AMC 10 · 2012 · #8

학년 6 algebra
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
systems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 자연수를 둘씩 짝지어 더했더니 짝별 합이 12, 17, 19가 되었다. 세 수를 작은 것부터 큰 것 순으로 놓았을 때 가운데 수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)로 세 수를 a ≤ b ≤ c로 이름 붙이면 말을 세 개의 깔끔한 짝별 합 방정식으로 바꿀 수 있다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 문제를 쉽게 만든다. 짝별 합을 크기순으로 정렬해 각 합이 어느 두 수에서 나왔는지 짝지어 준다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계로 나눈다. 먼저 세 수의 총합을 구하고, 그다음 가운데 수만 떼어 낸다. 세 방정식을 한꺼번에 푸는 것보다 간단하다.

1STEP 1

수에 이름 붙이고 합 짝짓기

세 수를 a ≤ b ≤ c라 하자. 작은 두 수가 작은 합을 만드므로 a+b=12, a+c=17, b+c=19이다.

a+b=12, a+c=17, b+c=19
2STEP 2

짝별 합 세 개를 모두 더하기

세 방정식을 모두 더하면 각 수가 두 번씩 세어져 2(a+b+c)=48, 즉 총합은 a+b+c=24이다.

(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)=12+17+19=48 → a+b+c=24
3STEP 3

가운데 수만 떼어 내기

b가 빠진 짝 a+c=17을 총합에서 빼면 b = 24 - 17 = 7, 보기 (D). 세 수는 5, 7, 12이다.

b = 24 - 17 = 7 → (D)
정답
7
복원한 수 5, 7, 12는 자연수이고 짝별 합이 5+7=12, 5+12=17, 7+12=19로 주어진 세 합과 정확히 같으므로 지어낸 것이 없다. 가운데 값은 7이고 5와 12 사이에 있어 가운데 수답다. 함정은 5(보기 B)인데 이는 가장 작은 수이지 가운데 수가 아니다. 문제는 가운데를 물었으므로 7이 정답이다.
💡핵심 정리

짝별 합을 모두 더해 총합의 두 배를 구한 뒤, 가운데 수가 빠진 짝을 빼면 가운데 수가 나온다.

  • 수에 이름 붙이고 합 짝짓기
  • 짝별 합 세 개를 모두 더하기
  • 가운데 수만 떼어 내기

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