AMC 10 · 2013 · #12

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesisosceles-triangleperimeter identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

$\triangle ABC$ 에서 $AB=AC=28$ 이고 $BC=20$ 이다. 점 $D,E,$ $F$ 는 각각 변 $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{AC}$ 위에 있으며, $\overline{DE}$ 와 $\overline{EF}$ 는 각각 $\overline{AC}$ 와 $\overline{AB}$ 에 평행하다. 평행사변형 $ADEF$ 의 둘레는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $AB=AC=28$, $BC=20$인 이등변삼각형 $ABC$에서 점 $D$는 $\overline{AB}$ 위에, 점 $E$는 $\overline{BC}$ 위에, 점 $F$는 $\overline{AC}$ 위에 있다. $\overline{DE}$는 $\overline{AC}$와 평행하고 $\overline{EF}$는 $\overline{AB}$와 평행하므로 $ADEF$는 평행사변형이다. 이 평행사변형의 둘레를 구하여라.

주어진 것: $\triangle ABC$는 $AB = AC = 28$인 이등변삼각형이다; $BC = 20$; $D$는 $\overline{AB}$ 위, $E$는 $\overline{BC}$ 위, $F$는 $\overline{AC}$ 위에 있다; $\overline{DE}\parallel\overline{AC}$이고 $\overline{EF}\parallel\overline{AB}$이다; 그림에서 $ADEF$는 $AD$가 $AB$ 위에, $AF$가 $AC$ 위에 있고, 삼각형 안쪽에 두 선분 $DE$, $EF$가 그려져 있다; 선택지: (A) $48$, (B) $52$, (C) $56$, (D) $60$, (E) $72$

구하는 것: 평행사변형 $ADEF$의 둘레

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

그림이 열쇠다. 주어진 그림(도구 #1)을 보면 평행사변형 $ADEF$의 둘레는 $AD+DE+EF+FA$이고, 마주 보는 변이 같으므로 $2(AD+AF)$로 줄어든다. 평행선 $DE\parallel AC$는 꼭짓점 $B$ 부근에서 작은 삼각형 $BDE$를 잘라내는데, 그림에서 같은 각을 바로 읽어내면 이 작은 삼각형이 이등변삼각형임을 알 수 있고, 그러면 한 변의 길이가 정해진다. $D$의 정확한 위치가 상관없음을 보이기 위해 $BD=x$로 이름 붙이면(도구 #4) $x$가 소거되는 것을 확인할 수 있다. 둘레를 작은 삼각형과 평행사변형으로 나누어 보는 것이 도구 #7, 작은 문제로 쪼개기다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

그림에서 둘레를 식으로 쓰기

$EF\parallel AB$이고 $DE\parallel AC$이므로 사각형 $ADEF$는 평행사변형이다.
변 $AD$는 $AB$ 위에 있으면서 $EF$와 평행하고, 변 $AF$는 $AC$ 위에 있으면서 $DE$와 평행하다.
평행사변형에서 마주 보는 변은 서로 같으므로 $EF = AD$, $DE = AF$이다.
둘레는 $AD + DE + EF + FA = 2(AD + AF)$이다.
따라서 할 일은 $AD + AF$를 구하는 것뿐이다.

$$P = AD + DE + EF + FA = 2\,(AD + AF)$$

💡 평행사변형은 같은 길이의 변이 두 쌍이므로, 둘레는 이웃한 두 변의 합의 두 배다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 2

이등변인 모서리 삼각형 찾기

꼭짓점 $B$에서 잘려 나온 작은 삼각형 $BDE$를 보자.
$\triangle ABC$는 $AB = AC$이므로 밑각이 같다: $\angle B = \angle C$.
그리고 $DE\parallel AC$이고 변 $BC$가 횡단선 역할을 하므로 $\angle DEB = \angle ACB = \angle C$이다.
그러면 삼각형 $BDE$ 안에서 $\angle DBE = \angle DEB$가 된다.
밑각이 같으므로 삼각형 $BDE$는 이등변삼각형이고, 같은 각에 마주 보는 변이 같으므로 $BD = DE$이다.

$$\angle DBE = \angle B = \angle C = \angle DEB \;\Rightarrow\; BD = DE$$

💡 이등변삼각형의 한 변에 평행한 선은 같은 밑각을 그대로 복사하므로, 잘려 나온 작은 삼각형도 이등변이 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 3

BD에 이름 붙이면 소거된다

$BD = x$라 하자.
앞 단계에서 $DE = x$이고, 1단계에서 $AF = DE = x$이다.
점 $D$는 $\overline{AB}$ 위에 있으므로 $AD = AB - BD = 28 - x$이다.
평행사변형의 두 변을 더하면 $AD + AF = (28 - x) + x = 28$이다.
$x$가 사라지는데, 이는 $D$를 $AB$ 위 어디에 놓든 상관없음을 뜻한다.

$$AD + AF = (28 - x) + x = 28$$

💡 $AB$에서 떼어 낸 길이가 마주 보는 변으로 그대로 돌아오므로, 두 조각이 항상 변 $AB$ 전체를 다시 만든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 4

두 배 해서 둘레 구하기

1단계에서 둘레는 $2(AD + AF)$이고 $AD + AF = 28$이므로 $P = 2 \cdot 28 = 56$이다.
$BC = 20$은 한 번도 쓰이지 않았음을 주목하라.
둘레는 항상 같은 변 $AB$의 두 배다.
정답은 $\textbf{(C)}\ 56$이다.

$$P = 2(AD + AF) = 2 \cdot 28 = 56 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 변을 두 벌 이으면 평행사변형을 한 바퀴 도는 둘레가 되고, 그 두 변은 항상 $AB$가 된다.

[1] #1 8.G.A.5 $EF\parallel AB$이고 $DE\parallel AC$이므로 사각형 $ADEF$는 평행사변형이다. 변 $AD$는 $AB$ 위에 있으면서

[2] #1 8.G.A.5 꼭짓점 $B$에서 잘려 나온 작은 삼각형 $BDE$를 보자. $\triangle ABC$는 $AB = AC$이므로 밑각이 같다: $\angle

[3] #4 6.EE.A.2 $BD = x$라 하자. 앞 단계에서 $DE = x$이고, 1단계에서 $AF = DE = x$이다. 점 $D$는 $\overline{AB}$ 위

[4] #7 6.EE.A.3 1단계에서 둘레는 $2(AD + AF)$이고 $AD + AF = 28$이므로 $P = 2 \cdot 28 = 56$이다. $BC = 20$은 한

검토

합리성 확인: 평행사변형은 삼각형 안에 있으므로 그 둘레는 삼각형의 둘레 $28+28+20 = 76$보다 작아야 하는데, 실제로 $56 < 76$이다. 결과 $2\cdot AB = 56$은 같은 변 $28$만 쓰고 $BC=20$은 무시하는데, 이는 $x$가 소거된 사실과 맞아떨어진다. 즉 답은 $D$의 위치에 의존할 수 없다. 모든 선택지가 짝수인데 이는 $P = 2(AD+AF)$와 일치하며, $56$은 (C)로 목록에 있다.

대안 접근: $D$의 위치가 상관없으므로 $D$, $E$, $F$를 각 변의 중점에 놓자. 그러면 $ADEF$는 더 작은 도형이 되어 $AD = 14$이고 그려진 각 선분도 $14$가 되어 네 변이 모두 $14$이므로 둘레는 $4 \cdot 14 = 56$으로 같은 답이다. 이 중점 지름길은 일반적인 결과를 빠르게 확인하는 방법이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 삼각형의 각과 평행선이 횡단선에 의해 잘릴 때 생기는 각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 확립하기 (그림에서 같은 각을 읽어내기: 이등변삼각형의 같은 밑각과 평행선 $DE\parallel AC$가 삼각형 $BDE$가 이등변임을 보여 $BD = DE$를 주고, 평행사변형의 마주 보는 변이 같음을 보인다.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 ($BD = x$로 이름 붙이고 $AD = 28 - x$, $AF = x$로 써서 이웃한 두 변을 식으로 더하기.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용하여 동치인 식 만들기 ($(28 - x) + x$를 $28$로 정리하여 변수를 소거하고, 두 배 하여 둘레 $2 \cdot 28 = 56$을 얻기.)

⭐ 이등변삼각형의 한 변에 평행하게 그은 선은 또 다른 이등변삼각형을 잘라내고, 평행사변형의 두 변은 항상 빗변 전체로 되돌아오므로 둘레는 그 변의 두 배다.