AMC 10 · 2013 · #13

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsdivisibility-rulesdigit-sum caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: digit-constraints

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$5$ 로 나누어떨어지지 않고, 각 자리 숫자의 합이 $20$ 보다 작으며, 첫째 자리 숫자와 셋째 자리 숫자가 같은 세 자리 수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다음 세 조건을 동시에 만족하는 세 자리 자연수의 개수를 세라: 그 수는 $5$ 의 배수가 아니고, 세 자리 숫자의 합이 $20$ 보다 작으며, 첫째 자리(백의 자리) 숫자와 셋째 자리(일의 자리) 숫자가 같다.

주어진 것: 수는 정확히 세 자리이므로 백의 자리 숫자는 $1$ 이상이다; 그 수는 $5$ 로 나누어떨어지지 않는다; 세 자리 숫자의 합이 $20$ 보다 작다; 첫째 자리(백의 자리) 숫자와 셋째 자리(일의 자리) 숫자가 같다; 선택지: (A) $52$, (B) $60$, (C) $66$, (D) $68$, (E) $70$

구하는 것: 세 조건을 모두 만족하는 세 자리 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

문제가 '몇 개' 인지를 물으므로 자연스러운 도구는 #2 (빠짐없이 나열하기)다: 유효한 수들을 몇 개의 깔끔한 경우로 나누어 각각 센다. 이를 준비하기 위해 먼저 도구 #4 (변수 도입하기)로 자리 숫자에 이름을 붙인다: 백의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 같으므로 모든 수는 $\overline{aba}$ 꼴이고, 단 두 숫자 $a$ 와 $b$ 로 정해진다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기)으로 '$5$ 의 배수가 아니다' 규칙을 어기는 바깥 숫자를 걸러내어 $a$ 의 짧은 목록을 남긴다. 마지막으로 숫자 합 조건이 $b$ 에 대한 한계로 바뀌므로, 각 $a$ 에 대해 허용되는 $b$ 를 세어 더하면 전체 개수가 나온다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 2.NBT.A.1 단계 1

자리 숫자에 이름 붙이기: 수는 aba 꼴

세 자리 수에는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자가 있다.
'첫째 자리 숫자가 셋째 자리 숫자와 같다' 는 조건은 백의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 같다는 뜻이다.
그 공통된 바깥 숫자를 $a$, 가운데 숫자를 $b$ 라 하자.
그러면 우리가 찾는 모든 수는 $\overline{aba}$ 꼴이며, 두 숫자 $a$ 와 $b$ 로 완전히 결정된다.

$$\overline{aba} = 100a + 10b + a, \qquad a = \text{백의 자리} = \text{일의 자리}, \quad b = \text{십의 자리}$$

💡 첫째와 마지막 숫자를 같게 강제하면 자유로운 세 숫자가 단 두 개 $a$, $b$ 로 줄어든다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 2

5의 배수가 아니라는 규칙을 a에 적용하기

어떤 수가 $5$ 의 배수인 것은 일의 자리 숫자가 $0$ 또는 $5$ 일 때뿐이다.
여기서 일의 자리 숫자는 $a$ 다.
수가 세 자리이므로 $a$ 는 $0$ 이 될 수 없다.
$5$ 의 배수가 되지 않으려면 $a$ 는 $5$ 도 될 수 없다.
그래서 여덟 개의 값 $a \in \{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ 이 남는다.
가운데 숫자 $b$ 에는 나눗셈 제한이 없으므로, 지금은 $b$ 가 $0$ 부터 $9$ 까지 어떤 숫자든 될 수 있다.

$$a \in \{1,2,3,4,6,7,8,9\} \quad (\text{8개}), \qquad b \in \{0,1,\dots,9\}$$

💡 $5$ 로 나누어떨어지는지는 오직 마지막 숫자로 정해지는데, 여기서 마지막 숫자는 바깥 숫자 $a$ 다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.5 단계 3

숫자 합 조건을 b의 한계로 바꾸기

세 자리 숫자는 $a$, $b$, $a$ 이므로 그 합은 $2a + b$ 다.
'숫자 합이 $20$ 보다 작다' 는 조건은 $2a + b < 20$ 이고, 이를 정리하면 $b < 20 - 2a$ 가 된다.
각 고정된 $a$ 에 대해 이 식이 어떤 가운데 숫자 $b$ 가 허용되는지 정확히 알려준다.
$b$ 는 한 자리 숫자이므로 여전히 $9$ 까지로 제한된다는 점을 기억하자.

$$a + b + a = 2a + b < 20 \;\Rightarrow\; b < 20 - 2a$$

💡 합 조건은 바깥 숫자를 정한 뒤에는 가운데 숫자만 제한하므로, $b$ 의 상한이 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 4

각 a에 대해 허용되는 b 세기

허용된 각 $a$ 에 대해 $0$ 부터 $9$ 까지 중 $b < 20 - 2a$ 를 만족하는 숫자 $b$ 를 센다.
$a$ 가 $1,2,3,4$ 일 때 상한 $20 - 2a$ 는 각각 $18,16,14,12$ 로 모두 $9$ 보다 크므로 $0$ 부터 $9$ 까지 모든 숫자가 된다: 각각 $10$ 가지.
$a = 6$ 이면 $b < 8$ 이므로 $b \in \{0,\dots,7\}$: $8$ 가지.
$a = 7$ 이면 $b < 6$ 이므로 $6$ 가지.
$a = 8$ 이면 $b < 4$ 이므로 $4$ 가지.
$a = 9$ 이면 $b < 2$ 이므로 $2$ 가지.

$$a{=}1,2,3,4:\;\text{각 }10;\quad a{=}6:8;\quad a{=}7:6;\quad a{=}8:4;\quad a{=}9:2$$

💡 바깥 숫자가 작으면 합이 결코 $20$ 에 도달하지 못해 잃는 것이 없고, 큰 바깥 숫자에서만 선택지가 깎이기 시작한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

경우들을 더해 전체 개수 구하기

모든 경우의 개수를 더한다.
$a = 1,2,3,4$ 네 값은 $4 \times 10 = 40$ 개를 준다.
나머지 값들은 $8 + 6 + 4 + 2 = 20$ 개를 준다.
합하면 $40 + 20 = 60$ 개의 세 자리 수가 세 조건을 모두 만족한다.
따라서 답은 $\textbf{(B)}\ 60$ 이다.

$$4 \times 10 + (8 + 6 + 4 + 2) = 40 + 20 = 60 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 경우들이 서로 겹치지 않고 전부를 덮으므로, 개수를 그냥 더하면 전체 합이 된다.

[1] #4 2.NBT.A.1 세 자리 수에는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자가 있다. '첫째 자리 숫자가 셋째 자리 숫자와 같다' 는 조건은 백의 자리 숫자와 일의

[2] #3 4.OA.B.4 어떤 수가 $5$ 의 배수인 것은 일의 자리 숫자가 $0$ 또는 $5$ 일 때뿐이다. 여기서 일의 자리 숫자는 $a$ 다. 수가 세 자리이므로

[3] #4 6.EE.B.5 세 자리 숫자는 $a$, $b$, $a$ 이므로 그 합은 $2a + b$ 다. '숫자 합이 $20$ 보다 작다' 는 조건은 $2a + b < 2

[4] #2 6.EE.B.5 허용된 각 $a$ 에 대해 $0$ 부터 $9$ 까지 중 $b < 20 - 2a$ 를 만족하는 숫자 $b$ 를 센다. $a$ 가 $1,2,3,4$

[5] #2 4.OA.A.3 모든 경우의 개수를 더한다. $a = 1,2,3,4$ 네 값은 $4 \times 10 = 40$ 개를 준다. 나머지 값들은 $8 + 6 + 4

검토

합리성 확인: 여덟 개의 바깥 숫자는 두 그룹으로 나뉜다: $a=1,2,3,4$ 는 각각 $10$ 개의 가운데 숫자를 모두 허용하고, $a=6,7,8,9$ 는 각각 $8,6,4,2$ 개를 허용한다. 두 번째 그룹은 짝수로 감소하는 규칙($8,6,4,2$)을 이루는데, 바깥 숫자가 커질수록 $20$ 이라는 여유를 더 많이 잡아먹어 $b$ 의 자리가 줄어들기 때문이라 자연스럽다. 합 조건이 없었다면 최대 $8 \times 10 = 80$ 개인데, 우리 개수 $60$ 은 그보다 작으며, 합 조건이 일부를 제거하므로 예상되는 결과다. $60$ 은 선택지 (B)와 일치한다.

대안 접근: 여사건 세기: 숫자 합 제한이 없다면 $a \in \{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ 인 $\overline{aba}$ 꼴 수는 $8 \times 10 = 80$ 개다. 여기서 $2a + b \ge 20$ 인 것을 뺀다. 이는 $b \ge 20 - 2a$ 를 요구하며 큰 $a$ 에서만 가능하다: $a=6$ 은 $b \in \{8,9\}$ 를 잃고($2$), $a=7$ 은 $b \in \{6,7,8,9\}$ 를 잃고($4$), $a=8$ 은 $6$ 개, $a=9$ 는 $8$ 개를 잃는다. 그러면 $2+4+6+8 = 20$ 개가 제거되어 $80 - 20 = 60$ 으로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.NBT.A.1 Understand that the three digits of a three-digit number represent amounts of hundreds, tens, and ones (세 자리 수를 백, 십, 일의 자리 숫자로 읽어 '첫째 자리 숫자가 셋째 자리 숫자와 같다' 는 조건을 aba 꼴로 바꾼 것.)
4.OA.B.4 Recognize divisibility and multiples of whole numbers (어떤 수가 $5$ 의 배수인 것은 일의 자리 숫자가 0 또는 5 일 때뿐이라는 규칙으로 바깥 숫자에서 a = 0 과 a = 5 를 제거한 것.)
6.EE.B.5 Understand solving an inequality as finding which values from a set make it true (숫자 합 조건을 b < 20 - 2a 로 다시 쓰고, 각 바깥 숫자 a 에 대해 이를 만족하는 가운데 숫자 b 가 몇 개인지 센 것.)
4.OA.A.3 Solve multistep problems with whole numbers using the four operations (경우별 개수(10짜리 네 경우와 8, 6, 4, 2)를 합쳐 최종 개수 60 을 구한 것.)

⭐ 첫째와 마지막 숫자가 같아야 하면 그 수는 사실 aba 꼴이다. 나눗셈 규칙으로 바깥 숫자를 정하고, 합 조건을 가운데 숫자의 한계로 바꾼 뒤, 경우별로 세면 된다.