AMC 10 · 2012 · #22

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

difference-of-squaressequences-arithmeticdivisor-count convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

처음 $m$ 개의 양의 홀수의 합은 처음 $n$ 개의 양의 짝수의 합보다 $212$ 만큼 크다. 가능한 모든 $n$ 의 값의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

255

(B)

256

(C)

257

(D)

258

(E)

259

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 처음 m개의 홀수를 모두 더하고, 따로 처음 n개의 짝수를 모두 더합니다. 홀수의 합이 짝수의 합보다 212만큼 더 큽니다. 이것이 가능하게 하는 모든 자연수 n을 찾은 뒤, 그 n 값들을 모두 더하세요.

주어진 것: 처음 m개의 양의 홀수(1, 3, 5, ...)의 합을 비교합니다.; 처음 n개의 양의 짝수(2, 4, 6, ...)의 합이 다른 한쪽 값입니다.; 홀수의 합이 짝수의 합보다 정확히 212만큼 큽니다.; m과 n은 양의 정수입니다.

구하는 것: 가능한 모든 n의 값.; 그 가능한 n 값들의 합.

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

두 합은 깔끔한 공식으로 나타낼 수 있어서 문장 전체가 하나의 방정식이 됩니다. 핵심은 그 방정식을 두 제곱의 차로 바꾸는 것입니다. 그러면 남는 수 847은 약수의 짝이 몇 개뿐이고, 각 짝이 하나의 n 값을 가리킵니다. 그래서 순서는 합을 공식으로 바꾸고, 방정식을 세우고, 인수분해하고, 유한한 경우들을 나열하는 것입니다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

각 합을 공식으로 바꾸기

처음 홀수들은 완전제곱수로 쌓입니다: 1 = 1, 1+3 = 4, 1+3+5 = 9.
그래서 처음 m개의 홀수의 합은 m의 제곱입니다.
처음 짝수들은 다르게 쌓입니다: 2 = 1x2, 2+4 = 2x3, 2+4+6 = 3x4.
그래서 처음 n개의 짝수의 합은 n(n+1)입니다.

$$1+3+5+\cdots+(2m-1) = m^2, \qquad 2+4+6+\cdots+2n = n(n+1)$$

💡 홀수나 짝수를 죽 이어 더하는 것은 정해진 규칙을 따르므로 각 합이 하나의 짧은 공식으로 모입니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

방정식 세우기

홀수의 합이 짝수의 합보다 212만큼 크므로, 홀수 공식을 짝수 공식에 212를 더한 것과 같게 놓습니다: m의 제곱 = n(n+1) + 212.
오른쪽을 전개하면 m의 제곱 = n의 제곱 + n + 212가 됩니다.

$$m^2 = n(n+1) + 212 = n^2 + n + 212$$

💡 두 개수를 m과 n으로 이름 붙이면 문장 전체가 하나의 정확한 방정식으로 바뀝니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 3

두 제곱의 차로 바꾸기

혼자 남은 n이 다루기 어려우므로, 방정식 전체에 4를 곱해 완전제곱을 만들어 냅니다: 4m의 제곱 = 4n의 제곱 + 4n + 848.
4n의 제곱 + 4n + 1 = (2n+1)의 제곱이므로, 4n의 제곱 + 4n은 (2n+1)의 제곱에서 1을 뺀 것과 같습니다.
그러면 4m의 제곱 = (2n+1)의 제곱 + 847이 남습니다.
제곱을 옮기면 (2m)의 제곱 빼기 (2n+1)의 제곱 = 847, 즉 두 제곱의 차가 됩니다.

$$4m^2 = 4n^2+4n+848 = (2n+1)^2 + 847 \ \Rightarrow\ (2m)^2 - (2n+1)^2 = 847$$

💡 4를 곱하면 지저분한 n 항에서 완전제곱이 짜여 나와 깔끔한 두 제곱의 차가 드러납니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

인수분해하고 약수의 짝 나열하기

두 제곱의 차는 곱으로 갈라집니다: (2m - (2n+1))(2m + (2n+1)) = 847.
m과 n이 양수이므로 두 인수는 모두 양의 정수이고 두 번째가 더 큽니다.
그래서 이 둘은 847의 약수 짝을 이룹니다.
847 = 7 x 11 x 11이므로 그 약수 짝은 1 x 847, 7 x 121, 11 x 77입니다.

(2m-2n-1)(2m+2n+1) = 847 = 7\cdot 11^2; \quad \text{짝: } 1\times 847,\ 7\times 121,\ 11\times 77

💡 두 정수를 곱해 847이 되면, 답은 847의 몇 안 되는 약수 짝 중 하나에 숨어 있을 수밖에 없습니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 5

각 짝에서 n을 구하고 더하기

어느 짝이든 큰 인수에서 작은 인수를 빼면 (2m+2n+1) - (2m-2n-1) = 4n + 2가 됩니다.
1과 847에서: 4n+2 = 846이므로 n = 211.
7과 121에서: 4n+2 = 114이므로 n = 28.
11과 77에서: 4n+2 = 66이므로 n = 16.
각 짝은 정수 m(212, 32, 22)도 주므로 세 n 값이 모두 성립합니다.
이들을 더하면 211 + 28 + 16 = 255, 즉 답은 (A)입니다.

4n+2 = (\text{큰 인수}) - (\text{작은 인수}) \Rightarrow n = 211,\ 28,\ 16; \quad 211+28+16 = 255

💡 짝을 이룬 두 인수를 빼면 m이 사라지고 n만 남아서, 각 약수 짝이 정확히 하나의 n 값을 내놓습니다.

[1] #5 4.OA.C.5 처음 홀수들은 완전제곱수로 쌓입니다: 1 = 1, 1+3 = 4, 1+3+5 = 9. 그래서 처음 m개의 홀수의 합은 m의 제곱입니다. 처음 짝

[2] #4 6.EE.B.6 홀수의 합이 짝수의 합보다 212만큼 크므로, 홀수 공식을 짝수 공식에 212를 더한 것과 같게 놓습니다: m의 제곱 = n(n+1) + 212

[3] #13 8.EE.A.2 혼자 남은 n이 다루기 어려우므로, 방정식 전체에 4를 곱해 완전제곱을 만들어 냅니다: 4m의 제곱 = 4n의 제곱 + 4n + 848. 4n의

[4] #2 4.OA.B.4 두 제곱의 차는 곱으로 갈라집니다: (2m - (2n+1))(2m + (2n+1)) = 847. m과 n이 양수이므로 두 인수는 모두 양의 정수

[5] #13 8.EE.C.7 어느 짝이든 큰 인수에서 작은 인수를 빼면 (2m+2n+1) - (2m-2n-1) = 4n + 2가 됩니다. 1과 847에서: 4n+2 = 84

검토

합리성 확인: 가장 큰 경우를 확인해 봅시다. n = 211이면 짝수의 합은 211 x 212 = 44732이고, m = 212이면 홀수의 합은 212의 제곱 = 44944이므로 그 차는 44944 - 44732 = 212로 정확히 조건과 맞습니다. n = 28 (m = 32)과 n = 16 (m = 22)도 같은 방식으로 확인됩니다. 세 개의 성립하는 n 값이 255로 더해지므로 보기 (A)와 일치합니다. 가까운 보기 256부터 259까지는 각각 847의 약수 짝이 주지 못하는 추가되거나 어긋난 해가 있어야 합니다.

대안 접근: 인수분해를 건너뛰고 값을 직접 시험할 수도 있습니다: 각 n에 대해 n^2 + n + 212를 계산해 그것이 완전제곱수 m^2인지 확인합니다. 이는 n = 16 (484 = 22^2), n = 28 (1024 = 32^2), n = 211 (44944 = 212^2)에서만 성립하고, 그 뒤로는 이웃한 제곱수 사이의 간격이 너무 빨리 벌어져 더 잡히지 않으므로 합은 다시 16 + 28 + 211 = 255입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (처음 m개의 홀수의 합이 m^2, 처음 n개의 짝수의 합이 n(n+1)임을 알아내기.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 문제를 풀 때 식 쓰기 (개수를 m과 n으로 이름 붙이고 문장에서 방정식 m^2 = n^2 + n + 212를 세우기.)
8.EE.A.2 제곱근 기호를 사용하고 완전제곱수 다루기 (4를 곱하고 완전제곱을 만들어 방정식을 (2m)^2 - (2n+1)^2 = 847로 다시 쓰기.)
4.OA.B.4 한 자연수의 모든 약수 짝을 찾고 각 약수의 배수임을 인식하기 (두 양의 인수가 될 수 있는 847의 모든 약수 짝(1x847, 7x121, 11x77) 나열하기.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (각 약수 짝의 차와 4n + 2가 같음을 이용해 n = 211, 28, 16을 구하고 더하기.)

⭐ '홀수의 합은 제곱수', '짝수의 합은 n(n+1)'을 하나의 방정식으로 바꾸고, 4를 곱해 두 제곱의 차를 만들면, 847의 몇 안 되는 약수 짝이 가능한 모든 n을 알려 줍니다.