AMC 10 · 2012 · #11

학년 8 geometry-2d

tangent-circlessimilar-trianglesratio-proportion physical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

중심이 각각 점 $A$ 와 $B$ 에 있고 서로 외접하는 두 원의 반지름의 길이가 각각 $5$ 와 $3$ 이다. 두 원에 모두 외접하는 직선이 반직선 $AB$ 와 점 $C$ 에서 만난다. $BC$ 의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.8

(C)

10.2

(D)

(E)

14.4

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 원이 밖에서 서로 맞닿아 있습니다. 하나는 중심이 A이고 반지름이 5, 다른 하나는 중심이 B이고 반지름이 3입니다. 한 직선이 두 원에 모두 바깥쪽에서 접하고 반직선 AB와 점 C에서 만납니다. 길이 BC를 구하세요.

주어진 것: 원 A의 반지름은 5, 원 B의 반지름은 3입니다.; 두 원은 외접합니다. 즉 한 점에서 맞닿고 어느 원도 다른 원 안에 들어가 있지 않습니다.; 한 직선이 두 원에 모두 접합니다(각 원에 한 번씩 닿는 외접선입니다).; 그 접선이 반직선 AB와 점 C에서 만납니다.

구하는 것: 중심 B에서 만나는 점 C까지의 거리 BC.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기

접선과 원이 나오는 문제는 그림을 그리면 쉬워집니다. 두 접점으로 반지름을 그으면 점 C를 공유하는 두 직각삼각형이 드러납니다. 이 두 삼각형은 모양이 같으므로, 대응하는 변의 비가 전체 그림을 BC에 대한 하나의 작은 식으로 바꿔 줍니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

그림 그리기

접선이 원 A에 닿는 점을 P, 원 B에 닿는 점을 Q라고 합시다.
반지름 AP와 반지름 BQ를 그립니다.
반지름은 접선과 직각으로 만나므로 AP와 BQ는 모두 같은 직선과 수직이고, 따라서 AP와 BQ는 평행하며 길이는 각각 5와 3입니다.
두 원이 외접하므로 두 중심은 AB = 5 + 3 = 8 만큼 떨어져 있습니다.

$$AP = 5,\quad BQ = 3,\quad AP \perp PC,\quad BQ \perp QC,\quad AB = 8$$

💡 접점으로 반지름을 그으면 나머지 풀이를 가능하게 하는 직각들이 드러납니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

두 삼각형 찾기

큰 원을 지나는 삼각형 CAP와 작은 원을 지나는 삼각형 CBQ를 봅시다.
둘 다 점 C를 포함하므로 C에서의 각을 공유합니다.
또한 각각 P와 Q에서 직각을 가집니다.
두 각이 같으면 나머지 한 각도 같아지므로 두 삼각형은 모양이 같습니다(닮음).

$$\angle C = \angle C,\quad \angle APC = \angle BQC = 90^\circ \ \Rightarrow\ \triangle CBQ \sim \triangle CAP$$

💡 두 삼각형이 두 각에서 일치하면 크기만 다를 뿐 반드시 같은 모양입니다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 3

비 읽어 내기

모양이 같은 삼각형은 대응하는 변의 비가 같습니다.
작은 삼각형의 변 BQ = 3은 큰 삼각형의 AP = 5에 대응하고, 변 CB는 변 CA에 대응합니다.
따라서 이 대응하는 변들의 비는 같아서 CB 대 CA가 3 대 5입니다.

$$\dfrac{CB}{CA} = \dfrac{BQ}{AP} = \dfrac{3}{5}$$

💡 닮은 삼각형에서는 대응하는 모든 변이 똑같은 비율로 줄어듭니다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

BC에 이름 붙이고 C의 위치 정하기

BC = x라고 합시다.
작은 원의 반지름이 더 작으므로 접선은 그쪽으로 기울어 중심선을 B 너머에서 가로지릅니다.
그래서 반직선 위의 순서는 A, 그다음 B, 그다음 C입니다.
즉 CA는 A에서 C까지의 전체 길이이므로 AB에 BC를 더한 것과 같습니다: CA = 8 + x.

$$BC = x,\qquad CA = AB + BC = 8 + x$$

💡 접선은 더 작은 원 쪽으로 기울므로 만나는 점은 더 작은 중심 바로 너머에 놓입니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 5

식 풀기

비와 길이를 함께 놓습니다: x를 (8 + x)로 나눈 것이 3을 5로 나눈 것과 같습니다.
교차 곱셈하면 5x = 3(8 + x) = 24 + 3x 입니다.
양변에서 3x를 빼면 2x = 24, 따라서 x = 12 입니다.
그러므로 BC = 12이고, 답은 (D)입니다.

$$\dfrac{x}{8 + x} = \dfrac{3}{5} \ \Rightarrow\ 5x = 24 + 3x \ \Rightarrow\ 2x = 24 \ \Rightarrow\ x = 12$$

💡 변의 비를 하나의 식으로 바꾸면 한 줄의 대수로 BC를 정확히 찾을 수 있습니다.

[1] #1 4.G.A.1 접선이 원 A에 닿는 점을 P, 원 B에 닿는 점을 Q라고 합시다. 반지름 AP와 반지름 BQ를 그립니다. 반지름은 접선과 직각으로 만나므로 A

[2] #7 8.G.A.5 큰 원을 지나는 삼각형 CAP와 작은 원을 지나는 삼각형 CBQ를 봅시다. 둘 다 점 C를 포함하므로 C에서의 각을 공유합니다. 또한 각각 P와

[3] #4 7.RP.A.2 모양이 같은 삼각형은 대응하는 변의 비가 같습니다. 작은 삼각형의 변 BQ = 3은 큰 삼각형의 AP = 5에 대응하고, 변 CB는 변 CA에

[4] #4 7.EE.B.4 BC = x라고 합시다. 작은 원의 반지름이 더 작으므로 접선은 그쪽으로 기울어 중심선을 B 너머에서 가로지릅니다. 그래서 반직선 위의 순서는

[5] #13 7.EE.B.4 비와 길이를 함께 놓습니다: x를 (8 + x)로 나눈 것이 3을 5로 나눈 것과 같습니다. 교차 곱셈하면 5x = 3(8 + x) = 24 +

검토

합리성 확인: 비를 확인해 봅시다. BC = 12이면 CA = 8 + 12 = 20이고, 12/20 = 3/5로 정확히 반지름의 비와 같으므로 닮음 관계가 성립합니다. C도 예상대로 작은 원 쪽 B 너머에 있고, 12는 보기에 있는 값이므로 답 (D)와 일치합니다.

대안 접근: 외접선의 닮음 중심을 바로 쓸 수도 있습니다. 두 원의 두 외접선은 직선 AB 위에서 반지름의 비 5 : 3으로 외분하는 점에서 만납니다. CA : CB = 5 : 3 이고 CA - CB = AB = 8이므로 CB(5/3 - 1) = 8, 즉 CB(2/3) = 8이 되어 CB = 12로, 삼각형 방법과 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점, 선, 반직선, 각, 수직선을 그리고 도형에서 식별하기 (접점으로 반지름을 그리고 반지름이 접선과 수직임을 알아내어 P와 Q에서 직각을 만들기.)
8.G.A.5 삼각형 닮음의 각-각 판정 등 비형식적 논증 사용하기 (삼각형 CBQ와 CAP가 C에서의 각을 공유하고 각각 직각을 가지므로 각-각으로 닮음임을 논증하기.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계를 인식하고 나타내기 (닮은 삼각형에서 대응하는 변의 같은 비 CB/CA = BQ/AP = 3/5 를 읽어 내기.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 식을 세워 문제 풀기 (BC = x로 이름 붙이고 CA = 8 + x로 쓴 뒤 비례식 x/(8+x) = 3/5를 x에 대해 풀기.)

⭐ 선이 각 원에 닿는 곳으로 반지름을 그으면 짝을 이루는 직각삼각형이 보이고, 변의 간단한 비가 길이를 알려 줍니다.