AMC 10 · 2012 · #15

학년 5 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
combinations-basic extremal-construction ↑ 선수 지식: combinations-basic
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문제
6개 팀이 서로 한 번씩 경기를 하고, 모든 경기에는 승자가 한 팀 있습니다. 각 팀의 승수를 센 뒤, 가장 많은 승수를 함께 나눠 가질 수 있는 팀의 최대 개수를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

최댓값을 묻는 문제이므로 도구 #14(극단의 원리)가 중심입니다. 공동 1위 팀 수를 최대한 밀어올리며 위에서부터 경계를 시험합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 핵심이 되는 고정된 양, 즉 누가 이기든 변하지 않는 총 승수를 알려 줍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 불가능한 최상위 선택지를 제거하고, 도구 #1(그림 그리기)은 실제 승패 표를 만들어 남은 값이 정말 가능함을 증명합니다.

1STEP 1

총 승수 세기

6개 팀이 각각 5경기씩 하면 6 × 5 = 30이지만 경기를 두 번 센 것이라 실제로는 15경기, 총 승수는 15.

(6 × 5)/2 = 15 경기 = 15 총 승수
2STEP 2

여섯 팀 공동 1위 배제

여섯 팀 동률이면 팀마다 15 ÷ 6 = 2.5승인데 반 경기는 이길 수 없으니 (E) 6은 제외.

15 ÷ 6 = 2.5 (자연수가 아님)
3STEP 3

다섯 팀까지 밀어올리기

한 단계 아래로, 다섯 팀이 3승씩이면 5 × 3 = 15로 딱 맞고 남은 한 팀은 0승이라 3보다 낮음.

5 × 3 = 15, 15 - 15 = 0
4STEP 4

실제로 되는 표 만들기

팀 6이 전패하고 나머지 다섯을 원에 놓아 각자 다음 두 팀을 이기면 모두 1 + 2 = 3승 동률, 답은 (D).

1 (팀 6 이김) + 2 (다음 두 팀 이김) = 3 승 → (D)
정답
5
구성이 앞뒤가 맞습니다. 3승 팀 5개와 0승 팀 1개를 더하면 5 × 3 + 0 = 15로, 필요한 총 승수 15와 정확히 일치합니다. 최상위 승수 3은 남은 팀의 0보다 크므로 다섯 팀이 진짜 1위를 나눠 가지며, 15가 6의 배수가 아니어서 여섯 팀은 배제됩니다. 따라서 5는 가능하면서도 가장 큰 값이므로 (D)가 확인됩니다.
💡핵심 정리

승수의 합은 고정되어 있으니, 최상위에서 동률이 될 수 있는 팀 수는 그 고정된 합이 여전히 고르게 나눠지는 만큼입니다.

  • 총 승수 세기
  • 여섯 팀 공동 1위 배제
  • 다섯 팀까지 밀어올리기
  • 실제로 되는 표 만들기

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