AMC 10 · 2016 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

place-valuedigit-sumdigit-constraints extremal-construction ↑ 선수 지식: place-value

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문제

세 자리 수 두 개를 더합니다. 두 수에 쓰인 여섯 개의 숫자는 모두 서로 다릅니다. 그 합 S도 세 자리 수입니다. S의 각 자리 숫자의 합이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

최솟값을 묻는 문제이므로 도구 #14 (극단의 원리)를 씁니다: 답이 얼마나 작아질 수 있는지 한계를 정하고, 그 작은 값이 실제로 도달 가능함을 보입니다. 두 부분입니다. 먼저 단단한 바닥을 찾습니다: 두 백의 자리 숫자는 서로 다르고 각각 1 이상이므로, 합 S는 너무 작아질 수 없습니다. 이 바닥 덕분에 도구 #3 (가능성 지우기)으로 자리 숫자 합 1, 2, 3을 지웁니다. 다음으로 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 자리 숫자 합이 4인 합을 만드는 구체적인 두 수를 찾아, 4가 도달 가능함을 증명합니다. 한계와 그에 들어맞는 예시가 함께 있으면 최솟값이 정확히 정해집니다.

1STEP 1

S는 얼마나 작아질 수 있나

백의 자리 숫자는 각각 1 이상이고 서로 다르므로, 합이 최소 1 + 2 = 3이어서 S ≥ 300입니다.

h₁ ≠ h₂, h₁,h₂ ≥ 1 → h₁ + h₂ ≥ 1 + 2 = 3 → S ≥ 300

2STEP 2

자리 숫자 합 1, 2, 3 지우기

S ≥ 300이라 4보다 작은 자리 합은 S = 300뿐인데, 이는 0을 두 번 써야 해 안 됩니다. 그래서 1, 2, 3은 불가능합니다.

S ≥ 300, 자리 숫자 합 ≤ 3 → S = 300, 하지만 300 은 0 을 겹쳐 써야 함 → 불가능

3STEP 3

자리 숫자 합이 4인 합 만들기

104 + 296 = 400은 여섯 숫자가 모두 다르고, 400의 자리 합은 4입니다 — 도달 가능하므로 최솟값은 4, 답은 (B).

104 + 296 = 400, 4 + 0 + 0 = 4 = (B)

정답

예시 104 + 296 = 400은 직접 더해 보면 맞고, 여섯 숫자 {0,1,2,4,6,9}는 모두 다르며, 400은 자리 숫자 합이 4인 세 자리 수입니다. 한계는 4보다 작은 값은 불가능하다고 말하고, 예시는 정확히 4에 도달하므로 두 부분이 일치합니다. 틀린 선택지도 이야기에 들어맞습니다: (A) 1은 S ≥ 300이므로 불가능하고, (D) 15와 (E) 20은 필요한 것보다 훨씬 큽니다.

💡핵심 정리

합의 자리 숫자를 작게 만들려면 받아올림으로 칸을 0으로 넘기면 되지만, 서로 다른 두 개의 0이 아닌 맨 앞 숫자가 합을 300대에 묶어 두므로 4가 내려갈 수 있는 한계입니다.

S는 얼마나 작아질 수 있나
자리 숫자 합 1, 2, 3 지우기
자리 숫자 합이 4인 합 만들기

S는 얼마나 작아질 수 있나

자리 숫자 합 1, 2, 3 지우기

자리 숫자 합이 4인 합 만들기

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