AMC 10 · 2012 · #4

학년 4 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

modular-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

링고가 자신의 구슬을 한 봉지에 6개씩 담으면 4개가 남는다. 폴이 자신의 구슬을 똑같은 방식으로 담으면 3개가 남는다. 링고와 폴이 구슬을 모두 합쳐 한 봉지에 6개씩 최대한 많은 봉지에 담으면, 구슬은 몇 개가 남는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 링고의 구슬은 한 봉지에 6개씩 담으면 4개가 남는다. 폴의 구슬은 같은 방식으로 담으면 3개가 남는다. 두 사람이 구슬을 모두 합쳐 다시 6개씩 봉지에 담을 때, 남는 구슬이 몇 개인지 구한다.

주어진 것: 링고의 구슬을 6개씩 봉지에 담으면 4개가 남는다.; 폴의 구슬을 6개씩 봉지에 담으면 3개가 남는다.; 합친 구슬도 똑같이 6개씩 봉지에 담는다.

구하는 것: 구슬을 합쳐 6개씩 담은 뒤 남는 구슬의 개수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

각자 구슬이 몇 개인지는 모르고 남는 개수만 알고 있다. 각 개수를 변수로 나타내면 '6개씩 담기'라는 사실을 식으로 쓸 수 있고, 두 개수를 더한 뒤 정확한 총합을 몰라도 새로 남는 개수를 바로 읽어낼 수 있다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 4.OA.A.3 단계 1

각자의 개수를 남는 수로 표현하기

링고는 가득 찬 봉지 몇 개에 낱개 4개, 폴은 가득 찬 봉지 몇 개에 낱개 3개를 가지고 있다고 하자.
링고의 봉지 수를 a, 폴의 봉지 수를 b라 하면 링고는 6a + 4개, 폴은 6b + 3개를 가진다.

$$R = 6a + 4, \quad P = 6b + 3$$

💡 나머지는 봉지를 최대한 채우고 남은 낱개 구슬을 나타내는 수일 뿐이다.

#13 대수로 바꾸기 4.OA.A.3 단계 2

두 무더기를 합치기

두 개수를 더해 구슬을 합친다: (6a + 4) + (6b + 3) = 6a + 6b + 7.
6a와 6b는 이미 가득 찬 봉지이므로, 낱개로 남는 구슬은 오직 4 + 3 = 7에서 나온다.

$$R + P = 6a + 6b + 7$$

💡 무더기를 합쳐도 가득 찬 봉지는 그대로이므로 낱개만 새 봉지로 섞일 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 4.NBT.B.6 단계 3

낱개 7개를 다시 담기

낱개 7개는 7 = 6 + 1이므로 봉지 하나를 더 채우고 1개가 남는다.
따라서 총합은 6a + 6b + 6 + 1 = 6(a + b + 1) + 1이 되어, 봉지 정수 개에 1개가 남는 형태가 된다.
정답은 (A)이다.

$$6a + 6b + 7 = 6(a + b + 1) + 1$$

💡 합의 나머지는 두 나머지를 더한 것의 나머지와 같다.

[1] #4 4.OA.A.3 링고는 가득 찬 봉지 몇 개에 낱개 4개, 폴은 가득 찬 봉지 몇 개에 낱개 3개를 가지고 있다고 하자. 링고의 봉지 수를 a, 폴의 봉지 수를

[2] #13 4.OA.A.3 두 개수를 더해 구슬을 합친다: (6a + 4) + (6b + 3) = 6a + 6b + 7. 6a와 6b는 이미 가득 찬 봉지이므로, 낱개로

[3] #13 4.NBT.B.6 낱개 7개는 7 = 6 + 1이므로 봉지 하나를 더 채우고 1개가 남는다. 따라서 총합은 6a + 6b + 6 + 1 = 6(a + b + 1)

검토

합리성 확인: 가장 작은 개수로 확인해 보자. 링고가 4개(봉지 0개, 4개 남음), 폴이 3개(봉지 0개, 3개 남음)를 가진다고 하면 합쳐서 7개이고, 이는 봉지 하나에 1개가 남는다. 정답 (A)와 일치한다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 남는 수만으로 생각할 수도 있다. 합친 낱개는 4 + 3 = 7이고, 7은 6보다 크므로 봉지 하나를 더 빼면 7 - 6 = 1개가 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (각 사람의 구슬 개수를 가득 찬 봉지와 낱개로 나타내고 두 개수를 합치는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (합친 총합을 6개씩 봉지에 나눌 때 남는 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 합쳐서 남는 수를 구하려면 각자 남는 수를 더하고, 그 합이 봉지 하나를 채울 만큼이면 그 봉지도 빼면 된다.