AMC 10 · 2012 · #14

학년 4 counting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

pattern-recognitionparity parity-coloringsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

처비는 각 변에 정사각형 칸이 $31$ 개씩 있는 특이한 체커보드를 만든다. 이 체커보드는 네 모서리가 모두 검은 칸이고, 각 행과 열을 따라 빨간 칸과 검은 칸이 번갈아 나타난다. 이러한 체커보드에는 검은 칸이 몇 개 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

480

(B)

481

(C)

482

(D)

483

(E)

484

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 체커판의 가로와 세로가 각각 $31$칸이다. 네 모서리 칸은 모두 검은색이고, 각 행과 각 열을 따라 검은색과 빨간색이 번갈아 나온다. 이 판 전체에 검은 칸이 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 판은 $31\times31$ 칸으로 이루어진 격자이다.; 네 모서리 칸은 모두 검은색이다.; 모든 행과 모든 열을 따라 빨간색과 검은색이 번갈아 나온다.; 선택지: (A) $480$, (B) $481$, (C) $482$, (D) $483$, (E) $484$.

구하는 것: $31\times31$ 판에 있는 검은 칸의 총 개수.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

$31\times31$ 판 전체를 한 칸씩 세기에는 너무 크므로, 도구 #5(패턴 찾기)로 반복되는 규칙으로 바꾼다. 각 행은 번갈아 색이 나오는 띠일 뿐이고, 한 행의 검은 칸 수는 양 끝의 색만으로 정해진다. 도구 #1(그림 그리기)로 작은 홀수 판에서 이 규칙을 먼저 확인하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $31$개의 행을 검은색으로 끝나는 행과 빨간색으로 끝나는 행 두 무리로 나누면 세고 더하기가 쉬워진다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 2.OA.C.4 단계 1

작은 홀수 판 그려 보기

작은 홀수 판, 예를 들어 $3\times3$ 판에 네 모서리를 검은색으로 그려 보자.
아무 행이나 읽으면 검은색, 빨간색, 검은색이 되어 길이가 홀수이므로 검은색으로 시작해 검은색으로 끝난다.
$31$칸 너비의 판에서도 똑같다.
$31$은 홀수이므로 모든 행은 양 끝 칸과 같은 색으로 시작하고 끝난다.

$$3\times3\text{ 행: } \blacksquare\,\square\,\blacksquare$$

💡 길이가 홀수인 띠는 항상 시작한 색과 같은 색으로 끝난다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

행 종류별 검은 칸 세기

검은색으로 시작해 검은색으로 끝나는 $31$칸 행은 검은색, 빨간색, 검은색, 빨간색, ...
, 검은색 모양이다.
검은색과 빨간색이 번갈아 나오고 검은 칸이 빨간 칸보다 하나 더 많으므로, $31$칸은 검은색 $16$칸과 빨간색 $15$칸으로 나뉜다.
빨간색으로 시작해 빨간색으로 끝나는 행은 그 반대라서 검은색 $15$칸, 빨간색 $16$칸이다.
그래서 모든 행은 검은 칸이 $16$개 아니면 $15$개다.

$$\text{검은색 끝 행}=16\text{ 검은 칸},\quad \text{빨간색 끝 행}=15\text{ 검은 칸}$$

💡 길이가 홀수인 번갈아 띠에서는 양 끝의 색이 다른 색보다 정확히 하나 더 많이 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.C.3 단계 3

각 종류의 행이 몇 개인지 세기

맨 왼쪽 열도 번갈아 나오며 맨 위 모서리에서 검은색으로 시작하므로, 검은색으로 시작하는 행은 $1,3,5,\ldots,31$번째 행이고 빨간색으로 시작하는 행은 $2,4,6,\ldots,30$번째 행이다.
$1$부터 $31$까지의 수 중 홀수 번호는 $16$개, 짝수 번호는 $15$개다.
그러므로 검은색 끝 행이 $16$개, 빨간색 끝 행이 $15$개다.

$$16\text{ 검은색 끝 행},\quad 15\text{ 빨간색 끝 행}$$

💡 모서리 색이 홀수 번째 행을 표시하니, $31$까지의 홀수와 짝수를 세면 행이 나뉜다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 4

각 무리 곱하기

각 행 종류의 개수에 그 종류가 내놓는 검은 칸 수를 곱한다.
검은색 끝 행 $16$개는 검은 칸 $16\times16=256$개를 내놓고, 빨간색 끝 행 $15$개는 검은 칸 $15\times15=225$개를 내놓는다.

$$16\times16=256,\quad 15\times15=225$$

💡 크기가 같은 무리는 긴 세기를 두 번의 빠른 곱셈으로 바꿔 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

두 무리 더하기

두 무리의 검은 칸을 더한다: $256+225=481$.
이것이 판 위 검은 칸의 총 개수이며 선택지 (B)이다.
가까운 선택지들은 사소한 실수에서 나온다.
남는 한 칸을 빨간색에 주면 $480$이 되고, 어떤 행을 잘못 세면 $482$ 이상이 된다.

$$256+225=481\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 두 행 무리는 겹치지 않으므로 검은 칸 수를 그대로 더하면 된다.

[1] #1 2.OA.C.4 작은 홀수 판, 예를 들어 $3\times3$ 판에 네 모서리를 검은색으로 그려 보자. 아무 행이나 읽으면 검은색, 빨간색, 검은색이 되어 길이

[2] #5 4.OA.C.5 검은색으로 시작해 검은색으로 끝나는 $31$칸 행은 검은색, 빨간색, 검은색, 빨간색, ... , 검은색 모양이다. 검은색과 빨간색이 번갈아 나

[3] #7 2.OA.C.3 맨 왼쪽 열도 번갈아 나오며 맨 위 모서리에서 검은색으로 시작하므로, 검은색으로 시작하는 행은 $1,3,5,\ldots,31$번째 행이고 빨간색

[4] #7 4.NBT.B.5 각 행 종류의 개수에 그 종류가 내놓는 검은 칸 수를 곱한다. 검은색 끝 행 $16$개는 검은 칸 $16\times16=256$개를 내놓고, 빨

[5] #7 4.NBT.B.4 두 무리의 검은 칸을 더한다: $256+225=481$. 이것이 판 위 검은 칸의 총 개수이며 선택지 (B)이다. 가까운 선택지들은 사소한 실수

검토

합리성 확인: 판에는 모두 $31^2=961$개의 칸이 있다. 이 총합은 홀수이므로 검은색과 빨간색이 똑같이 나뉠 수 없고, 한 색이 남는 한 칸을 가져가야 한다. 네 모서리가 모두 검은색이므로 남는 칸을 가져가는 색은 검은색이고, 검은 칸은 $\dfrac{961+1}{2}=481$개가 된다. 이것은 행별로 센 결과와 일치한다. 함정 선택지 $480$은 정확히 $\dfrac{961-1}{2}$로, 남는 칸을 빨간색에 잘못 주었을 때 나온다.

대안 접근: 행을 세지 않고 홀짝성만 써도 된다. 홀수 곱하기 홀수 판에서는 모서리 색이 $\dfrac{n^2+1}{2}$칸을 차지한다. $n=31$이면 $\dfrac{961+1}{2}=481$로 한 번에 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.C.4 Use addition to find the total number of objects in rectangular arrays (체커판을 $31$칸짜리 행 $31$개로 보고 각 행을 순서 있는 띠로 읽는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (번갈아 나오는 색 규칙으로 홀수 길이 행이 한 색 $16$칸, 다른 색 $15$칸을 가짐을 알아내는 데 사용.)
2.OA.C.3 Determine whether a group of objects has an odd or even number ($1$부터 $31$까지의 행 중 홀수 번째(검은색 끝) 행 $16$개와 짝수 번째(빨간색 끝) 행 $15$개를 세는 데 사용.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (두 행 무리에 대해 $16\times16=256$과 $15\times15=225$를 계산하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (두 행 무리의 검은 칸을 합치기 위해 $256+225=481$을 더하는 데 사용.)

⭐ 홀수 곱하기 홀수 판에서는 모서리에 놓인 색이 전체 칸의 절반보다 정확히 하나 더 많이 차지한다.