AMC 10 · 2012 · #25

학년 7 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilitysystematic-enumeration easier-related-problemguess-and-check ↑ 선수 지식: probability-basicinterval-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 양의 정수 $n$ 에 대하여 실수 $x$ , $y$ , $z$ 를 구간 $[0,n]$ 에서 서로 독립적으로 무작위로 선택한다. $x$ , $y$ , $z$ 중 어느 두 수도 서로 1 단위 이내에 있지 않을 확률이 $\frac {1}{2}$ 보다 크다. 가능한 가장 작은 $n$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수 $x$, $y$, $z$를 구간 $[0,n]$에서 각각 독립적으로 무작위로 고른다. 세 수 중 어느 두 수도 서로 $1$ 단위 이내로 가깝지 않으면 "좋은" 뽑기라고 하자. $n$이 커질수록 공간이 넓어져 좋은 뽑기가 나올 확률이 높아진다. 좋은 뽑기의 확률이 $\frac{1}{2}$보다 커지는 가장 작은 정수 $n$을 구하라.

주어진 것: $x$, $y$, $z$는 $[0,n]$에서 독립적이고 균등하게 선택된다; "어느 두 수도 $1$ 단위 이내가 아니다"는 모든 쌍의 거리가 $1$ 이상이라는 뜻이다: $|x-y|\ge 1$, $|y-z|\ge 1$, $|x-z|\ge 1$; $n$은 양의 정수이다; 좋은 사건의 확률이 $\frac{1}{2}$를 넘어야 한다; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$

구하는 것: 좋은 뽑기 확률을 $\frac{1}{2}$보다 크게 만드는 가장 작은 양의 정수 $n$

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

연속적인 무작위 선택에 대한 확률은 부피 비교이므로 도구 #17 (공간 상상하기)이 중심축이다: 삼중쌍 $(x,y,z)$는 정육면체 $[0,n]^3$ 안의 한 점이고, 확률은 (좋은 부피)$/n^3$이다. 좋은 영역을 정면으로 재는 것은 지저분하니 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 순서 하나 $x<y<z$를 대칭성으로 고정해 세 개의 절댓값 조건을 두 개의 간단한 간격으로 바꾼다. 그다음 도구 #4 (변수 도입하기)가 핵심 수를 둔다: 간격을 밀어내는 평행이동 치환으로 좋은 영역을 더 작은 정육면체로 접어 부피를 한 줄에 구한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 깔끔한 확률 식을 조립하고, 도구 #3 (가능성 지우기)으로 선택지들을 $\frac{1}{2}$ 기준에 대보아 가장 작은 $n$을 짚어낸다.

실행 — 정답: D

#17 공간 상상하기 7.SP.C.7 단계 1

확률을 부피로 바꾸기

$x$, $y$, $z$가 독립이고 $[0,n]$에서 균등하므로 점 $(x,y,z)$는 부피가 $n^3$인 정육면체 $[0,n]^3$ 전체에 고르게 퍼진다.
균등한 점에 대해서는 어떤 사건의 확률이 그 사건이 성립하는 영역의 부피를 전체 부피 $n^3$으로 나눈 값과 같다.
그래서 문제 전체가 이렇게 바뀐다: 세 쌍의 간격이 모두 $1$ 이상인 "좋은" 영역의 부피를 잰 뒤 $n^3$으로 나눈다.

$$(x,y,z)\in[0,n]^3,\qquad \text{정육면체 부피}=n^3,\qquad P=\dfrac{\text{좋은 영역 부피}}{n^3}$$

💡 고르게 흩어진 점에서는 "얼마나 그럴듯한가"가 곧 "공간이 얼마나 되는가" — 확률은 부피의 비율이다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.C.7 단계 2

순서를 하나 고정해 조건을 단순화하기

세 변수는 역할이 완전히 같으므로 $x,y,z$의 여섯 가지 순서가 정육면체를 여섯 개의 합동인 좋은 조각으로 나눈다.
하나만 재고 $6$을 곱하면 된다.
순서 $x<y<z$를 잡자.
그러면 복잡한 절댓값 조건이 간단해진다: $|x-y|\ge 1$과 $|y-z|\ge 1$이 그냥 $y-x\ge 1$과 $z-y\ge 1$이 된다(이 둘은 이미 $z-x\ge 2$를 강제하므로 세 번째 간격은 자동이다).

$$x<y<z:\quad y-x\ge 1,\quad z-y\ge 1\ \Rightarrow\ z-x\ge 2$$

💡 수들을 작은 것부터 큰 것까지 한 줄로 세우면 "$1$ 이상 떨어짐"은 세 개의 얽힌 거리가 아니라 이웃한 두 간격일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 5.MD.C.5 단계 3

치환으로 간격을 밀어내기

필요한 간격을 흡수하는 새 변수를 도입한다: $u=x$, $v=y-1$, $w=z-2$로 두자.
$y$에서 $1$을, $z$에서 $2$를 빼는 것이 반드시 필요한 두 단위 간격을 정확히 소모하므로, 엄격한 간격 조건이 단순한 순서 $0\le u\le v\le w\le n-2$로 바뀐다.
이는 변의 길이가 $n-2$인 정육면체 안의 순서 있는 삼중쌍들의 집합이고, 순서 있는 모서리 사면체(단체)는 그 정육면체의 $\frac{1}{6}$이다.
그래서 순서 있는 조각 하나의 부피는 $\frac{(n-2)^3}{6}$이고, 여섯 순서를 모두 더하면 전체 좋은 부피가 나온다.

$u=x,\ v=y-1,\ w=z-2:\quad 0\le u\le v\le w\le n-2$;\quad \text{좋은 부피}=6\cdot\dfrac{(n-2)^3}{6}=(n-2)^3$

💡 각 수를 필요한 간격만큼 아래로 밀어내면 벌어져 있던 점들이 변 $n-2$짜리 꽉 찬 정육면체로 모인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 4

확률과 목표 부등식 세우기

좋은 부피를 정육면체 부피로 나눈다.
좋은 영역의 부피는 $(n-2)^3$이고 전체 정육면체의 부피는 $n^3$이므로, 좋은 뽑기의 확률은 $\frac{(n-2)^3}{n^3}$이며 이는 하나의 비 $\left(\frac{n-2}{n}\right)^3$을 세제곱한 것이다.
이 값이 $\frac{1}{2}$를 넘기를 원한다.

$$P=\dfrac{(n-2)^3}{n^3}=\left(\dfrac{n-2}{n}\right)^3>\dfrac{1}{2}$$

💡 독립적인 "간격 하나 비우기"가 각각 같은 배수 $\frac{n-2}{n}$을 치르므로, 세 개가 곱해져 세제곱이 된다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

선택지를 절반과 대보기

확률 $\left(\frac{n-2}{n}\right)^3$은 $n$이 커질수록 커지므로 넘어가는 지점이 하나뿐이다.
그 근처의 후보를 확인한다.
$n=9$에서: $\left(\frac{7}{9}\right)^3=\frac{343}{729}\approx 0.470$으로 $\frac{1}{2}$보다 작다.
$n=10$에서: $\left(\frac{8}{10}\right)^3=\frac{512}{1000}=0.512$로 $\frac{1}{2}$보다 크다.
따라서 $n=9$는 아직 실패하고 $n=10$이 처음으로 성공한다.
가장 작은 값은 $n=10$, 선택지 (D)이다.

$$n=9:\ \dfrac{343}{729}\approx 0.470<\dfrac12;\qquad n=10:\ \dfrac{512}{1000}=0.512>\dfrac12\ \Rightarrow\ \textbf{(D)}$$

💡 공간이 넓어질수록 유리하기만 하므로, 어떤 값이 절반 선을 넘으면 그보다 큰 값은 모두 넘는다 — 그래서 처음 넘는 값이 답이다.

[1] #17 7.SP.C.7 $x$, $y$, $z$가 독립이고 $[0,n]$에서 균등하므로 점 $(x,y,z)$는 부피가 $n^3$인 정육면체 $[0,n]^3$ 전체에 고

[2] #9 6.NS.C.7 세 변수는 역할이 완전히 같으므로 $x,y,z$의 여섯 가지 순서가 정육면체를 여섯 개의 합동인 좋은 조각으로 나눈다. 하나만 재고 $6$을 곱

[3] #4 5.MD.C.5 필요한 간격을 흡수하는 새 변수를 도입한다: $u=x$, $v=y-1$, $w=z-2$로 두자. $y$에서 $1$을, $z$에서 $2$를 빼는

[4] #7 6.EE.A.1 좋은 부피를 정육면체 부피로 나눈다. 좋은 영역의 부피는 $(n-2)^3$이고 전체 정육면체의 부피는 $n^3$이므로, 좋은 뽑기의 확률은 $\

[5] #3 6.EE.B.5 확률 $\left(\frac{n-2}{n}\right)^3$은 $n$이 커질수록 커지므로 넘어가는 지점이 하나뿐이다. 그 근처의 후보를 확인한다

검토

합리성 확인: 이 식은 양 끝에서 이치에 맞게 움직인다: $n=2$에서 $0$을 주고(세 점을 한 단위씩 떨어뜨릴 공간이 없다), $n\to\infty$에서 $1$에 가까워진다(거의 어떤 뽑기든 괜찮다). 그 사이에서 $\left(\frac{n-2}{n}\right)^3$은 꾸준히 오르므로 절반 선은 정확히 한 번만 넘어간다. 우리의 두 확인이 이를 깔끔하게 감싼다: $0.470<0.5<0.512$이므로 넘어가는 지점이 $9$와 $10$ 사이에 있고, $n=10$이 그보다 큰 첫 정수이다. $0.512$가 절반을 겨우 넘긴다는 점은 임계값이 빠듯하게 설계된 #25 자리 문제에 잘 어울린다.

대안 접근: 선택지를 대보는 대신 부등식을 직접 푼다. $\left(\frac{n-2}{n}\right)^3>\frac12$은 $\frac{n-2}{n}>\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\approx 0.7937$, 즉 $1-\frac{2}{n}>0.7937$을 뜻하므로 $\frac{2}{n}<0.2063$이고 $n>\frac{2}{0.2063}\approx 9.69$이다. $9.69$보다 큰 가장 작은 정수는 $10$으로 (D)와 일치한다. 이는 선택지 목록에 기대지 않고 답을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (균등한 무작위 삼중쌍을 정육면체 $[0,n]^3$ 안의 한 점으로 모델링하여, 확률이 좋은 영역의 부피를 $n^3$으로 나눈 값과 같도록 하는 데 사용.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (순서 $x<y<z$를 고정하고 절댓값 간격 조건 $|x-y|\ge1,\ |y-z|\ge1$을 이웃 간격 $y-x\ge1$, $z-y\ge1$로 다시 쓰는 데 사용.)
5.MD.C.5 Relate volume to the operations of multiplication and addition (치환으로 좋은 영역이 변 $n-2$인 정육면체로 접힌 뒤 그 부피를 $6\cdot\frac{(n-2)^3}{6}=(n-2)^3$으로 계산하는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (확률을 $\frac{(n-2)^3}{n^3}=\left(\frac{n-2}{n}\right)^3$으로 조립하고 $\frac{1}{2}$에 대한 부등식을 세우는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($\left(\frac{n-2}{n}\right)^3>\frac12$을 만족하는 가장 작은 $n$을 찾기 위해 $n=9$와 $n=10$을 기준에 대보는 데 사용.)

⭐ 무작위 실수로 만든 확률은 사실 부피 한 덩어리이다: 점 $(x,y,z)$가 정육면체 $[0,n]^3$을 채우고, "모든 간격이 $\ge 1$"인 영역은 변 $n-2$인 옮겨진 정육면체이므로 확률은 $\left(\frac{n-2}{n}\right)^3$ — 그리고 이 값은 $n=10$에서 처음으로 절반을 넘는다.