AMC 10 · 2012 · #5

학년 7 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

애나는 워싱턴 D.C.의 한 식당에서 저녁 식사를 즐긴다. 이곳의 식사에 대한 판매세는 10%이다. 그녀는 판매세가 붙기 전 식사 가격의 15%를 팁으로 남기고, 판매세는 팁을 붙이기 전 금액에 대해 계산된다. 그녀는 저녁 식사에 총 27.50달러를 쓴다. 세금과 팁을 제외한 저녁 식사의 가격은 몇 달러인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 식사에는 기본 가격이 있다. $15\%$의 팁과 $10\%$의 판매세를 각각 이 기본 가격에서 계산하여 둘 다 기본 가격에 더한다. 세 금액의 합이 $\$27.50$이다. 식사의 기본 가격을 구하여라.

주어진 것: 판매세는 팁을 더하기 전 식사 가격의 $10\%$이다; 팁은 세금을 더하기 전 식사 가격의 $15\%$이다; 팁과 세금은 서로가 아니라 같은 기본 가격에서 계산된다; 지불한 총액은 $\$27.50$이다; 선택지: (A) $18$, (B) $20$, (C) $21$, (D) $22$, (E) $24$

구하는 것: 세금과 팁을 더하지 않은 식사의 가격

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

기본 가격은 나머지 모든 값이 여기서 만들어지는 하나의 미지수이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 한 번 이름 붙이고 팁과 세금을 $0.15x$, $0.10x$로 쓴다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 “식사 + 팁 + 세금 = $27.50$”이라는 문장을 하나의 방정식으로 바꾸고 동류항을 모아 $x$의 배수 하나로 정리한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 팁에까지 세금을 잘못 매겼을 때 나오는 값 같은 함정 선택지와 비교하여 결과를 확인한다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

기본 가격에 이름 붙이기

세금과 팁을 더하기 전 식사 가격을 $x$라 하자.
두 추가 금액이 모두 같은 기본 가격에서 계산되므로, 팁은 $x$의 $15\%$인 $0.15x$이고 세금은 $x$의 $10\%$인 $0.10x$이다.
두 금액을 한 문자로 쓰면 같은 출발 수에 묶여 있게 된다.

$$x=\text{기본 가격},\quad \text{팁}=0.15x,\quad \text{세금}=0.10x$$

💡 미지수 하나가 모든 것을 좌우하니, 그것에 이름을 붙이고 나머지를 그 문자로 표현한다.

#13 대수로 바꾸기 7.RP.A.3 단계 2

부분들을 하나의 방정식으로 더하기

총액은 식사에 팁과 세금을 더한 $x+0.15x+0.10x$이다.
이들은 모두 $x$의 배수인 동류항이므로 계수를 더하면 $1+0.15+0.10=1.25$이다.
지불한 총액이 $\$27.50$이므로 방정식 $1.25x=27.50$을 얻는다. 팁과 세금은 각각 $x$에서 계산되어 더해질 뿐, 서로 곱해지지 않는다.

$$x+0.15x+0.10x=1.25x=27.50$$

💡 가격에 $15\%$ 팁과 $10\%$ 세금을 더하는 것은 그 가격을 자신의 $125\%$로 늘리는 것과 같다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

기본 가격 구하기

양변을 $1.25$로 나누어 곱셈을 되돌린다: $x=27.50\div1.25$.
$1.25=\tfrac{5}{4}$이므로 $1.25$로 나누는 것은 $\tfrac{4}{5}$를 곱하는 것과 같고, 따라서 $x=27.50\times\tfrac{4}{5}=22$이다.
식사는 세금과 팁을 더하기 전 $\$22$이다.

$$x=\dfrac{27.50}{1.25}=22$$

💡 $px=q$ 꼴의 방정식은 총액을 $p$로 나누는 한 단계로 풀린다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

총액 확인하고 답 고르기

$x=22$를 확인해 보자: 팁은 $0.15\times22=3.30$, 세금은 $0.10\times22=2.20$이므로 총액은 $22+3.30+2.20=27.50$으로 딱 맞는다.
이것이 선택지 (D)이다.
함정 답인 (B) $20$은 기본 가격이 아니라 팁이 더해진 금액에 세금을 매겼을 때 나오고, 나머지 선택지는 $27.50$과 정확히 일치하지 않는다.

$$22+3.30+2.20=27.50\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 답을 원래 문장에 다시 넣어 보는 것이 확인하는 가장 확실한 방법이다.

[1] #4 6.EE.B.6 세금과 팁을 더하기 전 식사 가격을 $x$라 하자. 두 추가 금액이 모두 같은 기본 가격에서 계산되므로, 팁은 $x$의 $15\%$인 $0.15

[2] #13 7.RP.A.3 총액은 식사에 팁과 세금을 더한 $x+0.15x+0.10x$이다. 이들은 모두 $x$의 배수인 동류항이므로 계수를 더하면 $1+0.15+0.10

[3] #4 6.EE.B.7 양변을 $1.25$로 나누어 곱셈을 되돌린다: $x=27.50\div1.25$. $1.25=\tfrac{5}{4}$이므로 $1.25$로 나누는

[4] #3 6.RP.A.3 $x=22$를 확인해 보자: 팁은 $0.15\times22=3.30$, 세금은 $0.10\times22=2.20$이므로 총액은 $22+3.30+

검토

합리성 확인: 총액의 $4$분의 $1$가량이 팁과 세금으로 더해지므로, 기본 가격은 $\$27.50$보다 상당히 작아야 한다. 어림잡아 $\$22$에 $25\%$를 더하면 약 $\$5.50$이고 $22+5.50=27.50$으로 총액과 정확히 맞으니 $\$22$가 일관적이다. 선택지 (E) $24$는 $25\%$를 더하면 총액이 $27.50$을 이미 넘어서고, 더 작은 선택지들은 총액이 모자라므로 오직 (D)만 들어맞는다.

대안 접근: 항을 따로 두지 말고 하나의 백분율로 생각하자. 기본 가격에 $15\%$ 팁과 $10\%$ 세금을 더하면 그 가격의 $125\%$, 즉 $1.25$배가 된다. 따라서 기본 가격은 단순히 $27.50\div1.25=22$로, 나눗셈 한 번에 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 문제를 풀 때 수를 나타내는 변수를 사용하고 식을 세우기 (기본 가격을 $x$로 이름 붙이고 팁과 세금을 $0.15x$, $0.10x$로 쓰기.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용하여 여러 단계의 비율·백분율 문제 풀기 (같은 기본 가격에 대한 $15\%$ 팁과 $10\%$ 세금을 계수 $1.25$와 방정식 $1.25x=27.50$으로 결합하기.)
6.EE.B.7 px = q 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결하기 (양변을 $1.25$로 나누어 $1.25x=27.50$을 $x$에 대해 풀기.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 이용하여 실생활·수학 문제 해결하기 ($x=22$일 때 $15\%$ 팁과 $10\%$ 세금을 다시 계산하여 합이 $27.50$임을 확인하기.)

⭐ 팁과 세금이 같은 가격에서 계산될 때는 그 백분율들을 전체에 더한 뒤, 총액을 그 하나의 배수로 나누면 된다.