AMC 10 · 2013 · #12
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
그림이 열쇠다. 주어진 그림(도구 #1)을 보면 평행사변형 ADEF의 둘레는 AD+DE+EF+FA이고, 마주 보는 변이 같으므로 2(AD+AF)로 줄어든다. 평행선 DE ∥ AC는 꼭짓점 B 부근에서 작은 삼각형 BDE를 잘라내는데, 그림에서 같은 각을 바로 읽어내면 이 작은 삼각형이 이등변삼각형임을 알 수 있고, 그러면 한 변의 길이가 정해진다. D의 정확한 위치가 상관없음을 보이기 위해 BD=x로 이름 붙이면(도구 #4) x가 소거되는 것을 확인할 수 있다. 둘레를 작은 삼각형과 평행사변형으로 나누어 보는 것이 도구 #7, 작은 문제로 쪼개기다.
그림에서 둘레를 식으로 쓰기
ADEF는 평행사변형이라 EF = AD, DE = AF이고, 둘레 AD + DE + EF + FA는 2(AD + AF)로 줄어든다.
평행사변형은 같은 길이의 변이 두 쌍이므로, 둘레는 이웃한 두 변의 합의 두 배다.
8.G.A.5Draw A Diagram이등변인 모서리 삼각형 찾기
모서리 삼각형 BDE에서 DE ∥ AC이므로 ∠ DEB = ∠ C = ∠ B = ∠ DBE, 즉 BDE는 이등변이고 BD = DE이다.
이등변삼각형의 한 변에 평행한 선은 같은 밑각을 그대로 복사하므로, 잘려 나온 작은 삼각형도 이등변이 된다.
이등변삼각형의 한 변에 평행한 직선은 그 같은 밑각을 그대로 옮겨 온다.
▸ 왜?
평행한 두 직선을 가로지르는 직선은 양쪽과 같은 각을 이룬다.
▸ 왜?
작은 삼각형에 같은 각이 둘 있으면, 그 각을 마주하는 변도 같아야 한다.
BD에 이름 붙이면 소거된다
BD = x라 하면 DE = x, AF = x, AD = 28 - x이므로 AD + AF = 28이고 x는 소거된다.
AB에서 떼어 낸 길이가 마주 보는 변으로 그대로 돌아오므로, 두 조각이 항상 변 AB 전체를 다시 만든다.
6.EE.A.2Introduce A Variable두 배 해서 둘레 구하기
따라서 P = 2(AD + AF) = 2 · 28 = 56이고, BC = 20은 쓰이지 않았다. 정답은 (C).
두 변을 두 벌 이으면 평행사변형을 한 바퀴 도는 둘레가 되고, 그 두 변은 항상 AB가 된다.
6.EE.A.3Identify Subproblems이등변삼각형의 한 변에 평행하게 그은 선은 또 다른 이등변삼각형을 잘라내고, 평행사변형의 두 변은 항상 빗변 전체로 되돌아오므로 둘레는 그 변의 두 배다.
- 그림에서 둘레를 식으로 쓰기
- 이등변인 모서리 삼각형 찾기
- BD에 이름 붙이면 소거된다
- 두 배 해서 둘레 구하기
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