AMC 10 · 2012 · #4
학년 4 arithmetic modular-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: modular-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
링고는 자기 구슬을 6개씩 봉지에 담으면 4개가 남는다. 폴도 자기 구슬을 같은 방식으로 담으면 3개가 남는다. 두 사람이 구슬을 모두 합쳐 6개씩 최대한 많은 봉지에 담을 때, 남는 구슬은 몇 개인가?
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 변수 도입하기
각자 구슬이 몇 개인지는 모르고 남는 개수만 알고 있다. 각 개수를 변수로 나타내면 '6개씩 담기'라는 사실을 식으로 쓸 수 있고, 두 개수를 더한 뒤 정확한 총합을 몰라도 새로 남는 개수를 바로 읽어낼 수 있다.
1STEP 1
각자의 개수를 남는 수로 표현하기
링고가 가득 찬 봉지 a개와 낱개 4개, 폴이 b개와 낱개 3개를 가진다고 하면 각각 6a + 4개, 6b + 3개다.
R = 6a + 4, P = 6b + 3
나머지는 봉지를 최대한 채우고 남은 낱개 구슬을 나타내는 수일 뿐이다.
4.OA.A.3Introduce A Variable2STEP 2
두 무더기를 합치기
더하면 (6a + 4) + (6b + 3) = 6a + 6b + 7이고, 6a와 6b는 이미 봉지이므로 낱개 7개만 남는다.
R + P = 6a + 6b + 7
무더기를 합쳐도 가득 찬 봉지는 그대로이므로 낱개만 새 봉지로 섞일 수 있다.
4.OA.A.3Convert To Algebra3STEP 3
낱개 7개를 다시 담기
7 = 6 + 1이므로 봉지가 하나 더 차서 6a + 6b + 7 = 6(a + b + 1) + 1이 되고, 1개가 남는다. (A)
6a + 6b + 7 = 6(a + b + 1) + 1
합의 나머지는 두 나머지를 더한 것의 나머지와 같다.
합의 나머지는 두 나머지를 더한 것의 나머지일 뿐이다.
▸ 왜?
무더기를 합쳐도 가득 찬 자루는 그대로이므로, 흩어진 구슬만 다시 묶일 수 있다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
가능한 한 많은 자루를 가득 채우고 남는 것이 바로 나머지다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
정답
1
가장 작은 개수로 확인해 보자. 링고가 4개(봉지 0개, 4개 남음), 폴이 3개(봉지 0개, 3개 남음)를 가진다고 하면 합쳐서 7개이고, 이는 봉지 하나에 1개가 남는다. 정답 (A)와 일치한다.
💡핵심 정리
합쳐서 남는 수를 구하려면 각자 남는 수를 더하고, 그 합이 봉지 하나를 채울 만큼이면 그 봉지도 빼면 된다.
- 각자의 개수를 남는 수로 표현하기
- 두 무더기를 합치기
- 낱개 7개를 다시 담기