AMC 10 · 2012 · #25
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
연속적인 무작위 선택에 대한 확률은 부피 비교이므로 도구 #17 (공간 상상하기)이 중심축이다: 삼중쌍 (x,y,z)는 정육면체 [0,n]³ 안의 한 점이고, 확률은 (좋은 부피)/n³이다. 좋은 영역을 정면으로 재는 것은 지저분하니 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 순서 하나 x ＜ y ＜ z를 대칭성으로 고정해 세 개의 절댓값 조건을 두 개의 간단한 간격으로 바꾼다. 그다음 도구 #4 (변수 도입하기)가 핵심 수를 둔다: 간격을 밀어내는 평행이동 치환으로 좋은 영역을 더 작은 정육면체로 접어 부피를 한 줄에 구한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 깔끔한 확률 식을 조립하고, 도구 #3 (가능성 지우기)으로 선택지들을 1/2 기준에 대보아 가장 작은 n을 짚어낸다.
확률을 부피로 바꾸기
점 (x,y,z)가 정육면체 [0,n]³에 고르게 퍼지므로, 확률은 좋은 영역의 부피를 n³으로 나눈 값이다.
고르게 흩어진 점에서는 "얼마나 그럴듯한가"가 곧 "공간이 얼마나 되는가" — 확률은 부피의 비율이다.
고르게 흩어진 점에 대해, 얼마나 그럴 법한가는 자리가 얼마나 되는가일 뿐이며, 부피의 몫으로 재어진다.
▸ 왜?
어느 자리도 다른 자리보다 유리하지 않으므로, 확률은 공간의 얼마가 통하는지로 재어진다.
▸ 왜?
그 공간은 상자이며, 상자의 크기는 세 길이를 곱한 것이다.
순서를 하나 고정해 조건을 단순화하기
대칭성으로 순서 x ＜ y ＜ z 하나만 재고 6을 곱한다. 조건은 y-x ≥ 1, z-y ≥ 1로 단순해진다.
수들을 작은 것부터 큰 것까지 한 줄로 세우면 "1 이상 떨어짐"은 세 개의 얽힌 거리가 아니라 이웃한 두 간격일 뿐이다.
6.NS.C.7Solve An Easier Related Problem치환으로 간격을 밀어내기
u=x, v=y-1, w=z-2로 두면 조건이 0 ≤ u ≤ v ≤ w ≤ n-2가 되고, 여섯 조각이 모여 부피 (n-2)³을 이룬다.
각 수를 필요한 간격만큼 아래로 밀어내면 벌어져 있던 점들이 변 n-2짜리 꽉 찬 정육면체로 모인다.
5.MD.C.5Introduce A Variable확률과 목표 부등식 세우기
두 부피를 나누면 좋은 뽑기의 확률은 ((n-2)/n)³이고, 이 값이 1/2를 넘어야 한다.
독립적인 "간격 하나 비우기"가 각각 같은 배수 (n-2)/n을 치르므로, 세 개가 곱해져 세제곱이 된다.
6.EE.A.1Identify Subproblems선택지를 절반과 대보기
n=9면 343/729≈ 0.470으로 부족하고, n=10이면 0.512로 절반을 넘는다. 가장 작은 값은 10, 선택지 (D)이다.
공간이 넓어질수록 유리하기만 하므로, 어떤 값이 절반 선을 넘으면 그보다 큰 값은 모두 넘는다 — 그래서 처음 넘는 값이 답이다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities무작위 실수로 만든 확률은 사실 부피 한 덩어리이다: 점 (x,y,z)가 정육면체 [0,n]³을 채우고, "모든 간격이 ≥ 1"인 영역은 변 n-2인 옮겨진 정육면체이므로 확률은 ((n-2)/n)³ — 그리고 이 값은 n=10에서 처음으로 절반을 넘는다.
- 확률을 부피로 바꾸기
- 순서를 하나 고정해 조건을 단순화하기
- 치환으로 간격을 밀어내기
- 확률과 목표 부등식 세우기
- 선택지를 절반과 대보기