의 비와 같으므로 닮음 관계가 성립합니다. C도 예상대로 작은 원 쪽 B 너머에 있고, 12는 보기에 있는 값이므로 답 (D)와 일치합니다.
💡핵심 정리

선이 각 원에 닿는 곳으로 반지름을 그으면 짝을 이루는 직각삼각형이 보이고, 변의 간단한 비가 길이를 알려 줍니다.

  • 그림 그리기
  • 두 삼각형 찾기
  • 비 읽어 내기
  • BC에 이름 붙이고 C의 위치 정하기
  • 식 풀기

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