AMC 10 · 2012 · #7

학년 7 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

linear-equations-one-varsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

새미는 과학 과제를 위해 얼룩다람쥐 한 마리와 청설모 한 마리가 도토리를 구멍에 저장하는 모습을 관찰했다. 얼룩다람쥐는 자신이 판 각 구멍에 도토리를 3개씩 숨겼다. 청설모는 자신이 판 각 구멍에 도토리를 4개씩 숨겼다. 두 동물은 각각 같은 개수의 도토리를 숨겼지만, 청설모는 구멍이 4개 더 적게 필요했다. 얼룩다람쥐는 도토리를 몇 개 숨겼는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다람쥐는 자기가 판 구멍마다 도토리 3개씩 넣고, 청설모는 자기가 판 구멍마다 도토리 4개씩 넣는다. 두 동물이 숨긴 도토리 총 개수는 같지만, 청설모는 구멍을 4개 더 적게 팠다. 다람쥐가 숨긴 도토리는 몇 개인지 구하라.

주어진 것: 다람쥐는 구멍 하나마다 도토리 3개를 숨긴다.; 청설모는 구멍 하나마다 도토리 4개를 숨긴다.; 두 동물이 숨긴 도토리 총 개수는 같다.; 청설모는 다람쥐보다 구멍을 4개 더 적게 팠다.

구하는 것: 다람쥐가 숨긴 도토리 개수 (즉, 다람쥐가 판 구멍의 수).

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

두 동물은 '도토리 총 개수'라는 하나의 숨은 값을 공유한다. 다람쥐가 판 구멍 수를 문자 하나로 놓으면 두 동물의 총 개수를 같은 문자로 쓸 수 있고, '도토리 개수가 같다'는 말이 곧바로 방정식이 되어 풀 수 있다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

구멍 수를 문자로 놓기

다람쥐가 판 구멍의 수를 h라 하자.
다람쥐는 구멍마다 도토리 3개를 넣으므로 3h개를 숨겼다.
청설모는 구멍을 4개 더 적게 팠으므로 h - 4개의 구멍을 팠고, 구멍마다 4개씩 넣으므로 4(h - 4)개를 숨겼다.

\text{다람쥐} = 3h, \quad \text{청설모} = 4(h - 4)

💡 다람쥐의 구멍 수를 문자 하나로 두면 두 동물의 총 개수를 같은 미지수로 쓸 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

두 총 개수를 같게 놓기

문제에서 두 동물이 숨긴 도토리 개수가 같다고 했다.
따라서 다람쥐의 총 개수 3h와 청설모의 총 개수 4(h - 4)가 같다.
이것이 미지수 하나짜리 방정식이 된다.

$$3h = 4(h - 4)$$

💡 '도토리 개수가 같다'는 말이 바로 등호이다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

구멍 수 구하기

오른쪽을 전개하면 4(h - 4) = 4h - 16이다.
그래서 3h = 4h - 16이 된다.
양변에서 3h를 빼면 0 = h - 16, 즉 h = 16이다.
다람쥐는 구멍을 16개 팠다.

$$3h = 4h - 16 \;\Rightarrow\; 16 = h$$

💡 h를 한쪽으로 모으면 구멍 수만 남는다.

#4 변수 도입하기 3.OA.A.1 단계 4

도토리 개수 세기

다람쥐는 구멍 16개마다 도토리 3개씩 넣었으므로 3 x 16 = 48개를 숨겼다.
이것은 보기 (D)와 일치한다.

$$3 \times 16 = 48$$

💡 구멍 수에 구멍당 도토리 수를 곱하면 총 개수가 나오므로 답은 (D)이다.

[1] #4 6.EE.B.6 다람쥐가 판 구멍의 수를 h라 하자. 다람쥐는 구멍마다 도토리 3개를 넣으므로 3h개를 숨겼다. 청설모는 구멍을 4개 더 적게 팠으므로 h -

[2] #13 7.EE.B.4 문제에서 두 동물이 숨긴 도토리 개수가 같다고 했다. 따라서 다람쥐의 총 개수 3h와 청설모의 총 개수 4(h - 4)가 같다. 이것이 미지수

[3] #13 7.EE.B.4 오른쪽을 전개하면 4(h - 4) = 4h - 16이다. 그래서 3h = 4h - 16이 된다. 양변에서 3h를 빼면 0 = h - 16, 즉

[4] #4 3.OA.A.1 다람쥐는 구멍 16개마다 도토리 3개씩 넣었으므로 3 x 16 = 48개를 숨겼다. 이것은 보기 (D)와 일치한다.

검토

합리성 확인: h = 16으로 두 총 개수를 확인한다. 다람쥐는 구멍 16개에 3 x 16 = 48개. 청설모는 16 - 4 = 12개의 구멍에 4 x 12 = 48개. 두 총 개수가 모두 48개이고 청설모가 구멍을 4개 더 적게 썼으므로 모든 조건이 맞는다.

대안 접근: 대수 없이 풀 수도 있다. 공통 총 개수는 3과 4의 공배수, 즉 12의 배수여야 한다. 총 개수가 12일 때 구멍은 4개와 3개(차이 1)이고, 도토리가 12개 늘 때마다 구멍 차이가 1씩 커진다. 구멍 차이 4를 만들려면 4 x 12 = 48개가 필요하므로 역시 (D)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (같은 미지수(구멍 수)로 두 총 개수 3h와 4(h - 4)를 세우는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (3h = 4(h - 4)를 세우고 일차방정식을 풀어 h = 16을 구하는 데 사용.)
3.OA.A.1 Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (구멍 16개에서 3 x 16 = 48개의 도토리를 계산하는 데 사용.)

⭐ 두 값이 같을 때는 모르는 수를 문자 하나로 부르고, 양쪽을 그 문자로 쓴 뒤 방정식이 답을 찾게 하면 된다.