AMC 10 · 2012 · #22

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
difference-of-squaressequences-arithmeticdivisor-count convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
처음 m개의 홀수를 모두 더하고, 따로 처음 n개의 짝수를 모두 더합니다. 홀수의 합이 짝수의 합보다 212만큼 더 큽니다. 이것이 가능하게 하는 모든 자연수 n을 찾은 뒤, 그 n 값들을 모두 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
255
(B)
256
(C)
257
(D)
258
(E)
259

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

두 합은 깔끔한 공식으로 나타낼 수 있어서 문장 전체가 하나의 방정식이 됩니다. 핵심은 그 방정식을 두 제곱의 차로 바꾸는 것입니다. 그러면 남는 수 847은 약수의 짝이 몇 개뿐이고, 각 짝이 하나의 n 값을 가리킵니다. 그래서 순서는 합을 공식으로 바꾸고, 방정식을 세우고, 인수분해하고, 유한한 경우들을 나열하는 것입니다.

1STEP 1

각 합을 공식으로 바꾸기

홀수는 1, 4, 9처럼 제곱수로, 짝수는 1x2, 2x3, 3x4로 쌓이니 합은 m의 제곱과 n(n+1)입니다.

1+3+5+…+(2m-1) = m², 2+4+6+…+2n = n(n+1)
2STEP 2

방정식 세우기

홀수의 합이 212만큼 크므로 m의 제곱 = n(n+1) + 212, 전개하면 m의 제곱 = n의 제곱 + n + 212입니다.

m² = n(n+1) + 212 = n² + n + 212
3STEP 3

두 제곱의 차로 바꾸기

양변에 4를 곱해 완전제곱을 만들면 (2m)의 제곱 빼기 (2n+1)의 제곱 = 847이 됩니다.

4m² = 4n²+4n+848 = (2n+1)² + 847 → (2m)² - (2n+1)² = 847
4STEP 4

인수분해하고 약수의 짝 나열하기

인수분해하면 (2m-2n-1)(2m+2n+1) = 847 = 7x11x11이므로 짝은 1x847, 7x121, 11x77뿐입니다.

(2m-2n-1)(2m+2n+1) = 847 = 7 · 11²; 짝: 1 × 847, 7 × 121, 11 × 77
5STEP 5

각 짝에서 n을 구하고 더하기

큰 인수에서 작은 인수를 빼면 4n+2이므로 n = 211, 28, 16이고, 모두 정수 m을 주니 합은 255입니다.

4n+2 = (큰 인수) - (작은 인수) → n = 211, 28, 16; 211+28+16 = 255
정답
255
가장 큰 경우를 확인해 봅시다. n = 211이면 짝수의 합은 211 x 212 = 44732이고, m = 212이면 홀수의 합은 212의 제곱 = 44944이므로 그 차는 44944 - 44732 = 212로 정확히 조건과 맞습니다. n = 28 (m = 32)과 n = 16 (m = 22)도 같은 방식으로 확인됩니다. 세 개의 성립하는 n 값이 255로 더해지므로 보기 (A)와 일치합니다. 가까운 보기 256부터 259까지는 각각 847의 약수 짝이 주지 못하는 추가되거나 어긋난 해가 있어야 합니다.
💡핵심 정리

'홀수의 합은 제곱수', '짝수의 합은 n(n+1)'을 하나의 방정식으로 바꾸고, 4를 곱해 두 제곱의 차를 만들면, 847의 몇 안 되는 약수 짝이 가능한 모든 n을 알려 줍니다.

  • 각 합을 공식으로 바꾸기
  • 방정식 세우기
  • 두 제곱의 차로 바꾸기
  • 인수분해하고 약수의 짝 나열하기
  • 각 짝에서 n을 구하고 더하기

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