AMC 10 · 2012 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

systems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 자연수를 둘씩 짝지어 더한 합이 각각 12, 17, 19이다. 가운데 수는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 자연수를 둘씩 짝지어 더했더니 짝별 합이 12, 17, 19가 되었다. 세 수를 크기순으로 놓았을 때 가운데 수를 구하여라.

주어진 것: 세 개의 자연수가 있다; 둘씩 짝지어 더한 세 합은 12, 17, 19이다; 보기: (A) 4, (B) 5, (C) 6, (D) 7, (E) 8

구하는 것: 세 수를 작은 것부터 큰 것 순으로 놓았을 때의 가운데 수

이해

문제 재정리: 세 자연수를 둘씩 짝지어 더했더니 짝별 합이 12, 17, 19가 되었다. 세 수를 크기순으로 놓았을 때 가운데 수를 구하여라.

주어진 것: 세 개의 자연수가 있다; 둘씩 짝지어 더한 세 합은 12, 17, 19이다; 보기: (A) 4, (B) 5, (C) 6, (D) 7, (E) 8

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #4(변수 도입하기)로 세 수를 $a \le b \le c$로 이름 붙이면 말을 세 개의 깔끔한 짝별 합 방정식으로 바꿀 수 있다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 문제를 쉽게 만든다. 짝별 합을 크기순으로 정렬해 각 합이 어느 두 수에서 나왔는지 짝지어 준다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계로 나눈다. 먼저 세 수의 총합을 구하고, 그다음 가운데 수만 떼어 낸다. 세 방정식을 한꺼번에 푸는 것보다 간단하다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

수에 이름 붙이고 합 짝짓기

세 수를 $a \le b \le c$라 하자.
각 짝별 합은 $a+b$, $a+c$, $b+c$ 중 하나이다.
가장 작은 두 수가 가장 작은 합을, 가장 큰 두 수가 가장 큰 합을 만들므로 $a+b=12$, $a+c=17$, $b+c=19$이다.
가운데 수 $b$는 합 $a+c=17$에 빠져 있음에 주목하자.

$$a+b=12,\quad a+c=17,\quad b+c=19$$

💡 모르는 수에 이름을 붙이면 말로 된 단서를 다룰 수 있는 방정식으로 적을 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 2

짝별 합 세 개를 모두 더하기

세 방정식을 더한다.
왼쪽에서는 각 수가 정확히 두 합에 나타나므로 전체는 $2(a+b+c)$이다.
오른쪽은 $12+17+19=48$이다.
따라서 $2(a+b+c)=48$이고, 세 수의 합은 $a+b+c=24$이다.

$$(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)=12+17+19=48 \;\Rightarrow\; a+b+c=24$$

💡 짝별 합을 모두 더하면 각 수를 두 번씩 세게 되므로 총합의 두 배와 같다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

가운데 수만 떼어 내기

가운데 수 $b$는 짝 $a+c=17$에 빠져 있다.
총합에서 그 짝을 빼면 $b = (a+b+c) - (a+c) = 24 - 17 = 7$이다.
따라서 가운데 수는 7이고 보기 (D)이다.
(세 수는 5, 7, 12로 밝혀지며 $5+7=12$, $5+12=17$, $7+12=19$가 모두 맞는다.)

$$b = 24 - 17 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 세 수의 총합에서 가운데를 감싸는 두 수를 빼면 가운데 수만 남는다.

[1] #4 6.EE.B.6 세 수를 $a \le b \le c$라 하자. 각 짝별 합은 $a+b$, $a+c$, $b+c$ 중 하나이다. 가장 작은 두 수가 가장 작은 합

[2] #7 6.EE.B.7 세 방정식을 더한다. 왼쪽에서는 각 수가 정확히 두 합에 나타나므로 전체는 $2(a+b+c)$이다. 오른쪽은 $12+17+19=48$이다. 따라

[3] #7 4.NBT.B.4 가운데 수 $b$는 짝 $a+c=17$에 빠져 있다. 총합에서 그 짝을 빼면 $b = (a+b+c) - (a+c) = 24 - 17 = 7$이다

검토

합리성 확인: 복원한 수 5, 7, 12는 자연수이고 짝별 합이 $5+7=12$, $5+12=17$, $7+12=19$로 주어진 세 합과 정확히 같으므로 지어낸 것이 없다. 가운데 값은 7이고 5와 12 사이에 있어 가운데 수답다. 함정은 5(보기 B)인데 이는 가장 작은 수이지 가운데 수가 아니다. 문제는 가운데를 물었으므로 7이 정답이다.

대안 접근: 연립방정식을 직접 풀 수도 있다. $a+b=12$와 $b+c=19$를 빼면 $c-a=7$이다. 여기에 $a+c=17$을 더하면 $2c=24$이므로 $c=12$, 이어서 $a=5$, $b=12-5=7$이다. 같은 가운데 수가 나와 (D)를 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (세 수를 $a \le b \le c$로 이름 붙이고 각 짝별 합을 방정식으로 적기.)
6.EE.B.7 px = q 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 (세 방정식을 더해 $2(a+b+c)=48$을 얻고 총합 $a+b+c=24$를 구하기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 하기 ($12+17+19=48$을 더하고 $24-17=7$을 빼서 가운데 수 떼어 내기.)

⭐ 짝별 합을 모두 더해 총합의 두 배를 구한 뒤, 가운데 수가 빠진 짝을 빼면 가운데 수가 나온다.