경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2012A · #4
학년 4 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"가장 작은"이라는 말은 최소/최대를 찾으라는 신호이므로, 도구 #14(극단의 원리)에 따라 경계가 되는 배치들을 나열하고 그중 극단을 고른다. 자유롭게 정할 수 있는 것은 반직선 BD가 반직선 BA의 어느 쪽에 놓이는가뿐이어서 경우는 단 두 가지다. 도구 #1(그림 그리기)로 이 두 배치를 눈에 보이게 만들면 더하기와 빼기 중 무엇을 할지가 분명해진다.
B에서 세 반직선 그리기
반직선 BA를 기준으로 삼는다. BC는 거기서 24°, BD는 20° 벌어지는데, BD가 어느 쪽인지는 말이 없다.
한 반직선을 고정하고 나머지를 그 옆에 그리면, 흩어진 세 사실이 잴 수 있는 그림 하나가 된다.
4.G.A.1Draw A Diagram모든 각은 반직선 BA를 공유한다
두 각을 모두 같은 BA에서 재므로, BD는 ∠ ABC 안이거나 BA 너머 반대쪽이다. 경우는 둘뿐이다.
두 각을 같은 반직선에서 잴 때, 두 각이 얼마나 겹치는지는 두 번째 반직선이 어느 쪽으로 기우는가에만 달려 있다.
4.MD.C.5Extreme Principle각 경우마다 더하거나 빼기
같은 쪽이면 BD가 ∠ ABC 안에 들어가 24° - 20° = 4°, 반대쪽이면 24° + 20° = 44°.
각의 크기는 겹치지 않으면 더해지고, 하나가 다른 하나 안에 들어가면 빼진다.
각의 크기는 겹치지 않으면 더해지고, 하나가 다른 하나 안에 있으면 빼진다.
▸ 왜?
나란히 놓인 각은 그 크기를 그냥 더해서 합쳐진다.
▸ 왜?
두 가지 기울어짐은 함께 일어나지 않으므로, 각각 따로 풀어야 할 경우다.
더 작은 경우 고르기
4°와 44° 중 작은 쪽은 4°이고, BD가 ∠ ABC 안에 들어갈 때다. 따라서 정답은 (C)다.
두 반직선 사이 간격을 가장 작게 만들려면, 규칙이 허용하는 한 최대한 같은 방향으로 겨누면 된다.
4.MD.C.7Extreme Principle두 반직선을 같은 시작 반직선에서 잴 때, 같은 방향으로 겨누면 그 사이 각이 가장 작아진다 — 여기서는 24 - 20 = 4도만 남는다.
- B에서 세 반직선 그리기
- 모든 각은 반직선 BA를 공유한다
- 각 경우마다 더하거나 빼기
- 더 작은 경우 고르기
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