AMC 10 · 2013 · #13

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
digit-constraintsdivisibility-rulesdigit-sum caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: digit-constraints
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
다음 세 조건을 동시에 만족하는 세 자리 자연수의 개수를 세라: 그 수는 5의 배수가 아니고, 세 자리 숫자의 합이 20 보다 작으며, 첫째 자리(백의 자리) 숫자와 셋째 자리(일의 자리) 숫자가 같다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
52
(B)
60
(C)
66
(D)
68
(E)
70

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

문제가 '몇 개' 인지를 물으므로 자연스러운 도구는 #2 (빠짐없이 나열하기)다: 유효한 수들을 몇 개의 깔끔한 경우로 나누어 각각 센다. 이를 준비하기 위해 먼저 도구 #4 (변수 도입하기)로 자리 숫자에 이름을 붙인다: 백의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 같으므로 모든 수는 aba 꼴이고, 단 두 숫자 a 와 b 로 정해진다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기)으로 '5의 배수가 아니다' 규칙을 어기는 바깥 숫자를 걸러내어 a 의 짧은 목록을 남긴다. 마지막으로 숫자 합 조건이 b 에 대한 한계로 바뀌므로, 각 a 에 대해 허용되는 b 를 세어 더하면 전체 개수가 나온다.

1STEP 1

자리 숫자에 이름 붙이기: 수는 aba 꼴

백의 자리와 일의 자리가 같아야 하므로 찾는 수는 모두 aba 꼴이고, 바깥 숫자 a 와 가운데 숫자 b 로만 정해진다.

aba = 100a + 10b + a, a = 백의 자리 = 일의 자리, b = 십의 자리
2STEP 2

5의 배수가 아니라는 규칙을 a에 적용하기

5의 배수 여부는 일의 자리, 곧 a 로 정해지니 a 는 0도 5도 아니다. 남는 값은 8 개이고 b 는 아직 자유롭다.

a ∈ {1,2,3,4,6,7,8,9} (8개), b ∈ {0,1,…,9}
3STEP 3

숫자 합 조건을 b의 한계로 바꾸기

숫자 a, b, a 의 합은 2a + b 이므로 합 조건은 b ＜ 20 - 2a 가 되고, b 는 여전히 9 까지다.

a + b + a = 2a + b ＜ 20 → b ＜ 20 - 2a
4STEP 4

각 a에 대해 허용되는 b 세기

a = 1,2,3,4 면 상한이 9를 넘어 b 는 10 가지 모두, a = 6,7,8,9 면 각각 8, 6, 4, 2 가지.

a=1,2,3,4: 각 10; a=6:8; a=7:6; a=8:4; a=9:2
5STEP 5

경우들을 더해 전체 개수 구하기

경우를 더하면 4 × 10 = 40에 8 + 6 + 4 + 2 = 20을 더해 60 개다.

4 × 10 + (8 + 6 + 4 + 2) = 40 + 20 = 60 → (B)
정답
60
여덟 개의 바깥 숫자는 두 그룹으로 나뉜다: a=1,2,3,4는 각각 10 개의 가운데 숫자를 모두 허용하고, a=6,7,8,9는 각각 8,6,4,2 개를 허용한다. 두 번째 그룹은 짝수로 감소하는 규칙(8,6,4,2)을 이루는데, 바깥 숫자가 커질수록 20 이라는 여유를 더 많이 잡아먹어 b 의 자리가 줄어들기 때문이라 자연스럽다. 합 조건이 없었다면 최대 8 × 10 = 80 개인데, 우리 개수 60은 그보다 작으며, 합 조건이 일부를 제거하므로 예상되는 결과다. 60 은 선택지 (B)와 일치한다.
💡핵심 정리

첫째와 마지막 숫자가 같아야 하면 그 수는 사실 aba 꼴이다. 나눗셈 규칙으로 바깥 숫자를 정하고, 합 조건을 가운데 숫자의 한계로 바꾼 뒤, 경우별로 세면 된다.

  • 자리 숫자에 이름 붙이기: 수는 aba 꼴
  • 5의 배수가 아니라는 규칙을 a에 적용하기
  • 숫자 합 조건을 b의 한계로 바꾸기
  • 각 a에 대해 허용되는 b 세기
  • 경우들을 더해 전체 개수 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.