AMC 10 · 2013 · #21

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-factorizationfactorialdivisibility-rules convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

12명의 해적이 순서대로 금화를 나눈다. k번째 해적은 자기 차례에 상자에 남아 있는 금화의

\frac{k}{12}

를 가져간다. 상자에 처음 담긴 금화 수는, 12명 모두가 양의 정수 개의 금화를 받을 수 있게 하는 가장 작은 수다. 12번째(마지막) 해적이 받는 금화가 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

720

(B)

1296

(C)

1728

(D)

1925

(E)

3850

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

처음 개수를 모르니 문자로 이름 붙이고 12번째 해적의 몫을 하나의 분수로 쓴다. 이 몫은 처음 개수가 분모를 지워줄 때만 정수가 되므로, 진짜 핵심은 소인수 문제다. 분모가 필요로 하는 2와 3의 거듭제곱을 딱 맞게 공급하는 가장 작은 처음 개수를 찾고, 무엇이 남는지 본다.

1STEP 1

매 차례 남는 금화 따라가기

해적 k는 $\frac{k}{12}$ 를 가져가고 $\frac{12-k}{12}$ 를 남기니 매 차례는 곱셈 한 번이다. 12번째는 남은 전부를 가져간다.

해적 k 이후: 남는 양 = (12-k)/12×(직전 더미)

2STEP 2

마지막 해적의 몫 쓰기

처음 수를 N이라 하자. 남는 비율 열한 개를 이어 곱하면 마지막 몫은 $\frac{N \cdot 11!}{12^{11}}$ 한 식으로 모인다.

S₁₂ = N·(11·10…1)/12¹¹ = (N · 11!)/12¹¹

3STEP 3

조각들을 소수로 분해하기

$12^{11}$ 과 $11!$ 을 소인수분해해 공통 2와 3을 지우면 몫은 $\frac{N \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11}{2^{14} \cdot 3^{7}}$ 로 줄어든다.

S₁₂ = (N · 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7 · 11)/(2²² · 3¹¹) = (N · 5² · 7 · 11)/(2¹⁴ · 3⁷)

4STEP 4

가장 작은 처음 개수 찾기

앞선 어느 차례도 더 요구하지 않으니, 가장 작은 시작값은 딱 2 열네 개와 3 일곱 개, 즉 $N = 2^{14} \cdot 3^{7}$ 이다.

N_min = 2¹⁴ · 3⁷

5STEP 5

지우고 몫 읽어내기

대입하면 2와 3이 모두 지워져 $5^{2} \cdot 7 \cdot 11$ = 1925개만 남는다. 보기 중 유일한 홀수이니 답은 (D)이다.

S₁₂ = 2¹⁴ · 3⁷·(5² · 7 · 11)/(2¹⁴ · 3⁷) = 5² · 7 · 11 = 1925

정답

1925

처음 개수를 2¹⁴ x 3⁷만 딱 담고 그 이상은 담지 않도록 골랐으므로, 그 소수들은 완전히 지워지고 최종 몫은 5² x 7 x 11 = 1925가 된다. 2의 인수가 전부 사라졌으니 답은 홀수여야 하는데, 다섯 보기 중 홀수는 1925뿐이라 (D)가 확인되고 나머지는 한눈에 지워진다.

💡핵심 정리

'남은 것의 몇 분의 몇'을 이어 붙여 하나의 식으로 만들고, 소인수가 가장 작은 시작값과 무엇이 살아남는지 알려주게 하라.

매 차례 남는 금화 따라가기
마지막 해적의 몫 쓰기
조각들을 소수로 분해하기
가장 작은 처음 개수 찾기
지우고 몫 읽어내기

매 차례 남는 금화 따라가기

마지막 해적의 몫 쓰기

조각들을 소수로 분해하기

가장 작은 처음 개수 찾기

지우고 몫 읽어내기

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