AMC 10 · 2020 · #7
학년 5 arithmetic multiplesperfect-squaresdivisibility-rulesbound-inequality-then-enumerate easier-related-problembound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squaresdivisibility-rules
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
2020 보다 작은 양의 완전제곱수 중 3 의 짝수 배수인 것의 개수를 구하시오.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
7
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
12
AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
도구 #9 (더 쉬운) 로 "3 의 짝수 배수" 를 "6 의 배수" 로 바꾼다. 도구 #2 로 후보 6², 12², 18², … 를 순서대로 나열하고 2020 을 넘으면 멈춤. 도구 #5 로 패턴 (6k)² = 36k² 을 잡아 k 의 개수만 세면 됨. 도구 #3 으로 보기와 대조.
1STEP 1
"3 의 짝수 배수" 는 2 의 배수이면서 3 의 배수, 곧 6 의 배수예요.
짝수 ∩ 3 의 배수 = 6 의 배수
더 단순한 말: 그냥 6 의 배수.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
2, 3 이 소수라 n² 이 6 의 배수면 n = 6k — 즉 36k² 이 2020 미만이면 돼요.
n = 6k, k ∈ {1, 2, 3, …}, n² = 36k² ＜ 2020
n² 이 6 의 배수 → n 도 6 의 배수.
4.OA.B.4Look For A Pattern3STEP 3
n = 6k 에 대해 36k² 을 작은 k 부터 나열, 2020 을 넘으면 멈춤.
k=1: 36, k=2: 144, k=3: 324, k=4: 576, k=5: 900, k=6: 1296, k=7: 1764, k=8: 2304
작은 것부터 순서대로 나열.
5.NBT.B.5Make A Systematic List4STEP 4
앞 일곱 개는 2020 미만, 여덟 번째 2304 부터 초과 — k 는 1 … 7, 즉 7 개예요.
1764 ＜ 2020 ＜ 2304 → k ∈ {1, 2, …, 7}
처음 초과하는 지점에서 멈춤.
4.NBT.A.2Make A Systematic List5STEP 5
7 은 (A).
7 → (A)
일치하는 보기 찾기.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities정답
7
경계로 빠르게 확인: 36k² ＜ 2020 ⇔ k² ＜ 56.1 ⇔ k ≤ 7 (7² = 49 ＜ 56 이고 8² = 64 ＞ 56). 따라서 k 는 1, 2, …, 7 의 7 개. ✓ 나열한 36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764 은 모두 짝수 (끝자리 짝수), 모두 3 의 배수 (각자릿수 합 9, 9, 9, 18, 9, 18, 18), 모두 2020 미만. ✓
💡핵심 정리
이 AMC 10 문제는 사실 5학년 곱셈과 배수만 알면 풀 수 있어요 — "3 의 짝수 배수" 는 "6 의 배수" 와 같으니, (6 · 1)², (6 · 2)², … 을 2020 까지 나열. 일곱 개 (36, 144, 324, 576, 900, 1296, 1764) 가 들어가고 여덟 번째 (2304) 부터 초과 — 답은 7.